Nel contesto dei sistemi dinamici, l'analisi dei sistemi Hamiltoniani quasi-integrabili eccitati da combinazioni di rumori armonici e a banda larga stazionari riveste un'importanza fondamentale per comprendere i comportamenti stocastici e l'evoluzione delle loro distribuzioni probabilistiche. Quando si affrontano tali modelli, è cruciale definire i coefficienti di deriva e diffusione, come nel caso di m1(A,δ)m_1(A, \delta) e m2(A,δ)m_2(A, \delta), che descrivono il comportamento di un sistema sotto l'influenza di perturbazioni esterne.

In particolare, l'espressione di m1(A,δ)m_1(A, \delta) è data da una somma di due termini: un primo che dipende dalle forze esterne e un secondo che tiene conto di altre contribuzioni interne al sistema, come indicato dalla funzione H1(A)H_1(A). Questo comportamento è modellato attraverso il metodo di media stocastica, che rappresenta una tecnica efficace per semplificare l'evoluzione di un sistema dinamico complesso soggetto a eccitazioni casuali.

L'importanza della funzione di distribuzione congiunta p(a,δ)p(a, \delta), che descrive la relazione tra l'ampiezza AA e la differenza di angolo di fase δ\delta, emerge chiaramente quando si confrontano i risultati ottenuti con il metodo di media stocastica con quelli derivati da simulazioni Monte Carlo. Le simulazioni mostrano una buona corrispondenza, suggerendo che l'approccio teorico basato sulla media stocastica può essere utilizzato con successo per prevedere il comportamento del sistema in risposta a rumori a banda larga e armonici.

Nel contesto dei sistemi dinamici multidimensionali, in particolare quelli con nn-gradi di libertà (MDOF), l'eccitazione combinata di rumori armonici e a banda larga stazionari porta a equazioni non lineari che descrivono il movimento delle coordinate generalizzate QiQ_i e dei momenti PiP_i. Queste equazioni, che comprendono termini di accoppiamento non lineari e forze di smorzamento, sono influenzate da rumori esterni e parametrici. L'approccio per risolvere tali sistemi implica l'uso di tecniche stocastiche avanzate, come l'integrazione numerica delle equazioni di Fokker-Planck o l'analisi dei diagrammi di distribuzione congiunta.

I risultati ottenuti dai metodi stocastici di media possono essere validati confrontandoli con simulazioni numeriche dirette, che offrono una rappresentazione dettagliata della probabilità congiunta delle variabili di ampiezza e fase. Questi approcci consentono di analizzare l'effetto di vari parametri sul comportamento dinamico del sistema, come la frequenza di eccitazione e l'ampiezza del rumore.

Inoltre, è essenziale comprendere che l'approccio della media stocastica si fonda sull'assunzione che il sistema sia quasi-integrabile, cioè che possa essere trattato come un sistema che si avvicina all'integrabilità nel limite di perturbazioni piccole. Tuttavia, questa assunzione potrebbe non essere valida per tutti i sistemi dinamici, specialmente quelli con non linearità forti o in presenza di eccitazioni molto ampie.

L'analisi stocastica dei sistemi MDOF eccitati da rumori armonici e a banda larga stazionari non si limita alla determinazione della distribuzione delle ampiezze e delle fasi, ma fornisce anche importanti indicazioni sulla risposta del sistema alle sollecitazioni casuali. La combinazione di questi due tipi di eccitazione può risultare in una risposta complessa che dipende dai parametri specifici del sistema e dal tipo di eccitazione applicata.

In particolare, la caratterizzazione della risposta stocastica di un sistema a più gradi di libertà permette di esplorare fenomeni come il salto randomico e l'effetto di memoria del sistema, dove la posizione e la velocità del sistema evolvono in modo non lineare in risposta alle perturbazioni. I modelli di distribuzione di probabilità, come le PDF congiunte e marginali, forniscono una visione dettagliata di come le ampiezze e le fasi si distribuiscono nel tempo.

Infine, è cruciale considerare l'impatto delle diverse forme di eccitazione, come quelle armoniche e quelle a banda larga, sulla stabilità e sull'affidabilità del sistema. L'analisi stocastica non solo aiuta a prevedere i comportamenti a lungo termine del sistema, ma fornisce anche un mezzo per ottimizzare i parametri del sistema in modo che possa sopportare meglio le perturbazioni stocastiche senza perdere le sue caratteristiche di funzionamento desiderate.

Come derivare le equazioni differenziali stocastiche mediate per sistemi quasi-integrabili di Hamiltoniani sotto l'effetto di rumori ampiamente distribuiti

Nell'ambito della teoria dei sistemi dinamici, l'uso delle equazioni differenziali stocastiche mediate ha dimostrato essere una tecnica potente per descrivere il comportamento di sistemi soggetti a perturbazioni casuali. La sua applicazione diventa particolarmente rilevante quando si considerano sistemi quasi-integrabili di Hamiltoniani, dove le dinamiche del sistema sono influenzate da rumori che agiscono come forze esterne variabili nel tempo.

Quando si studiano sistemi dinamici complessi come questi, è utile adottare un approccio di media temporale, come quello descritto dall'equazione (2.138), che sostituisce la media temporale tradizionale con una media rispetto alle variabili di stato, denotate come φ1,φ2,…,φn\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n, le quali rappresentano i vari angoli o fasi dei subsistemi. L'idea principale di questa media è ottenere una descrizione statistica del sistema che filtra le fluttuazioni ad alta frequenza, consentendo di concentrarsi sulle dinamiche a bassa frequenza che governano il comportamento globale del sistema stesso.

Le funzioni di potenza spettrale incrociata Skl(ω)S_{kl}(\omega) e Ikl(ω)I_{kl}(\omega), che rappresentano le componenti reale e immaginaria della densità spettrale incrociata per rumori ampiamente distribuiti ξk(t)\xi_k(t) e ξl(t)\xi_l(t), giocano un ruolo fondamentale nell'analisi del sistema. Attraverso l'espansione di Fourier, le espressioni per questi termini possono essere scritte come integrali con il coseno e il seno, come indicato nell'equazione (2.140). Questa tecnica di decomposizione spettrale permette di ottenere le espressioni finali per mi(A)m_i(A) e bij(A)b_{ij}(A), che sono i coefficienti di deriva e diffusione nel contesto delle equazioni differenziali stocastiche.

Un passaggio cruciale nel trattamento di questi sistemi consiste nel derivare le equazioni stocastiche differenziali mediate utilizzando la regola differenziale di Itô. Questo processo consente di scrivere il comportamento del sistema in termini di un sistema di equazioni differenziali per le variabili di stato H=[H1,H2,…,Hn]H = [H_1, H_2, \dots, H_n], che rappresentano i momenti del sistema su una scala temporale macroscopia. Le equazioni di Itô mediate per HH sono espresse come:

dHi=ϵmi(H)dt+ϵ1/2σik(H)dBk(t)dH_i = \epsilon m_i(H)dt + \epsilon^{1/2} \sigma_{ik}(H) dB_k(t)

dove mi(H)m_i(H) e σik(H)\sigma_{ik}(H) sono i coefficienti di deriva e diffusione mediati, e Bk(t)B_k(t) è il processo di Wiener stocastico associato al rumore.

Le equazioni stocastiche mediate permettono di studiare il comportamento probabilistico del sistema in termini di densità di probabilità di transizione p(h,t∣h0)p(h,t|h_0), che descrive come la distribuzione delle variabili di stato evolva nel tempo. Le condizioni al contorno e di inizializzazione per questa equazione sono stabilite in modo che la densità sia normalizzata, con ∫p(h)dh=1\int p(h) dh = 1, e le condizioni di periodicità sono imposte per garantire la consistenza fisica della soluzione. In particolare, per i sistemi oscillatori come nel caso del modello di Duffing-van der Pol con damping derivato frazionale, le condizioni al contorno possono includere condizioni di periodicità come p(h,ψ+2π,t∣h0,ψ0)=p(h,ψ,t∣h0,ψ0)p(h, \psi + 2\pi, t | h_0, \psi_0) = p(h, \psi, t | h_0, \psi_0), che riflettono la periodicità intrinseca delle oscillazioni del sistema.

Un altro aspetto importante in questo tipo di analisi riguarda i casi di risonanza. In particolare, per i sistemi con risonanze interne, come descritto nell'equazione (2.146), i parametri di frequenza media ωi\omega_i dei subsistemi devono soddisfare specifiche condizioni di risonanza interna. Queste condizioni sono spesso espresse come una somma di frequenze che devono annullarsi, con l'aggiunta di termini di correzione che introducono dinamiche non lineari nel sistema. La presenza di risonanze può complicare ulteriormente il comportamento del sistema, e richiede l'introduzione di variabili angolari combinate per trattare correttamente le interazioni tra le diverse frequenze.

Infine, l'analisi di sistemi come l'oscillatore di Duffing-van der Pol con damping frazionale (vedi esempio 2.5) illustra l'applicazione pratica della teoria. L'introduzione di derivate frazionali, come nel termine DαX(t)D^\alpha X(t), porta a un comportamento dinamico più complesso rispetto ai sistemi standard di ordine intero, e richiede l'uso di tecniche avanzate per separare le forze di smorzamento e di ripristino quasi-lineari. Questo tipo di modello è particolarmente utile per studiare sistemi reali dove i fenomeni di smorzamento non sono puramente lineari, come accade in molti sistemi meccanici e fisici complessi.

È essenziale per il lettore comprendere che l'approccio descritto non solo fornisce una rappresentazione matematica dettagliata di questi sistemi, ma consente anche di fare previsioni su come i sistemi risponderanno a diverse forme di rumore e perturbazioni esterne. La metodologia della media stocastica, unita all'uso delle equazioni di Itô, offre una potente cassetta degli attrezzi per analizzare comportamenti complessi in sistemi quasi-integrabili. La comprensione di queste dinamiche è cruciale per applicazioni in ingegneria, fisica, biologia e altre aree in cui il rumore e la non linearità giocano un ruolo fondamentale nel determinare il comportamento del sistema.

Come descrivere il movimento di particelle di Brown attive con coefficienti di smorzamento non lineari e modelli di sciame

Il movimento delle particelle di Brown attive, un modello che descrive il comportamento di particelle microscopiche sospese in un fluido, è un fenomeno complesso che dipende da vari fattori tra cui le caratteristiche del potenziale e i coefficienti di smorzamento. L'interazione di queste particelle con il loro ambiente, in particolare in presenza di rumore bianco gaussiano debole, può essere modellata tramite equazioni stocastiche non lineari.

Un aspetto interessante del movimento delle particelle di Brown attive riguarda l'introduzione di un coefficiente di smorzamento che dipende simultaneamente dalla posizione (displacement) e dalla velocità della particella. Questo approccio si fonda sull'osservazione che in natura, come nel caso di organismi biologici, la capacità di assorbire energia non è uniforme lungo il percorso di movimento. In alcune aree, la disponibilità di risorse (come il cibo) può portare a un tasso maggiore di assorbimento di energia, mentre in altre, la scarsità di risorse può ridurre o addirittura impedire tale assorbimento.

Per descrivere matematicamente questo fenomeno, si considera un coefficiente di smorzamento non lineare che dipende dalla velocità e dalla posizione come segue:

α(x,x˙)=−γ1+γ2x˙2+γ3x2\alpha(x, \dot{x}) = -\gamma_1 + \gamma_2 \dot{x}^2 + \gamma_3 x^2

Questa formulazione consente di studiare il movimento delle particelle in presenza di rumore bianco e di applicare metodi di media stocastica per ottenere soluzioni più semplici ma accurate. Le equazioni dinamiche stocastiche risultanti per il sistema di particelle di Brown attive con potenziale quartico e coefficienti di smorzamento di questo tipo possono essere scritte come segue:

X˙1=V1,V˙1+[−(γ1+γ2(V12+V22)+γ3(X12+X22))]V1+kX121+X12=2DW1(t)\dot{X}_1 = V_1, \quad \dot{V}_1 + \left[-(\gamma_1 + \gamma_2 (V_1^2 + V_2^2) + \gamma_3(X_1^2 + X_2^2))\right] V_1 + k X_1^2 \sqrt{1 + X_1^2} = 2 D W_1(t)