Come si risolvono i problemi di autovalori e autovettori con trasformazioni di similarità?

Quando ci si trova a dover risolvere problemi legati a sistemi dinamici o equazioni differenziali lineari, un approccio fondamentale consiste nell'uso delle trasformazioni di similarità e della diagonalizzazione delle matrici. Questi concetti permettono di semplificare la comprensione del comportamento del sistema riducendolo a forme canoniche più facili da analizzare. In particolare, la diagonalizzazione di una matrice consente di ridurre un sistema di equazioni differenziali lineari accoppiate a un sistema di equazioni separate, rendendo il problema più gestibile.

Per esempio, nel caso di una matrice simmetrica reale, come quella data dalla relazione:

In questo caso, la trasformazione canonica rappresenta una rotazione degli assi di 45 gradi, come mostrato nel diagramma associato.

Un concetto fondamentale da aggiungere riguarda il comportamento del sistema all'equilibrio. Quando il sistema raggiunge un punto di equilibrio, le variabili dinamiche si stabilizzano in uno stato stazionario. Per esempio, se in un sistema di reazioni chimiche le concentrazioni dei vari componenti raggiungono l'equilibrio, la soluzione stazionaria è data dal vettore $c_0$, che rappresenta la distribuzione delle concentrazioni a lungo termine. Se il sistema è perturbato da una piccola variazione iniziale, la risposta transitoria si evolve secondo le modalità definite dagli autovettori e dagli autovalori della matrice $A$.

Oltre alla diagonalizzazione, esistono altre tecniche avanzate che riguardano le matrici speciali, come le matrici idempotenti (che soddisfano $A^2 = A$) o le matrici ortogonali, che hanno autovalori particolari. Le matrici idempotenti, ad esempio, hanno autovalori che sono esclusivamente 0 o 1, mentre le matrici ortogonali hanno autovalori che sono ±1, con la proprietà che le loro trasformazioni non alterano le distanze tra i punti nello spazio. Queste proprietà rendono queste matrici particolarmente utili in diverse applicazioni, tra cui la teoria dei gruppi e il calcolo numerico.

Come Analizzare Forme Quadratiche e Matrici Definite Positive: Applicazioni e Risultati

La matrice simmetrica reale 2A (dei derivati parziali di secondo ordine di una funzione f(x1, x2, ..., xn)) è chiamata matrice Hessiana. Possiamo eliminare i termini costanti e lineari nell'equazione (7.1) tramite una traslazione dell'origine. Definendo y = x − α (7.2), otteniamo f(x) = c + bT (y + α) + (y + α)TA(y + α) = (c + bTα + αTAα) + (2αTA + bT)y + yTAy. Supponiamo di poter scegliere α tale che Aα = −1/2b (7.3), quindi i termini lineari si annullano. Definendo Q(x) = f(x) − (c + bTα + αTAα), la forma quadratica si semplifica in Q(y) = yTAy (7.4).

Si noti che l'equazione (7.3) può essere risolta per ogni b solo se A non è singolare, o se il vettore −b/2 è nello spazio delle colonne di A. Per il caso n = 2 con A = ( a b b c ), (7.5), i termini lineari possono essere eliminati solo se b² − ac ≠ 0, ovvero se la forma quadratica non è di tipo parabolico. La forma quadratica data dall'equazione (7.4) può essere scritta nella sua forma canonica, osservando che per una matrice simmetrica reale A, esiste una matrice ortogonale U tale che UTAU = Λ (diagonale). Effettuando la trasformazione delle coordinate (che è una rotazione) y = Uz (7.6), l'equazione (7.4) si riduce alla sua forma canonica Q = (Uz)TAUz = zTUTAUz = zTΛz = λ1z1² + λ2z2² + ... + λnz_n².

Un altro esempio è dato dalla forma quadratica definita da 5x1² + 8x1x2 + 5x2² = 10, che è anch'essa un'ellisse identica a quella del caso precedente, ma con l'asse maggiore (più lungo) inclinato di 3π/4 rispetto all'asse x1 (vedi figura 7.2). Un altro esempio ancora, 3x1² − 8x1x2 − 3x2² = 10, definisce un'iperbole, come risulta dalla seguente analisi. Gli autovalori e gli autovettori di A = (3 −4 −4 −3) sono λ1 = −5, λ2 = 5, x1 = (1/√5 2/√5); x2 = (2/√5 −1/√5). Effettuando la sostituzione (rotazione) x = Uz, dove U = (√5 √5 2 1) (−√5 −√5), la forma quadratica si riduce alla forma canonica −5z1² + 5z2² = 10, che descrive un'iperbole.

Le forme quadratiche vengono anche utilizzate per determinare la natura degli estremi delle funzioni multivariate (cioè massimi, minimi, punti di sella, ecc.), come discuteremo nella sezione successiva.

Matrici Positive Definite

Consideriamo la forma quadratica Q(x) = xTAx (7.9), dove A è una matrice simmetrica reale. Una matrice è definita positiva se la forma quadratica assume solo valori positivi per ogni scelta di x ≠ 0, e vale zero solo per x = 0, cioè xTAx > 0 per tutti x ≠ 0. Allo stesso modo, una matrice è definita negativa se xTAx < 0 per tutti x ≠ 0. Per esempio, Q(x) = 5x1² − 8x1x2 + 5x2² = 9(x1 − x2/√2)² + (x1 + x2/√2)² è positiva definita.

Esistono diversi criteri per verificare se una matrice simmetrica è positiva definita:

1. La matrice A è positiva definita se può essere ridotta a una forma triangolare superiore utilizzando solo operazioni elementari di riga (o colonna) di tipo 3, e gli elementi diagonali della matrice risultante (i pivots) sono tutti positivi.

2. La matrice A è positiva definita se e solo se tutti i suoi minori principali sono positivi. Un minore principale di A è il determinante di qualsiasi sottogruppo ottenuto da A eliminando le sue ultime k righe e colonne (k = 0, 1, ..., n − 1).

3. La matrice A è positiva definita se e solo se tutti i suoi autovalori sono positivi.

Quotiente di Rayleigh

Sia A una matrice simmetrica reale (o una matrice Hermitiana complessa) e gli autovalori di A (che sono reali) siano disposti in modo tale che λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn. Definiamo il quotiente di Rayleigh (che definisce una mappatura da ℝn/ℂn al campo dei numeri reali) come R(x) = ⟨Ax, x⟩ / ⟨x, x⟩. Il principio di Rayleigh afferma che λ1 ≤ R(x) ≤ λn, cioè il quotiente di Rayleigh raggiunge il suo valore minimo (uguale al più piccolo autovalore di A) quando x è il corrispondente autovettore di λ1, mentre R(x) raggiunge il suo valore massimo quando x è l'autovettore di λn.

Funzioni di Più Variabili: Massimi e Minimi

Ricordiamo dalla teoria del calcolo che per una funzione di valore scalare f(x) ∈ ℝ, una condizione necessaria affinché un punto x0 sia un estremo è che la derivata prima sia zero (7.10). Una condizione sufficiente è che la derivata seconda sia maggiore di zero per un minimo locale e minore di zero per un massimo locale. Se la derivata seconda è zero, si ha un punto di sella.

Quali sono le equazioni differenziali e le funzioni speciali legate a esse?

Le equazioni differenziali di secondo ordine giocano un ruolo cruciale nella matematica applicata, in particolare nella fisica teorica e in altri campi scientifici. Diverse classi di equazioni, come quelle di Legendre, Bessel, e Hermite, danno origine a funzioni speciali che sono soluzioni fondamentali per una vasta gamma di problemi fisici e ingegneristici. Qui esploreremo alcune di queste equazioni e le soluzioni che ne derivano, che sono di fondamentale importanza per lo studio delle onde, dei potenziali e dei sistemi dinamici.

L'equazione di Legendre, ad esempio, è un'importante equazione differenziale che si trova in vari contesti di fisica matematica. La sua forma standard è:

dove $n$ è un numero intero. Le soluzioni di questa equazione sono le funzioni di Legendre di prima e seconda specie, denotate rispettivamente come $P_n(z)$ e $Q_n(z)$. Per ogni valore di $n$, esistono soluzioni specifiche che possono essere espresse come polinomi o funzioni logaritmiche. Per esempio, per $n = 0$, la funzione di Legendre di prima specie è semplicemente $P_0(z) = 1$, mentre la funzione di seconda specie $Q_0(z)$ è espressa come:

Queste funzioni sono fondamentali in molte applicazioni, come nella soluzione dei problemi di potenziale gravitazionale e elettromagnetico.

Un'altra equazione cruciale è l'equazione di Bessel, che appare frequentemente in problemi di simmetria circolare o cilindrica. L'equazione di Bessel di secondo ordine ha la forma:

Nel caso delle funzioni modificate di Bessel, che appaiono in contesti che coinvolgono la propagazione di onde in media non omogenee o a temperatura variabile, l'equazione differenziale assume la forma:

Le funzioni di Bessel e modificate di Bessel sono strettamente legate alle soluzioni di equazioni che descrivono onde in media cilindrica, e la loro importanza risiede nel fatto che esprimono le modalità di propagazione radiale in tali configurazioni geometriche.

Un altro gruppo importante di equazioni sono quelle associate alle funzioni di Legendre. L’equazione associata di Legendre ha la forma:

Inoltre, l'equazione di Hermite, che è fondamentale nella teoria delle probabilità e nell'analisi delle onde in spazi ad alta dimensione, ha la forma:

Un altro esempio interessante è l’equazione di Laguerre, che appare in contesti come la teoria degli operatori differenziali, e che ha la forma:

Infine, l'equazione di Chebyshev, che è strettamente legata alla teoria delle approssimazioni polinomiali, ha la forma:

Le soluzioni di questa equazione sono i polinomi di Chebyshev di prima e seconda specie, che trovano applicazione in algoritmi numerici, teoria dell'approssimazione e in numerosi problemi di analisi spettrale.

Come l'errore di feedback ritardato influenza la stabilità di un sistema di controllo proporzionale

Il comportamento di un sistema di controllo con feedback ritardato, specialmente in un contesto di controllo proporzionale, dipende fortemente dalle caratteristiche del sistema stesso, come il guadagno proporzionale $k_P$, il tempo di ritardo $\tau_D$ e il tempo di ritardo interno $\tau$. La stabilità del sistema, che è una delle principali preoccupazioni quando si progetta un sistema di controllo, è determinata dalla posizione delle radici dell'equazione di trasferimento nel piano complesso.

Un sistema di controllo con feedback ritardato può essere rappresentato dalla funzione di trasferimento

dove $j$ è l'unità immaginaria, $\omega$ è la frequenza angolare, e $\tau_D$ è il tempo di ritardo. Riorganizzando questa equazione, otteniamo:

Per la stabilità del sistema, le radici della funzione di trasferimento $G(s) = 0$ devono trovarsi nella metà sinistra del piano complesso. Ciò implica che la parte reale delle radici deve essere negativa.

Esaminando le equazioni, si giunge a due relazioni chiave:

Quando $k_P > 1$, le equazioni (17.254) e (17.255) portano a una separazione tra la regione stabile e quella instabile, che può essere descritta dalla relazione:

Questa separazione è descritta anche schematicamente dalla figura 17.16, dove si evidenziano le regioni di stabilità e instabilità per il controllo proporzionale con ritardo.

In pratica, l'analisi mostra che:

1. Se $0 \leq k_P \leq 1$, tutte le radici della funzione di trasferimento si trovano nella metà sinistra del piano complesso, garantendo la stabilità del sistema.

2. Se $k_P > 1$, la regione di separazione tra le radici stabili e instabili è definita dalla relazione $\omega \tau_D = \cos^{ -1}(-1/k_P)$, che dipende dai parametri $k_P$ e $\tau_D$.

Questi risultati possono essere estesi a sistemi descritti da funzioni di trasferimento di ordine superiore, come quelle di secondo o terzo ordine. L'esempio numerico con $k_P = 2$ e $\tau = 1$ illustra come variando il tempo di ritardo $\tau_D$ le risposte del sistema cambiano da stabili a instabili, a seconda del valore di $k_P$.

Le radici della funzione di trasferimento possono essere calcolate numericamente risolvendo l'equazione:

Dove $s = a + ib$ rappresenta una radice complessa. Questa equazione può essere risolta numericamente per determinare i valori reali di $a$ e $b$, e quindi le radici del sistema. Utilizzando queste radici, è possibile ottenere la curva di risposta del sistema, come mostrato nella figura 17.19, dove si confrontano i risultati numerici ottenuti con il metodo delle radici con quelli ottenuti attraverso l'inversione numerica della trasformata di Laplace.

Infine, la tecnica della trasformata di Laplace può essere utilizzata anche per risolvere problemi lineari di differenza e integrazione, in cui il comportamento del sistema è descritto da equazioni differenziali o integrodifferenziali. Questo approccio consente di analizzare in modo efficiente la risposta del sistema a disturbi unitari o a ingressi periodici.