Hoe de Basisvectoren in Curvilineaire Coördinaten Werken en Hun Implicaties voor de Metrics

In de wiskundige fysica en de relativiteitstheorie worden coördinatensystemen vaak gebruikt om complexe ruimtetijdstructuren te beschrijven. Wanneer we overstappen van een rechtlijnig (cartesiaans) coördinatensysteem naar een curvilineair coördinatensysteem, zoals bol- of cilindrische coördinaten, verandert de manier waarop we basisvectoren en hun relaties beschrijven. Dit heeft directe implicaties voor de manier waarop de metric van de ruimte wordt gedefinieerd en hoe we afstanden en volumes kunnen berekenen in een gekromde ruimte.

Basisvectoren in een curvilineair coördinatensysteem, zoals in bol- of cilindrische coördinaten, verschillen sterk van de rechtlijnige coördinaten. De basisvectoren in bijvoorbeeld de bolcoördinaten $(r, \theta, \phi)$ zijn niet constant, maar afhankelijk van de positie in de ruimte. Zo kan de basisvector $e_\rho$ worden uitgedrukt in termen van de rechthoekige coördinaten $x̂$ en $ŷ$ als $e_\rho = \cos(\phi) x̂ + \sin(\phi) ŷ$ , terwijl de basisvector $e_\phi$ zich uitstrekt in de richting van de hoeksnelheid $\phi$ , wat betekent dat deze afhankelijk is van de waarde van de coördinaat $r$ en $\theta$ . Dit maakt de vectoren $e_\rho$ en $e_\phi$ orthogonaal, maar niet genormaliseerd.

Dit heeft een belangrijk gevolg: de metric in curvilineaire coördinaten wordt gemodelleerd door een niet-diagonale tensor die de relatie tussen de coördinaten bepaalt. De metrische tensor is essentieel om afstanden en hoeken in de ruimte te berekenen. Bij bolcoördinaten kunnen we de line-elementformule gebruiken, zoals $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$ , waarbij de $g_{ij}$ de componenten van de metric tensor zijn en de differentiële coördinaten $dx^i$ de veranderingen in de coördinaten zijn. De elementaire afstand wordt uitgedrukt als een som van termen die afhangen van de specifieke coördinaten van het systeem.

In dit kader is het belangrijk om te begrijpen dat de metric altijd afhangt van de specifieke locatie in de ruimte. Dit betekent dat de metrische tensor in een gebogen ruimte kan variëren van punt tot punt. Zo wordt een ruimtetijd beschreven als een Riemanniaanse of pseudo-Riemanniaanse variëteit, afhankelijk van de tekens van de componenten van de metrische tensor. In de speciale relativiteit is de ruimte-tijd bijvoorbeeld pseudo-Riemanniaans vanwege de negatieve componenten in de tensor die de tijdcoördinaat met de ruimtecoördinaten verbindt.

De betekenis van het inbrengen van de metric tensor en het gebruik van curvilineaire coördinaten wordt duidelijker wanneer we nadenken over het product van vectoren in deze coördinaten. Het inwendige product van twee vectoren, zoals $U \cdot V$ , wordt gedefinieerd door de componenten van de metric tensor, $g_{ij}$ , en is een lokaal product. Dit wil zeggen dat de waarde van het inwendige product afhangt van de specifieke coördinaat van het punt in de ruimte. De formaliteit van het dot-product blijft onveranderd, maar de manier waarop we het product berekenen wordt complexer door de veranderlijke metrische componenten.

Bij het werken met volume-elementen in curvilineaire coördinaten moeten we de veranderingen in de ruimte zelf in overweging nemen. Het volume-element is geen eenvoudige constante, zoals in rechtlijnige coördinaten. In plaats daarvan wordt het bepaald door de Jacobiaan van de coördinatentransformatie. Deze Jacobiaan zorgt ervoor dat het volume kan schalen bij verandering van coördinatensysteem, wat resulteert in een niet-schaalbare transformatie. Dit betekent dat het volume-element niet invariant is, tenzij we de juiste coördinaattransformatie toepassen, zoals beschreven door de absolute waarde van de Jacobiaan.

Wat de lezer verder zou moeten begrijpen, is dat hoewel de basisvectoren in curvilineaire coördinaten veranderen afhankelijk van de positie in de ruimte, de concepten van contravariantie en covariantie fundamenteel blijven. In de context van tensoranalyse is het belangrijk te realiseren dat coördinatensystemen een krachtig hulpmiddel zijn om fysische systemen te modelleren, maar dat de werkelijke geometrische betekenis alleen duidelijk wordt als we rekening houden met de manier waarop de ruimte zelf wordt gekromd of getransformeerd. In meer geavanceerde behandelingen kunnen de verschillende vormen van coördinaten en hun metrische eigenschappen ons helpen om de structuren van ruimtetijd en andere geometrische objecten op een diepgaander niveau te begrijpen.

Hoe kunnen we de definitie van tensoren in termen van iteratieve tensorproductruimten begrijpen?

In dit hoofdstuk richten we onze aandacht op een specifiek vectorruimteconcept, namelijk een mag-dir vectorruimte die een fysiek object representeert. We beschouwen de manifestatie van dit object als een pijlvormig element in een N-dimensionale vectorruimte $U$ en de bijbehorende duale één-vorm in de ruimte $\tilde{U}$ . Door deze vectorruimten kunnen we een iteratieve tensorproductruimte $T^{p,q}$ construeren in de vorm:

\tilde{U} \otimes \cdots \otimes \tilde{U} \otimes U \otimes \cdots \otimes U \equiv \tilde{U}^{\otimes q} \otimes U^{\otimes p} \equiv T^{p,q},

waarbij de indicaties $p$ en $q$ het aantal vectoren en één-vormen aangeven. In deze context wordt de generalisatie van de definitie in de volgende vorm gegeven:

\tilde{\alpha}_1 \otimes \cdots \otimes \tilde{\alpha}_q \otimes u_1 \otimes \cdots \otimes u_p (\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_q; \tilde{\beta}_1, \dots, \tilde{\beta}_p) = \tilde{\alpha}_1(\mathbf{v}_1) \cdots \tilde{\alpha}_q(\mathbf{v}_q) u_1(\tilde{\beta}_1) \cdots u_p(\tilde{\beta}_p),

waarbij de elementen $\mathbf{v}_i \in U$ een gegeven lijst van $q$ vectoren vormen en $\tilde{\beta}_j \in \tilde{U}$ een lijst van $p$ één-vormen is. Deze uitdrukking geeft de tensor als een reële multilineaire functie die wordt gedefinieerd over de argumenten die afkomstig zijn uit de iteratieve Cartesische producten:

U^{\otimes q} \times \tilde{U}^{\otimes p} \equiv U^q \times \tilde{U}^p.

Deze ruimte wordt het tensorproduct van type $(p, q)$ genoemd. Het tensorproductoperator van type $(P, Q)$ is een multilineaire functie waarvan de argumenten $Q$ vectoren en $P$ één-vormen zijn.

Evenzo vormen de combinaties van operatoren zoals $e_{\tilde{j}}(1) \otimes \cdots \otimes e_{\tilde{j}}(q) \otimes e_i(1) \otimes \cdots \otimes e_i(p)$ een basis van de iteratieve tensorproductruimte. Elke tensor $T$ in deze ruimte kan worden uitgebreid in een som over alle mogelijke indexcombinaties:

T = T^{j(1)} \cdots T^{j(q)} e_{\tilde{j}}(1) \otimes \cdots \otimes e_{\tilde{j}}(q) \otimes e_i(1) \otimes \cdots \otimes e_i(p).

Wanneer de tensor $T$ als een reële multilineaire functie werkt op de Cartesische product van de basisvectoren, krijgen we de tensorcomponenten:

T(e_k(1), \dots, e_k(q); e_{\tilde{l}}(1), \dots, e_{\til{l}}(p)) = T^{k(1)} \cdots T^{k(q)}.

De expansie van $T$ in termen van basisargumenten biedt de mogelijkheid om tensoren op een consistente en gestructureerde manier te verwerken. Dit benadrukt de betekenis van tensoren als een object in de iteratieve tensorproductruimte en het belang van basiskeuzes bij het werken met hun componenten.

Een voorbeeld van een tensor van type $(1, 0)$ is een pijlvormige vector $\mathbf{v}$ , die alleen contravarianten componenten heeft in elke basis. De actie van een dergelijke tensor op een één-vorm $\tilde{\alpha}$ is gedefinieerd als het inwendig product $\mathbf{v}(\tilde{\alpha}) = \langle \alpha | v \rangle$ , wat resulteert in een reëel getal. Evenzo wordt een één-vorm beschouwd als een tensor van type $(0, 1)$ , aangezien de actie ervan op een vector ook resulteert in een reëel getal.

De metrische tensor, bijvoorbeeld, wordt vaak gedefinieerd als een bilineaire reële functie $G(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \langle u | v \rangle$ , en het bevindt zich in de tensorproductruimte $\tilde{U} \otimes \tilde{U}$ . Het kan worden uitgebreid als een combinatie van basis-een-vormen, waarbij de metrische tensor wordt uitgedrukt als $G = g_{ij} e_{\tilde{i}} \otimes e_{\tilde{j}}$ , waarbij $g_{ij}$ de metrische componenten zijn.

De tensorproducten zoals $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$ kunnen worden gezien als elementen van de tensorproductruimte $U \otimes U$ , die wiskundig gezien vierkantige matrices kunnen representeren. De coëfficiënten van deze expansie kunnen als volgt worden gerangschikt in een matrixvorm:

\begin{pmatrix}

u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \end{pmatrix}.

-210,155.3,-396.3,270,-559c6.7,-9.3,10,-15.3,10,-18z"> u_{1} v_{1} u_{2} v_{1} u_{3} v_{1} u_{1} v_{2} u_{2} v_{2} u_{3} v_{2} u_{1} v_{3} u_{2} v_{3} u_{3} v_{3} .

Hieruit blijkt dat de elementen van de tensorproductruimte $U \otimes U$ kunnen worden geïnterpreteerd als vierkante matrices, waarbij de onafhankelijkheid van de componenten wordt bepaald door de rang van de matrix.

Ten slotte kunnen lineaire operatoren worden gezien als tensoren van type $(1, 1)$ , die een reëel getal produceren wanneer ze worden toegepast op zowel een vector $\mathbf{v}$ als een één-vorm $\tilde{\alpha}$ . Dit leidt tot een directe correspondentie tussen de lineaire operatoren op vectorruimten en tensoren van type $(1, 1)$ , waarbij de operator $R$ gedefinieerd wordt door $R(\mathbf{v}; \tilde{\alpha}) = \tilde{\alpha}(R \mathbf{v})$ .

De belangrijkste eigenschap van tensoren is dat ze bij gebrek aan een gekozen coördinatensysteem of basis als abstracte objecten kunnen worden beschouwd. Ze krijgen pas betekenis wanneer we basisvectoren en één-vormen introduceren, wat een structuur biedt voor het begrijpen van hun componenten in een bepaalde basis.

Hoe en waarom gebruikt Donald Trump bijnamen in zijn taalgebruik?
Hoe Stochastische Gemiddelde Methoden Toepassen op Quasi-Integrabele Hamiltoniaanse Systemen onder Brede Stationaire Ruis
Hoe Geluidssignalen Opgevangen en Gecodeerd Worden: Basisprincipes van Akoestisch Sensing
Hoe maak je een smakelijke butternut squash tagine?
Hoe bepaal je of een tijdreeks stationair is? De rol van de Augmented Dickey-Fuller test en autocorrelatieanalyse