Come aggiornare un modello con metodi Bayesiani e sensibilità: un esempio sperimentale

Nel contesto dell'aggiornamento dei modelli, una delle tecniche più potenti è l'inferenza bayesiana, che permette di affinare le stime dei parametri di un modello sulla base di nuove osservazioni. Utilizzando un metodo basato sulla sensibilità, come il MCMC temperato (TMCMC), è possibile ottenere una stima più precisa della distribuzione dei parametri del modello, integrando le incertezze in modo iterativo e adattivo. L'idea fondamentale è che i parametri iniziali del modello non sono fissi, ma soggetti a incertezze che possono essere ridotte man mano che vengono acquisiti nuovi dati. In questo capitolo, esploreremo come questi metodi possano essere applicati a un esempio sperimentale di un sistema a tre gradi di libertà (3-DoF).

Un aspetto importante del metodo bayesiano è la capacità di aggiornare il modello in presenza di incertezze. Ad esempio, nell'esempio sperimentale descritto nel capitolo, vengono considerati due parametri di posizione che variano in base alla posizione delle connessioni orizzontali. Questi parametri sono trattati come variabili casuali con distribuzioni uniformi, e l'aggiornamento bayesiano si propone di calibrare le caratteristiche della distribuzione di questi parametri sulla base delle frequenze misurate in un esperimento. L'obiettivo dell'aggiornamento è ottenere una rappresentazione accurata delle frequenze misurate attraverso l'aggiornamento delle distribuzioni dei parametri, non dei parametri stessi.

In un altro caso di test di riferimento con incertezze controllabili, il sistema è stato progettato per includere incertezze provenienti da più fonti, non solo dalle caratteristiche intrinseche del modello, ma anche da variabili ambientali e da altre influenze esterne. In questo caso, l'aggiornamento bayesiano si applica a una serie di modelli identici nominalmente, ma con diverse sorgenti di incertezze che influenzano i risultati. Questo tipo di test permette di valutare la robustezza dei metodi bayesiani in scenari complessi e di confrontare l'accuratezza delle previsioni del modello in presenza di diverse fonti di incertezza.

È fondamentale comprendere che l'aggiornamento di un modello bayesiano non è un processo isolato o unico. Piuttosto, si tratta di un ciclo iterativo che migliora progressivamente le stime dei parametri del modello sulla base di nuove osservazioni. Ogni iterazione fornisce un'opportunità per affinare la comprensione del sistema e per ridurre le incertezze associate ai parametri del modello. Il successo dell'aggiornamento dipende fortemente dalla scelta della funzione di verosimiglianza, dai pesi assegnati ai campioni e dal metodo utilizzato per gestire le incertezze multiple. Inoltre, il processo di aggiornamento deve essere monitorato attentamente per garantire che il modello converga verso una soluzione stabile e che le stime ottenute siano affidabili.

Come risolvere i problemi di vibrazione diretta e inversa attraverso funzioni generalizzate

Per un sistema discreto di equazioni, come quello che descrive il problema di vibrazione con confini fissati, possiamo esprimere la relazione tra variabili come un insieme di equazioni matriciali che collegano le soluzioni $\theta$, $\tau$, $\varphi$, e $u$ attraverso le matrici sopra menzionate. La soluzione del problema di vibrazione inversa può essere ottenuta attraverso un insieme di autovalori e autovettori associati alla matrice delle masse $M$ e alla matrice di rigidezza $A$.

Il problema inverso, che si presenta nella forma di un insieme di equazioni con matrici di delta di Kronecker, richiede la ricostruzione delle posizioni e dei coefficienti delle forze applicate, come le forze e le masse relative ai difetti trasversali. Questa ricostruzione è resa possibile grazie alla conoscenza degli autovalori e delle costanti, il che permette di determinare le forze e le masse che influenzano il comportamento vibratorio del sistema.

Il trattamento di un'asta con crepe trasversali dimostra l'applicazione delle tecniche sviluppate nella sezione precedente. In questo caso, l'asta è modellata come un insieme di segmenti con equazioni di vibrazione longitudinali, dove i difetti sono rappresentati da molle trasversali senza massa. Ogni segmento dell'asta segue l'equazione della vibrazione longitudinale, e le condizioni di congiunzione ai punti di difetto vengono definite tramite condizioni al contorno che collegano il comportamento ai vari segmenti dell'asta. Le soluzioni di queste equazioni, che descrivono il movimento dell'asta, devono rispettare le condizioni imposte ai punti di discontinuità causati dai difetti trasversali.

Oltre a questo, è essenziale comprendere che i metodi di risoluzione proposti non sono limitati al caso di crepe trasversali, ma possono essere estesi a situazioni più generali che coinvolgono difetti complessi o geometrie più complicate. La versatilità di queste tecniche permette di affrontare una vasta gamma di problemi in ingegneria strutturale e nelle scienze applicate, dove le vibrazioni gioca un ruolo fondamentale nell'analisi e nel miglioramento della sicurezza e della durabilità dei materiali.

Come Assegnare gli Autovalori in Sistemi Strutturali con il Metodo di Reattanza: Approcci a Controllo Singolo e Multiplo

Nel contesto del controllo di vibrazioni in sistemi strutturali, l'assegnazione degli autovalori gioca un ruolo fondamentale per garantire stabilità interna e ridurre le oscillazioni indesiderate. Diversi metodi sono stati sviluppati nel corso degli anni per risolvere questo problema, tra cui il metodo di reattanza e l'uso di controllori ottimali. Un approccio particolarmente interessante si concentra sull'assegnazione degli autovalori utilizzando il controllo a singolo o multiplo ingresso, che consente di modellare in modo preciso il comportamento dinamico del sistema.

Nel lavoro di Xie (2021), è stato introdotto un termine di robustezza nella funzione di costo di Bia et al. (2018) e Liu et al. (2019), che ha permesso di estendere l'analisi dell'assegnazione degli autovalori includendo i dati degli autovettori. Questo approccio ha prodotto soluzioni robuste e ottimali, minimizzando la norma del controllo, tenendo conto degli autovalori invariati nel sistema in anello aperto e quelli modificati in anello chiuso. Ad esempio, Wei et al. (2022) hanno sviluppato un controllore H2 ottimale per garantire la stabilità interna e l'assegnazione degli autovalori con il minimo dispendio energetico, destinato a regioni rettangolari nel piano complesso.

Il problema di assegnazione degli autovalori in un sistema a singolo ingresso può essere espresso come segue, dove si cerca di spostare i primi autovalori in nuove posizioni nel piano s, mantenendo invariati gli altri autovalori. Per un sistema a singolo ingresso, il problema si riduce alla formulazione di una matrice di feedback che dipende dai vettori di retroazione di velocità e spostamento. Le equazioni risultanti mostrano come i vettori di feedback influenzano direttamente la posizione degli autovalori chiusi, riducendo al minimo l'energia necessaria per spostare gli autovalori desiderati senza influenzare negativamente gli altri.

Nel caso di un sistema con più ingressi, la situazione diventa più complessa, poiché è necessario assegnare sia gli autovalori che gli autovettori corrispondenti. In questo caso, la matrice di feedback si arricchisce di termini che dipendono dalle matrici di controllo per ciascun ingresso. La soluzione ottimale viene ottenuta risolvendo un sistema di equazioni lineari che tiene conto della combinazione dei vari ingressi e dei relativi autovettori. L'approccio a ingresso multiplo consente di ottenere un controllo più flessibile e preciso, in cui ogni ingresso contribuisce alla modifica degli autovalori e alla gestione delle vibrazioni.

Per entrambi i casi, il controllo minimo-normale è una tecnica potente che può essere utilizzata per ottenere una soluzione ottimale in termini di efficienza energetica. La soluzione minima-normale minimizza l'energia richiesta per spostare gli autovalori senza compromettere la stabilità del sistema. Questo tipo di controllo si rivela particolarmente utile in situazioni in cui le risorse energetiche sono limitate o quando si desidera minimizzare l'impatto delle azioni di controllo sul sistema fisico.

Un esempio pratico di applicazione di questo metodo può essere visto nel sistema massa-molla smorzato, dove si applicano forze di controllo ai primi gradi di libertà per spostare gli autovalori desiderati, mantenendo invariati gli altri autovalori. I risultati numerici mostrano come l'uso del controllo a singolo ingresso possa portare a una riduzione delle vibrazioni nel sistema, con una distribuzione di forze ottimizzata. Nel caso del controllo a ingresso multiplo, la matrice di feedback è più complessa, ma consente di controllare più autovalori e autovettori simultaneamente, migliorando ulteriormente le prestazioni del sistema.

L'implementazione pratica di tali controllori richiede un accurato bilanciamento tra il controllo delle vibrazioni e il consumo energetico, considerando che l'uso di filtri passa-basso o altre tecniche di controllo potrebbe essere necessario per evitare l'eccitazione degli autovalori più alti, che non sono stati modificati. La qualità del controllo dipenderà anche dal numero di sensori disponibili: più sensori permettono una maggiore precisione nell'assegnazione degli autovalori, ma l'uso di sensori limitati richiede soluzioni alternative come filtri o tecniche di controllo approssimato.

Come Applicare il Metodo dei Medi Sferici nelle Equazioni di Piastre Elastico-Dinamiche

Nel contesto delle equazioni dinamiche che descrivono il comportamento di strutture elastiche sottili, come piastre sottoposte a carichi o vibrazioni, è fondamentale considerare metodi avanzati per risolvere problemi inversi e identificare carichi nascosti o forze interne. Un approccio particolarmente utile in questi casi è l'utilizzo dei medi sferici, che permette di analizzare il comportamento spaziale e temporale delle distribuzioni quasi periodiche. In questa sede, esploreremo come questo metodo possa essere applicato a una classe di equazioni dinamiche, concentrandoci su una piastra elastica e analizzando alcuni risultati recenti in questo campo.

La metodologia proposta fa uso delle proprietà delle distribuzioni quasi periodiche e delle loro decomposizioni in serie, rendendo possibile risolvere problemi complessi legati all’identificazione di forze che agiscono su strutture. In particolare, quando si affrontano equazioni che descrivono il comportamento dinamico di piastre sottili, come quelle derivanti dalla teoria di Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1970), il problema può essere formulato come segue:

Una delle principali difficoltà in questo tipo di problemi è l’identificazione di forze $f$ nascoste che agiscono su un sistema strutturale. Quando esistono insiemi aperti non vuoti $\omega \subset \Omega$ e intervalli $[-\tau, \tau] \subset \mathbb{R}$, con $\tau \in (0, T)$, tali che $w|_{[-\tau, \tau] \times \omega} = 0$, si può concludere che $f \equiv 0$. Questo risultato è in linea con quelli ottenuti da Kawano (2013d), Yamamoto (1996a), e Kawano e Yamaoka (2019b).

Il metodo dei medi sferici viene applicato utilizzando funzioni di test che consentono di analizzare le informazioni sullo spazio attraverso medie sferiche, trasformando un problema temporale in un problema spaziale. Questo approccio è basato sul teorema di Paley-Wiener, che garantisce l’esistenza di funzioni di supporto limitato che permettono di ricostruire la distribuzione originale a partire dalle sue proiezioni sferiche.

Un passo successivo nel trattamento delle piastre elastiche è l’applicazione del metodo di decomposizione in serie di Fourier, che permette di esprimere la soluzione come una somma di termini oscillanti in funzione del tempo e dello spazio. Questo approccio è essenziale per analizzare le vibrazioni della piastra e per identificare eventuali carichi dinamici che non sono immediatamente visibili. La trasformazione della soluzione in una somma di funzioni proprie consente di risolvere il problema in modo computazionale efficiente, riducendo il numero di variabili coinvolte e migliorando la precisione del modello.

Oltre all’applicazione descritta per le piastre, il metodo dei medi sferici è utilizzato anche in altri contesti, come il rilevamento di forze in sistemi strutturali complessi, come travi e altre componenti meccaniche. Kawano e Morassi (2024a) hanno dimostrato che questo metodo può essere impiegato con successo per identificare i carichi distribuiti su strutture multiple, estendendo il suo impiego a una vasta gamma di applicazioni ingegneristiche.

In sintesi, il metodo dei medi sferici si presenta come uno strumento potente per risolvere problemi inversi in dinamica strutturale. Utilizzando le proprietà delle distribuzioni quasi periodiche e i teoremi di localizzazione per distribuzioni, è possibile risolvere equazioni complesse e ottenere soluzioni precise per la distribuzione delle forze in strutture sottoposte a sollecitazioni dinamiche. Il successo di questo approccio dipende dalla capacità di decomporre i problemi in componenti spaziali e temporali, consentendo di risolverli in modo efficiente e accurato.