Come funziona il misuratore elettrodinamometrico e quali sono le sue applicazioni?

Il misuratore elettrodinamometrico è uno strumento complesso utilizzato per misurare correnti elettriche in vari ambiti, tra cui corrente continua (DC) e alternata (AC). Esso si basa su un principio fisico che coinvolge due bobine: una fissa e una mobile, disposte in modo tale da essere magneticamente accoppiate. Quando le bobine portano correnti iF e iM, l'energia immagazzinata nel campo magnetico risultante può essere espressa dall'equazione:

$E_M = \frac{1}{2} L_F i_F^2 + \frac{1}{2} L_M i_M^2 + M i_F i_M$

dove $L_F$ è l'autoinduttanza della bobina fissa, $L_M$ è l'autoinduttanza della bobina mobile e $M$ è l'induttanza mutua tra le due bobine. Mentre le autoinduttanze rimangono costanti, $M$ varia in funzione dell'angolo di deflessione $\theta$ quando la bobina mobile ruota.

Quando il sistema è in movimento, l'energia elettrica che entra nel sistema delle bobine si divide tra l'aumento dell'energia magnetica immagazzinata e il lavoro meccanico necessario per far muovere la parte mobile del misuratore. L'energia elettrica in ingresso è espressa da:

$p_e = v_F i_F + v_M i_M$

L'analisi delle potenze in gioco porta a diverse espressioni, tra cui il calcolo della potenza meccanica necessaria per mantenere il movimento della parte mobile, che dipende dalle variazioni dell'induttanza mutua $M$ e dalle correnti nelle bobine. La coppia che guida il sistema è proporzionale al prodotto delle correnti delle bobine e alla velocità di variazione dell'induttanza mutua rispetto all'angolo di deflessione.

Nel caso di una deflessione in stato stazionario, la coppia di guida e la coppia di resistenza (fornita dalla molla di controllo) raggiungono un equilibrio, determinando l'angolo finale di deflessione. Se le correnti nelle bobine sono correnti continue (DC), la deflessione sarà:

$\theta = \frac{1}{K} \frac{dM}{d\theta} i_F i_M$

Nel caso di correnti alternate (AC), la deflessione dipenderà dalla media della coppia di guida su un ciclo completo di corrente, e quindi anche dalla media delle correnti stesse.

Le applicazioni principali del misuratore elettrodinamometrico si dividono principalmente in due categorie: misurazione di correnti basse (milliampere) e correnti più alte. Per le correnti basse, le bobine fissa e mobile sono connesse in serie, con una resistenza aggiuntiva che consente di misurare correnti fino a pochi milliampere. Un aspetto interessante di questi strumenti è che sono in grado di misurare sia correnti continue che alternate, senza la necessità di calibrazioni separate, poiché il circuito magnetico non contiene ferro, evitando così effetti indesiderati come l'isteresi e le correnti parassite che influenzerebbero la misurazione nelle applicazioni AC.

Quando si misurano correnti più alte, la corrente nelle bobine è limitata dalla sezione dei fili e dalla capacità di carico delle bobine stesse. In questo caso, si utilizza una resistenza shunt in parallelo con la bobina mobile per estendere la capacità di misura dell'amperometro a correnti più elevate, mantenendo un corretto rapporto tra la corrente della bobina mobile e quella della linea di alimentazione.

Un altro utilizzo importante è come voltmetro. Sebbene i voltmetri elettrodinamometrici non possiedano la sensibilità dei voltmetri PMMC (tipicamente 20 kΩ/V), sono comunque utilizzati per misurazioni di tensione in corrente alternata a frequenze specifiche (come 50 Hz). La loro calibrazione, tuttavia, non è valida per frequenze diverse o per misurazioni in corrente continua.

Un aspetto significativo da tenere presente è che, data la bassa densità di flusso magnetico operante in questi strumenti, l'accuratezza e la stabilità delle misurazioni sono influenzate principalmente dalla qualità della costruzione e dalla protezione contro i campi magnetici esterni. Per questo motivo, gli strumenti elettrodinamometrici devono essere dotati di schermature per evitare che i campi magnetici esterni influenzino i risultati delle misurazioni.

Infine, un ulteriore punto cruciale riguarda la gestione dell'energia che viene trasformata all'interno del sistema. Quando la bobina mobile è in movimento, il sistema richiede energia extra rispetto a quando la bobina è ferma. Questa energia supplementare viene utilizzata sia per superare le forze meccaniche di resistenza (come l'inerzia, il dampening e il controllo) sia per aumentare l'energia immagazzinata nel campo magnetico.

Come gli errori di misura influenzano i calcoli nelle circuiti elettrici

Nel contesto delle misurazioni elettriche, gli errori nelle grandezze misurate come la tensione e la corrente si riflettono direttamente sul calcolo delle grandezze derivate come la potenza o la resistenza. È importante capire come gli errori sistematici propagano nei calcoli e come influenzano il risultato finale.

Prendiamo ad esempio una semplice misurazione della potenza in un circuito a corrente continua (DC). La potenza in un circuito si calcola come il prodotto della tensione ai capi del circuito, $V_c$ , e della corrente, $I_c$ . Se però le misurazioni della tensione e della corrente presentano degli errori percentuali rispettivi, $v\%$ e $i\%$ , la potenza calcolata avrà un errore percentuale $p\%$ , che si determina come la somma degli errori percentuali delle misure di tensione e corrente. In altre parole, se $v\%$ e $i\%$ sono piccoli, l'errore percentuale nella potenza, $p\%$ , sarà approssimativamente uguale alla somma degli errori nelle singole grandezze misurate:

p\% \approx v\% + i\%

Questo risultato è valido quando le misurazioni di tensione e corrente sono indipendenti e l'errore combinato è semplicemente la somma dei singoli errori.

Nel caso di operazioni di divisione, come nel calcolo della resistenza, che si ottiene dividendo la tensione per la corrente ( $R_c = \frac{V_c}{I_c}$ ), il procedimento è simile. Anche qui, gli errori relativi nelle misurazioni di tensione e corrente si sommano per determinare l'errore relativo nella resistenza calcolata:

r\% \approx v\% + i\%

Quando si combinano misure con errori sistematici in operazioni di moltiplicazione o divisione, gli errori relativi sono semplicemente sommati. Tuttavia, nei casi in cui si eseguano operazioni di somma o sottrazione, gli errori si sommano ma ciascuno viene pesato dal rapporto tra il valore individuale e il valore finale.

Un altro esempio importante si ha quando si utilizzano le leggi di Kirchhoff per calcolare correnti in un nodo di un circuito. Immaginiamo di dover calcolare una corrente, $I_3$ , in un nodo dove le correnti $I_1$ e $I_2$ sono misurate. Se entrambe le correnti misurate contengono errori sistematici, l'errore totale su $I_3$ sarà dato dalla somma degli errori relativi nelle due correnti misurate. In particolare, se $I_3$ è calcolato come la somma di $I_1$ e $I_2$ , l'errore percentuale in $I_3$ sarà la somma degli errori percentuali in $I_1$ e $I_2$ . La formula per l'errore relativo di $I_3$ sarà:

\epsilon_3\% = \epsilon_1\% + \epsilon_2\%

Tuttavia, se $I_3$ è la differenza tra due correnti, come nel caso in cui $I_3 = I_A - I_B$ , l'errore in $I_3$ dipenderà dalla combinazione degli errori in $I_A$ e $I_B$ , con i loro segni che influenzano il risultato. In questo caso, l'errore massimo in $I_3$ si verifica quando l'errore di $I_A$ è positivo e quello di $I_B$ è negativo, o viceversa.

Quando si trattano errori sistematici, è cruciale comprendere che l'errore complessivo non dipende solo dalla grandezza assoluta dell'errore, ma anche dal tipo di operazione effettuata. Se si moltiplicano o si dividono due misure, gli errori si sommano. Tuttavia, se si sommano o si sottraggono misure, gli errori sono ponderati in base alla relazione tra i singoli valori e il valore finale.

Un altro aspetto importante da considerare è l'effetto di utilizzare strumenti di misurazione di diversa classe di precisione. Ad esempio, se si misurano due correnti con strumenti di precisione diversa (ad esempio, strumenti di classe 1 e classe 2), l'errore nel calcolo di una grandezza derivata come la somma o la differenza di queste correnti sarà maggiore rispetto a un caso in cui si misurassero direttamente le grandezze con strumenti più precisi. Questo è un aspetto cruciale da tenere in conto, in quanto può influenzare in modo significativo la precisione dei calcoli derivati.

L'errore totale in una misura complessa può essere determinato usando un approccio più generale. Se una quantità $Y$ dipende da più misure $X_1, X_2, \dots, X_N$ , ciascuna con un errore relativo $\epsilon_1\%, \epsilon_2\%, \dots, \epsilon_N\%$ , l'errore relativo in $Y$ sarà una combinazione di questi errori, ponderata in base alla sensibilità della funzione che lega $Y$ a $X_1, X_2, \dots, X_N$ . La formula generale per l'errore di propagazione in questo caso è:

\delta Y = \frac{\partial f}{\partial X_1} \delta X_1 + \frac{\partial f}{\partial X_2} \delta X_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial X_N} \delta X_N

Questa espressione consente di calcolare in modo preciso l'impatto degli errori di misura sulle grandezze derivate, indipendentemente dalla complessità della funzione.

In definitiva, comprendere come gli errori sistematici si propagano nelle misurazioni è essenziale per ottenere risultati accurati nelle analisi dei circuiti. La conoscenza di queste leggi consente di scegliere gli strumenti giusti, comprendere l'impatto degli errori e adottare le tecniche di misurazione più appropriate per ridurre gli effetti degli errori sistematici.

Come Evitare l'Alising e Gestire la Frequenza di Campionamento: Fondamenti della Conversione Analogico-Digitale

Il processo di ricostruzione analogica implica l’utilizzo di un filtro passa basso ideale con una banda passante che si estende da 0 a $f_{\text{max}}$ , eliminando così le frequenze superiori che emergono durante la formazione dei campioni. Tuttavia, per soddisfare la condizione secondo cui lo spettro di $x(n)$ deve essere una replica dello spettro $F(\omega)$ di $x(t)$ , è necessario che lo schema di campionamento digitale sia in grado di rappresentare correttamente un segnale del tipo $2V_{\text{max}} \sin(2\pi f_{\text{max}} t + \theta)$ . Una forma generale di un'onda sinusoidale come questa presenta tre parametri distintivi: ampiezza, frequenza e fase. Con due campioni per ciclo, non sarà possibile ricostruire, in generale, un'onda sinusoidale che soddisfi tutte e tre queste specifiche. Perciò, è necessario avere una frequenza di campionamento $f_s > 2f_{\text{max}}$ .

Consideriamo il campionamento di una sinusoide di frequenza $f_{\text{max}}$ con una frequenza di campionamento $f_s = 2f_{\text{max}}$ . I campioni risultanti saranno 0, 0, 0, ecc., se iniziamo a campionare nel punto di attraversamento dello zero, come mostrato nella Figura 9.46a. Tuttavia, se iniziamo a campionare non nel punto di attraversamento dello zero di $f_{\text{max}}$ , otteniamo due campioni per ciclo, come illustrato nella Figura 9.46b. In entrambi i casi, è facile vedere che si può ricostruire più di una forma d'onda (differente dall'originale da cui i campioni sono stati presi) da questo insieme di campioni. Ad esempio, il primo insieme potrebbe derivare da un’onda sinusoidale di ampiezza diversa o addirittura da un segnale nullo. Il secondo insieme di punti di campionamento consente la ricostruzione di onde sinusoidali della stessa frequenza ma con fasi differenti.

Tali ambiguità, come quelle appena descritte, possono essere evitate se la frequenza di campionamento è maggiore di $2f_{\text{max}}$ . Questo limite inferiore sulla frequenza di campionamento richiesta è conosciuto come la frequenza di campionamento di Nyquist. Nei contesti pratici, la frequenza di campionamento viene generalmente fissata a valori ben più alti rispetto alla frequenza di Nyquist $2f_{\text{max}}$ .

Aliasing dovuto al Campionamento

Cosa accade se campioniamo un segnale $x(t)$ a una frequenza $f_s$ inferiore alla sua frequenza di campionamento di Nyquist $2f_{\text{max}}$ ? La prima cosa che possiamo affermare è che lo spettro del segnale risultante $x(n)$ non conterrà frequenze maggiori di $f_{\text{max}}$ . Tuttavia, oltre a ciò, lo spettro di $x(n)$ sarà distorto, poiché quando una frequenza alta $f_h$ (una frequenza maggiore di $f_s/2$ ) viene "piegata" e riprodotta dai campioni, essa apparirà come se fosse un'onda sinusoidale a bassa frequenza $f_a$ . Questo fenomeno è noto come "aliasing", dove una sinusoide ad alta frequenza $f_h$ appare come una sinusoide a bassa frequenza $f_a$ nei campioni di $x(n)$ .

Un esempio pratico di aliasing si verifica quando il segnale $x(t)$ contiene frequenze come 50, 200, 400, 700, 950, 1100, e 5010 Hz, e viene campionato a una velocità di 1000 campioni al secondo. La frequenza di Nyquist in questo caso è 500 Hz. Pertanto, nel segnale campionato $x(n)$ saranno presenti le frequenze 50, 200, e 400 Hz, ma non le frequenze superiori a 500 Hz come 700, 950, 1100 e 5010 Hz, che, tuttavia, compariranno come alias di frequenze più basse. Ad esempio, 700 Hz si trasforma in 300 Hz, 950 Hz in 50 Hz, 1100 Hz in 100 Hz e 5010 Hz in 10 Hz. La combinazione di queste nuove frequenze potrebbe modificare drasticamente il segnale campionato, alterando l'ampiezza o la fase dei componenti di frequenza presenti.

Il Filtro Anti-Aliasing

Per evitare che i dati campionati soffrano di errori di aliasing, viene introdotto un filtro passa basso tra l'ingresso e il sistema di campionamento, come mostrato nello schema di un tipico sistema di acquisizione dati. Il filtro passa basso, comunemente noto come "filtro anti-aliasing" (AAF), ha la funzione di garantire che il segnale in uscita non contenga frequenze superiori a $f_s/2$ . Se il filtro AAF è correttamente progettato, esso rimuove le componenti di frequenza non desiderate, evitando che lo spettro dei campioni digitalizzati contenga componenti spurie di aliasing non presenti nel segnale di ingresso.

Un altro aspetto importante della progettazione dei sistemi di campionamento è la gestione dei segnali multipli. Se il sistema deve acquisire più segnali analogici, ad esempio i segnali provenienti da più canali, è possibile utilizzare un multiplexatore per inviare i segnali a un singolo convertitore analogico-digitale (ADC). In scenari specifici, può essere necessario campionare simultaneamente i segnali da più canali, e per farlo correttamente, il filtro anti-aliasing e il campionatore devono essere posizionati in ogni canale per garantire la coerenza dei campioni acquisiti.

Un altro metodo che può essere utilizzato è il campionamento sincrono, necessario in applicazioni come il monitoraggio delle correnti e tensioni nei sistemi di alimentazione, dove il segnale contiene una frequenza fondamentale e i suoi armonici. In questo caso, il campionamento di tutti i segnali in modo sincrono garantisce che le informazioni sui segnali armonici vengano catturate correttamente.

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