Cosa rende davvero un numero primo? Una visione strutturale dell'indipendenza aritmetica

La definizione tradizionale di numero primo, secondo la quale un intero $p \geq 2$ è primo se non esistono divisori positivi $d$ tali che $1 < d < p$ e $d \mid p$, ha dominato per secoli la comprensione elementare dei numeri. Tuttavia, questa visione, pur essenziale, può essere rivisitata attraverso una lente più strutturale, fondata sulla nozione di coprimalità.

Tale indipendenza si manifesta anche nella struttura dell’intersezione degli insiemi di multipli. Dati due interi $a, b$ coprimi, il minimo comune multiplo [a,b] genera l’intersezione dei rispettivi insiemi $a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} = [a,b]\mathbb{Z}$. Quando $\langle a, b \rangle = 1$, segue che $[a, b] = ab$, il che implica che l’intersezione ha una densità pari al prodotto delle densità individuali. Questo fatto si traduce in un’indipendenza probabilistica: la probabilità asintotica che un numero scelto a caso sia divisibile sia per $a$ sia per $b$ è il prodotto delle probabilità individuali, ossia $1/ab$. Questo tipo di indipendenza è una proprietà cruciale dei numeri primi all’interno della teoria dei numeri.

Questa visione consente anche di comprendere perché l’unità, cioè l’intero 1, non debba essere considerato primo. Se lo fosse, la definizione di primalità perderebbe il suo carattere strutturale: l’unità è coprima con ogni numero, ma non genera una struttura aritmetica autonoma come fanno i primi. I numeri primi non sono semplicemente "non divisibili", sono generatori minimali di strutture di divisibilità.

Il Teorema di Euclide sancisce che i numeri primi sono infiniti. Per ogni $y \geq 2$, definendo $p(y) = \prod_{p \leq y}(p + 1)$, si dimostra che esiste un primo che divide $p(y)$ e che deve essere maggiore di $y$, altrimenti si arriverebbe a una contraddizione. Da ciò segue che non può esistere un massimo primo: la loro successione è infinita e inarrestabile.

Qual è la decomposizione unica di un gruppo abeliano finito in termini di divisori elementari?

Un gruppo abeliano finito può essere rappresentato come prodotto diretto di gruppi ciclici, ciascuno dei quali corrisponde a un divisore elementare del gruppo. Questi divisori sono legati alle potenze dei numeri primi che compongono l'ordine del gruppo. Quando si effettua una decomposizione di un gruppo abeliano, ad esempio un gruppo $A$, in termini di gruppi ciclici, si osserva che ogni gruppo ciclico di ordine $p^\nu$, con $p$ primo e $\nu$ un intero positivo, contribuisce al numero di divisori elementari. In particolare, il numero $\alpha_p$ rappresenta la quantità di gruppi ciclici di ordine $p^\nu$ che appaiono nella decomposizione di $A$.

I divisori elementari che compaiono in questa decomposizione sono chiamati "fattori invarianti" in alcune trattazioni matematiche, ma è importante distinguere tra i due concetti: i fattori invarianti e i divisori elementari. Quest'ultimi, in particolare, rappresentano i gruppi ciclici che si ottengono per decomposizione diretta, mentre i fattori invarianti fanno riferimento a un'altra rappresentazione dei gruppi abeliani.

Per esempio, se si considera l'ordine di un gruppo $A$, che è il prodotto di potenze di numeri primi $p_1^{\nu_1}, p_2^{\nu_2}, \dots, p_J^{\nu_J}$, possiamo ottenere la decomposizione diretta del gruppo come prodotto di sottogruppi ciclici. Ogni sottogruppo ciclico corrisponde a un divisore elementare, e il numero di questi divisori per ogni primo è determinato dalla struttura di $A$.

Inoltre, la p-rank di un gruppo è definita come il numero di divisori elementari divisibili da un primo $p$. Questo valore è utile per comprendere la struttura dei gruppi ciclici quando si lavora con il loro ordine e quando si analizzano le possibili soluzioni a sistemi di congruenze lineari, come si vedrà successivamente.

Un concetto che emerge in questo contesto è il ruolo della decomposizione in sottogruppi ciclici nella risoluzione di sistemi di congruenze lineari. Ogni congruenza può essere trattata utilizzando il teorema cinese dei resti, che consente di risolvere un sistema di congruenze con moduli che sono coprimi. Quando i moduli non sono coprimi, la situazione diventa più complessa, ma può comunque essere affrontata utilizzando la decomposizione del gruppo abeliano.

In particolare, l'esempio di un sistema di congruenze con moduli che sono potenze di numeri primi mostra come la struttura del gruppo possa essere utilizzata per determinare la soluzione del sistema. Se il sistema ha una soluzione, essa è unica modulo il minimo comune multiplo dei moduli. La soluzione del sistema può essere costruita attraverso un processo iterativo che sfrutta la decomposizione del gruppo in sottogruppi ciclici.

In sintesi, la teoria dei gruppi abeliani finiti, della loro decomposizione in sottogruppi ciclici e delle congruenze lineari, offre strumenti potenti per la risoluzione di equazioni modulari complesse. Comprendere la struttura di un gruppo abeliano e la relazione tra i suoi divisori elementari è cruciale per affrontare problemi avanzati in algebra e teoria dei numeri. La distinzione tra divisori elementari e fattori invarianti, così come la comprensione delle congruenze e delle soluzioni ai sistemi modulari, è essenziale per un approccio matematico rigoroso e profondo.

Come Vandermonde ha superato il problema dell'equazione di quinto grado: un passo cruciale verso la teoria moderna delle equazioni algebriche

Nel 1774, il violinista e matematico Vandermonde affrontò una delle questioni più complesse della teoria delle equazioni algebriche: la risoluzione dell'equazione di quinto grado proposta da Euler, che sembrava resistere a qualsiasi tentativo di soluzione. La difficoltà risiedeva nel fatto che non esisteva una formula generale per risolvere le equazioni algebriche di grado superiore a quattro, un ostacolo che aveva bloccato anche i tentativi di Euler. Tuttavia, Vandermonde, purtroppo non con il supporto della moderna notazione algebrica, trovò una via di uscita a questo impasse.

L'idea di Vandermonde si fondava sull'analisi delle radici dell'equazione di quinto grado. L'equazione in questione, che inizialmente aveva la forma $y^5 + y^4 - 4y^3 - 3y^2 + 3y + 1 = 0$, poteva essere riscritta in termini di simmetria ciclica tra le sue radici. Vandermonde riconobbe l'importanza di una particolare configurazione delle radici, che poteva essere espressa come una combinazione di esponenziali complesse e di radici primitive. La configurazione di queste radici, e il modo in cui erano distribuite, permetteva di ridurre il problema a una serie di operazioni algebriche molto più semplici.

Nel suo lavoro, Vandermonde introdusse una nuova idea fondamentale: le radici dell'equazione potevano essere trattate come un gruppo ciclico di permutazioni, il che significava che la struttura algebraica delle radici era invariata sotto certe trasformazioni. Questo fu il primo passo verso la comprensione del concetto di "conjugazione algebrica", che in seguito sarebbe stato formalizzato da Galois. La sua intuizione che il gruppo di permutazioni che agiva sulle radici dell'equazione potesse essere ridotto al gruppo ciclico più semplice fu cruciale per il progresso della teoria delle equazioni algebriche.

Tuttavia, come sottolineato, questa intuizione non fu immediatamente compresa da altri matematici del suo tempo. Lagrange, che stava contemporaneamente lavorando sullo stesso problema, non riuscì a cogliere la chiave della soluzione. Non riuscì a riconoscere la struttura ciclica delle radici e, di conseguenza, il suo approccio portò a una quantità di permutazioni incontrollabili che complicavano eccessivamente il problema. Solo più tardi, nel corso della sua vita, Lagrange avrebbe riconosciuto l'importanza delle scoperte di Vandermonde, esprimendo ammirazione per il suo approccio innovativo.

Quello che Vandermonde realizzò fu, in sostanza, una riformulazione del problema, riducendolo a un insieme più gestibile di operazioni, grazie all'uso delle simmetrie algebriche delle radici. Questo approccio permise di esprimere le soluzioni dell'equazione in termini di radici razionali e di numeri algebrici. Grazie a ciò, si poté finalmente risolvere l'equazione di quinto grado con un grado di sofisticazione mai visto prima.

La scoperta di Vandermonde si estendeva oltre la mera risoluzione di un'equazione algebrica: essa implicava un nuovo modo di vedere e trattare le radici, come elementi non isolati ma parte di una struttura algebrica complessa e interconnessa. Ciò permise non solo di risolvere l'equazione di quinto grado, ma anche di aprire la strada alla moderna teoria dei numeri algebrici e dei gruppi.

L'idea che le radici di un polinomio potessero essere trattate come un oggetto algebrico strutturato avrebbe avuto un enorme impatto, ben oltre il contesto specifico di quella singola equazione. Fu una delle prime occasioni in cui si riconobbe che le soluzioni di un'equazione non erano semplicemente numeri separati, ma che avevano una struttura che le legava e che poteva essere studiata mediante tecniche algebriche avanzate.

In definitiva, l'opera di Vandermonde va oltre la risoluzione di un singolo problema matematico. Essa rappresenta un passo decisivo nella comprensione delle radici delle equazioni polinomiali e nella nascita della teoria moderna delle equazioni algebriche, che avrebbe raggiunto la sua maturità con il lavoro di Galois e la sua teoria dei gruppi. Senza questa intuizione fondamentale, probabilmente non avremmo avuto la comprensione profonda dei polinomi e delle loro soluzioni che oggi possediamo.

Il concetto che la simmetria ciclica delle radici possa semplificare e chiarire la struttura delle soluzioni è un'idea che pervade molti degli sviluppi successivi nella teoria algebrica. Comprendere questa simmetria non è solo utile per risolvere equazioni specifiche, ma è una chiave per esplorare la natura delle soluzioni algebriche in generale, un aspetto che ancora oggi gioca un ruolo cruciale nella matematica moderna.