Quali sono le diverse tipologie di dipendenza tra eventi e come si modellano con gli alberi di probabilità?

La comprensione delle relazioni di dipendenza tra eventi è fondamentale nell’analisi probabilistica, specialmente in ambito ingegneristico e scientifico. La dipendenza tra eventi può manifestarsi in forme differenti: dalla completa indipendenza, alla dipendenza perfetta, fino alla dipendenza opposta. Questi casi si distinguono per la loro rappresentazione sia grafica, spesso tramite diagrammi di Venn, sia attraverso la definizione formale delle loro probabilità congiunte e marginali.

Un altro caso estremo è la dipendenza perfetta, dove un evento è contenuto nell’altro, cioè si ha una relazione di inclusione, o “nested events”. Qui la probabilità congiunta è il minimo tra le probabilità individuali: $P(A \cap B) = \min(P(A), P(B))$. Tali relazioni sono spesso riscontrate in sistemi con eventi gerarchicamente strutturati.

Per modellare e calcolare le probabilità di eventi condizionati e sequenziali, gli alberi di probabilità si rivelano strumenti insostituibili. Questi rappresentano graficamente le possibili sequenze di eventi, chiamate scenari, attraverso una struttura ramificata in cui ogni ramo corrisponde a una specifica sequenza di occorrenza degli eventi. La probabilità di ogni sequenza si calcola in termini di probabilità condizionata, valutando l’evento a valle in relazione al verificarsi di tutti gli eventi precedenti nella sequenza.

Un esempio concreto è la gestione del richiamo di computer difettosi: supponendo di avere cinque unità, di cui due difettose ma non identificate, la probabilità che il secondo computer richiamato sia difettoso si determina sommando le probabilità di tutti i rami dell’albero in cui si verifica tale evento. L’albero, costruito considerando le probabilità condizionate di estrazione di un computer difettoso o non difettoso ad ogni passo, consente di ottenere una valutazione esatta di questo tipo di problemi.

Analogamente, quando si selezionano componenti da una scatola contenente elementi difettosi e non, e si installano sequenzialmente in un assemblaggio, l’albero di probabilità permette di calcolare la probabilità che l’ultimo componente montato sia difettoso, indipendentemente dallo stato dei componenti precedenti. La rappresentazione esplicita di tutti i possibili scenari facilita una comprensione dettagliata delle condizioni che influenzano il risultato finale.

Nel contesto della produzione industriale, l’uso delle probabilità condizionate è essenziale per integrare informazioni di qualità provenienti da diverse linee di produzione. Ad esempio, quando la probabilità di difettosità varia tra linee produttive, la probabilità complessiva di ottenere un componente difettoso si ottiene combinando le probabilità condizionate con le probabilità marginali di provenienza da ogni linea. Questa metodologia permette una valutazione più precisa dei rischi e della qualità del prodotto finale.

Nel campo dell’affidabilità, quando si analizzano sistemi composti da molteplici componenti o elementi, la dipendenza tra eventi di guasto gioca un ruolo cruciale. La probabilità di guasto complessivo di una catena può essere calcolata usando sia l’unione degli eventi di guasto dei singoli componenti sia la loro intersezione di funzionamento. Nel caso di eventi indipendenti, si può semplificare il calcolo utilizzando la probabilità complementare del funzionamento simultaneo di tutti i componenti, ottenendo così una soluzione computazionalmente più efficace.

È importante comprendere che l’utilizzo degli alberi di probabilità e l’analisi delle dipendenze non sono semplici esercizi matematici, ma strumenti essenziali per la modellazione realistica di situazioni complesse. In molte applicazioni pratiche, gli eventi non sono indipendenti, e il riconoscimento di questa dipendenza permette decisioni più informate, dalla gestione della qualità alla prevenzione dei guasti.

Inoltre, la rappresentazione grafica attraverso alberi o diagrammi di Venn facilita la visualizzazione di questi concetti, che altrimenti risulterebbero astratti, fornendo un supporto concreto per l’interpretazione e la comunicazione dei risultati probabilistici.

Come si determinano le distribuzioni di variabili casuali dipendenti da funzioni di variabili casuali indipendenti?

Le variabili casuali condizionate X₁|x₂ e X₂|x₁ seguono distribuzioni normali, i cui valori medi sono modificati dalla correlazione tra le due variabili. In particolare, la media condizionata di X₁ dato x₂ si esprime come una correzione lineare che tiene conto dello scostamento di x₂ dal suo valore medio, proporzionale al coefficiente di correlazione ρ e rapportato alle deviazioni standard delle due variabili. Le rispettive varianze condizionate diminuiscono in funzione di 1−ρ², riflettendo la riduzione dell’incertezza sulla variabile condizionata grazie alla conoscenza dell’altra.

Nel contesto più generale delle funzioni di variabili casuali, qualora una variabile dipendente Y sia definita come funzione Y = g(X) di una o più variabili casuali X, è possibile determinare la distribuzione di probabilità di Y a partire dalla conoscenza della distribuzione di X. Quando X è discreta, la funzione di massa di probabilità di Y si ottiene sommando le probabilità di tutti i valori di X che corrispondono a un dato valore di Y. Nel caso continuo, la densità di probabilità di Y si calcola utilizzando la trasformazione della funzione g e il corrispondente Jacobiano, che rappresenta la variazione locale della funzione inversa g⁻¹.

Nel caso di funzioni lineari di variabili casuali indipendenti, Y = a₀ + ∑ a_i X_i, la media di Y è la combinazione lineare delle medie di X_i, e la varianza di Y si calcola come la somma pesata delle covarianze tra le variabili, o più semplicemente come somma delle varianze pesate se le variabili sono non correlate. Nel caso in cui le variabili X_i siano normali, anche Y segue una distribuzione normale, con parametri calcolati dalle relazioni espresse.

Funzioni particolari di variabili normali, come la trasformazione esponenziale, generano variabili con distribuzioni lognormali, mentre la moltiplicazione di variabili lognormali conserva la natura lognormale della variabile risultante. Somme di variabili di Poisson indipendenti mantengono la distribuzione di Poisson con parametro pari alla somma dei parametri originali.

Un esempio concreto aiuta a comprendere queste formule: per una funzione lineare Z = 2X + 5Y + 10, con X e Y indipendenti di medie 3 e 5 e deviazioni standard 1 e 2, la media di Z risulta dalla combinazione lineare dei valori medi di X e Y, mentre la varianza di Z è calcolata sommando le varianze ponderate dei termini, portando a una deviazione standard e un coefficiente di variazione che quantificano la dispersione relativa della variabile Z.

È fondamentale comprendere che la dipendenza tra variabili casuali influenza profondamente sia le medie condizionate sia le varianze, modificando la forma delle distribuzioni e la loro interpretazione probabilistica. Inoltre, l’applicazione della trasformazione di variabili casuali richiede attenzione particolare alla monotonicità e all’univocità dell’inversa della funzione, poiché questi aspetti condizionano direttamente la forma della distribuzione risultante.