Wat is de basis van één-dimensionale kwantumgolfgeleiders en hun toepassingen in mesoscopische structuren?

In het streven naar de fabricage van uiterst beweeglijke kwantumdraden met smalle breedtes, waarin slechts enkele van de laagste subbanden bezet zijn en het transport ballistisch is, moeten de toegestane modi in het kanaal de zogenaamde “golfgeleider”-modi zijn. Het kernpunt van het toepassen van de Landauer–Büttiker-formule is het oplossen van de transmissiematrix $t$ . Dit is de basis waarop de theorie van één-dimensionale kwantumgolfgeleiders [1, 2] steunt, die kan worden toegepast op circuits van kwantumgolfgeleiders van elke vorm en structuur.

De zogenaamde één-dimensionale circuits zijn zodanig dat de breedte van het circuit voldoende klein is, zodat de energiebeschrijving tussen de subbanden die ontstaan door de transversale beperking veel groter is dan de longitudinale kinetische energie van de elektron. In deze gevallen is er slechts één modus van elektronische beweging in het circuit. De beweging van de elektron wordt beschreven door een vlakke golffunctie met de golfvector $k$ langs de richting van het circuit, wat de wetten van de kwantummechanica volgt.

Twee Basisvergelijkingen

Stel $\psi_i$ de golffunctie voor in het $i$ -de circuit, met de algemene vorm $\psi_i = c_{1i} e^{ikx} + c_{2i} e^{ -ikx}$ , waarbij de $x$ -as langs de longitudinale richting van het circuit is. Het centrale aspect van deze theorie is het vaststellen van de grensvoorwaarden bij elk kruispunt van meer dan twee circuits, wat wordt beschreven door twee fundamentele vergelijkingen. De eerste vergelijking betreft de continuïteit van de golffuncties op het kruispunt, wat kan worden uitgedrukt als $\psi_1 = \psi_2 = \psi_3 = \dots = \psi_n$ . De tweede vergelijking betreft de behoud van de stroomdichtheid, die wordt uitgedrukt als $\sum \frac{\partial \psi_i}{\partial x} = 0$ , waarbij alle $x$ -coördinaten naar of van het kruispunt wijzen.

In het algemeen, wanneer er spin-orbit interactie aanwezig is, wordt een stroomdichtheidsoperator $L_i$ geïntroduceerd, die een complexere vorm heeft dan $\frac{\partial}{\partial x_i}$ , zoals te zien in de bovenstaande vergelijking. Deze operator kan in de meeste gevallen worden afgeleid uit de Hamiltoniaan: $L_i = -i [l, H]$ . Uiteindelijk kunnen de bovengenoemde vergelijkingen worden herschreven als $\sum L_i \psi_i = 0$ .

De volledigheid van deze vergelijkingen blijkt uit het feit dat er $2n$ onbekende coëfficiënten zijn voor $n$ circuits die een kruispunt doorkruisen. De $n$ coëfficiënten kunnen worden bepaald door de $n$ vergelijkingen die voortvloeien uit de grensvoorwaarden (Eqs. 10.2 en 10.3). De overige coëfficiënten worden bepaald door de randvoorwaarden op andere kruispunten of de invoer- of uitvoerterminals. Dit systeem van vergelijkingen is dus compleet voor het bepalen van de golffunctie van het gehele systeem.

Toepassing op een Ring met Twee Armen

Een illustratief voorbeeld van de bovenstaande theorie kan worden gegeven door de structuur van een ring met twee armen, zonder magnetisch veld. De twee armen van de ring hebben verschillende lengtes $L_1$ en $L_2$ . De golffuncties in de circuits 1 tot 4 kunnen worden uitgedrukt als:

\psi_1 = e^{ikx} + ae^{ -ikx}, \quad \psi_2 = c_1 e^{ikx} + c_2 e^{ -ikx}, \quad \psi_3 = d_1 e^{ikx} + d_2 e^{ -ikx}, \quad \psi_4 = ge^{ikx}.

Hier is de coëfficiënt van de ingebrachte golf in $\psi_1$ gelijk aan 1, wat betekent dat er één elektron binnenkomt, en in $\psi_4$ is er slechts één term, wat betekent dat de uitvoergolf geen ingebrachte golf bevat. De coëfficiënten $a$ en $g$ zijn respectievelijk de reflectie- en transmissie-amplitudes.

De grensvoorwaardevergelijkingen voor deze golffuncties kunnen worden geschreven bij de punten A en B, wat resulteert in een set lineaire algebraïsche vergelijkingen. Het oplossen van deze vergelijkingen leidt tot de transmissiefunctie, die periodiek verandert afhankelijk van zowel $L$ als $\Delta L$ , een effect dat veroorzaakt wordt door de fasecoherente aard van de golven. Dit komt sterk overeen met experimenten die in mesoscopische structuren zijn uitgevoerd.

Aharonov–Bohm Ring

Wanneer er een magnetisch veld wordt toegepast in een Aharonov–Bohm ring, wordt de Schrödingervergelijking aangepast om rekening te houden met de vectorpotentiaal van het magnetisch veld. Het magnetisch fluxdoorlaatgebied $\Phi$ heeft een invloed op de golffuncties in de ring, wat leidt tot een verschuiving in de golffunctie-energieën die afhankelijk zijn van de magnetische flux $\Phi$ . Dit zorgt voor een periodieke variatie in de transmissie door de ring, die een karakteristiek kwantumeffect is, bekend als het Aharonov–Bohm effect. De transmissie $T$ in de ring varieert periodiek als functie van de magnetische flux, met een periode $\Phi_0 = \frac{h}{e}$ .

De resulterende transmissiefunctie $T$ is niet alleen afhankelijk van de golflengte van de elektron, maar ook van de fasecoherente effecten die door de ringstructuur worden opgewekt. Dit fenomeen heeft belangrijke implicaties voor de ontwikkeling van kwantuminterferentie-apparaten en kwantumcomputing.

Wat nog belangrijk is

Naast de basale concepten van één-dimensionale kwantumgolfgeleiders en hun toepassingen in structuren zoals de Aharonov–Bohm ring, is het essentieel om te begrijpen dat de kwantummechanische effecten in mesoscopische systemen, zoals interferentie en fasecoherentie, cruciaal zijn voor de werking van dergelijke apparaten. De controle van deze effecten kan leiden tot nieuwe technologieën in de kwantumcommunicatie en -computing. Het begrijpen van de interactie tussen elektronen, de geometrie van de circuits, en de externe velden (zoals magnetische velden) is van fundamenteel belang voor het ontwikkelen van op kwantummechanica gebaseerde schakelingen.

Hoe de Transfermatrixmethode de Elektronentransport in Twee-Terminale Kwantumgolfgeleiders Beïnvloedt

De transfermatrixmethode biedt een krachtige benadering voor het bestuderen van elektronentransport in kwantumgolfgeleiders, met name wanneer de structuur twee terminals heeft, zoals geïllustreerd in figuur 11.2. Deze methode maakt gebruik van de concepten van golffuncties en bijbehorende matrixoperaties om het gedrag van elektronen die zich door het systeem verplaatsen te analyseren. In het geval van twee terminals L en R, waarbij een stapvormige interface de twee scheidt, kunnen de elektronische golffuncties in beide terminals worden beschreven door sommen van transversale modi, die gedetailleerd worden weergegeven door de formules ϕL en ϕR. De coëfficiënten die de amplitudes van deze golven vertegenwoordigen, zijn afhankelijk van de longitudinale golfgetallen en de geometrie van het systeem.

De golffuncties in de terminals worden gerepresenteerd als lineaire combinaties van voortplantende en vervagende golven, die voor elk punt langs de interface continu moeten zijn. Deze continuïteitsvereiste voor de golffuncties wordt wiskundig uitgedrukt in de vergelijking (11.4), die stelt dat de som van de amplitudes van de verschillende modi in de linkerterminal gelijk moet zijn aan die in de rechterterminal. Evenzo wordt de continuïteit van de eerste afgeleiden van de golffuncties op de interface verzekerd door een tweede set van vergelijkingen (11.5), die de relatie tussen de golven aan beide zijden van de interface beschrijven.

In situaties waarin de breedtes van de terminals L en R vergelijkbaar zijn, kan men de aantallen transversale modi in beide terminals als gelijk beschouwen (NL = NR), wat leidt tot vereenvoudigde vergelijkingen voor de relatie tussen de amplitudes van inkomende en uitgaande golven. Dit kan verder worden vereenvoudigd door gebruik te maken van de transfermatrix T, die de relatie tussen de inkomende en uitgaande golven in de terminals tot uitdrukking brengt. Deze matrix, die de verstrooiingsamplitudes beschrijft, kan worden gebruikt om de transmissie- en reflectiecoëfficiënten te berekenen, wat de basis vormt voor het analyseren van de elektronische eigenschappen van de golfruimte.

Een belangrijk concept in de toepassing van de transfermatrixmethode is de manier waarop deze de doorgang van elektronen door een systeem bepaalt. Bij het veronderstellen dat elektronen zich in de grondtoestand (de laagste transversale mode) in de linkerterminal voortplanten, kunnen we de transmissiegolven en reflectiegolven verkrijgen. De transmissie en reflectie worden vaak samengevat in de amplituden T en R, die respectievelijk de transmissie- en reflectiefactoren representeren. De eenheidsvoorwaarde van de golfgeleider, die stelt dat de som van transmissie en reflectie gelijk moet zijn aan het aantal voortplantende modi in de inkomende poort, wordt hierin gerespecteerd.

In meer geavanceerde gevallen, zoals wanneer het systeem meerdere modi bevat, kan de transfermatrixmethode verder worden uitgebreid door het systeem op te splitsen in uniforme secties. De totale transfermatrix wordt dan opgebouwd als een product van de matrices die de verstrooiing door de interfaces tussen de secties beschrijven en de matrices die de vrije voortplanting binnen elke sectie representeren. Dit biedt een systematische manier om de effecten van complexe geometrieën en variaties in de fysische eigenschappen van de golfgeleider te modelleren.

Hoewel de transfermatrixmethode effectief is voor veel toepassingen, is het niet zonder uitdagingen. Bij het rekenen met evanescenten modi, waarbij de golfgetallen complex zijn, kunnen numerieke fouten zich snel opstapelen, vooral wanneer de afstand langs de voortplantingsrichting groot is. Dit kan leiden tot een schending van de eenheidsvoorwaarde en tot onnauwkeurige resultaten. Daarom is het cruciaal om zorgvuldig om te gaan met de numerieke stabiliteit van de methode en te zorgen voor voldoende discretisatie in de longitudinale richting van het systeem.

Wat verder belangrijk is, is dat de transfermatrixmethode vooral effectief is voor systemen met twee terminals, maar wanneer er meerdere terminals in het spel zijn, kan de toepassing van de verstrooiingsmatrix een meer geschikte benadering zijn. Dit geldt in het bijzonder voor systemen die complexe interacties vertonen tussen verschillende ingangen en uitgangen, waarbij de verstrooiingsmatrix de relatie tussen alle inkomende en uitgaande golven efficiënt beschrijft.

In meer geavanceerde toepassingen, zoals het modelleren van geleiders met complexe vormen, kan de transfermatrixmethode worden gecombineerd met andere benaderingen, zoals de recursieve Green's functie-methode, om nauwkeuriger en sneller resultaten te verkrijgen, zoals getoond in figuur 11.4. Het gebruik van deze technieken kan helpen om gedetailleerdere inzichten te krijgen in de geleidbaarheid en het elektronentransport in nanostructuren, met toepassingen in de ontwikkeling van kwantumcomputers en nanoscopische elektronische apparaten.

De overdracht van informatie via kwantumgolfgeleiders is een fundamenteel aspect van de ontwikkeling van kwantumtechnologieën, en de transfermatrixmethode biedt een robuuste en veelzijdige tool voor het begrijpen van de dynamiek van elektronentransport in deze systemen. Of het nu gaat om het modelleren van eenvoudige twee-terminale systemen of complexe structuren met meerdere terminals, deze methode vormt de basis voor veel theoretische en numerieke studies in de kwantumfysica van geleiders en transmissielijnen.

Waarom is R Geschikt voor Culturele Data?
Hoe worden Graphene Quantum Dots gesynthetiseerd en welke methoden bepalen hun eigenschappen?
Hoe kan Generatieve AI het Onderwijs Hervormen?