Come ottimizzare la selezione dei dispositivi in un sistema FEEL con vincoli di MSE e bassa matrice di rango

Il problema di ottimizzazione che si intende risolvere in questo contesto è finalizzato a massimizzare il numero di vincoli MSE (Mean Squared Error) soddisfatti, soggetti a determinate condizioni di regolarità. Più precisamente, si cerca di ottimizzare un vettore $m$ appartenente allo spazio complesso $\mathbb{C}^N$, con il vincolo che la norma di $m$ debba essere almeno 1, cioè $\|m\|^2 \geq 1$, e che ogni vincolo MSE $\|m\|^2 - \gamma_i \| m^H h_i \|^2 \leq 0$, dove $\gamma_i = \gamma / \varphi_i^2$, sia soddisfatto per ogni dispositivo $i \in S_t$. Il fine è quello di selezionare un insieme di dispositivi che massimizzano il numero di vincoli MSE soddisfatti, rispettando la regolarità imposta dalla condizione $\|m\|^2 \geq 1$.

Tuttavia, il problema presentato è non convesso, dato che entrambi i vincoli MSE e la condizione di regolarità sono quadratici non convessi. Per affrontare questa non-convessità, una tecnica naturale è l’utilizzo del lifting matriciale. In particolare, si può sollevare il vettore $m$ a una matrice semidefinita positiva (PSD) $M = mm^H$, con rango $\text{rank}(M) = 1$, e il problema (2.19) può essere riformulato come un problema di ottimizzazione con matrici sparse e di basso rango. La riformulazione risultante del problema è la seguente:

Nonostante il problema $P$ rimanga non convesso, l'uso di tecniche algorithmi avanzate, come l'approccio differenziale di funzioni convessi-differenti (DC), consente di ottimizzare la selezione dei dispositivi.

Rappresentazione DC per funzioni sparse e a basso rango

Il nostro obiettivo è introdurre un framework unificato per rappresentare funzioni DC che possano essere applicate a ottimizzare obiettivi di bassa matrice di rango e sparsità nel contesto del Federated Edge Learning (FEEL) con selezione dei dispositivi. La nostra proposta si basa su una nuova rappresentazione DC per la norma $\ell_0$, la quale induce sparsità e consente una metodologia strutturata per la selezione dei dispositivi. Dopo aver definito la sparsità, affrontiamo una serie di problemi di rilevamento della fattibilità, che coinvolgono vincoli quadratici non convessi, per determinare il numero massimo di dispositivi che possono partecipare a ciascun round di comunicazione.

Induzione di Sparsità e Rilevamento della Fattibilità

Il framework DC proposto si articola in due fasi principali: l'induzione della sparsità e il rilevamento della fattibilità.

Nel primo passo, risolviamo un programma DC per il problema di ottimizzazione. La funzione obiettivo viene definita come:

Dove la norma $\ell_1$ e la norma Ky Fan $k$-norm contribuiscono a determinare la sparsità del vettore $x$, mentre la traccia della matrice $M$ e la sua norma spettrale sono usate per garantire che il rango della matrice rimanga pari a uno. Risolvendo il programma DC iterativamente, possiamo ottenere un vettore $x$ sparse, migliorando progressivamente la soluzione.

Il framework DC per risolvere il problema di ottimizzazione sparso e a basso rango nel contesto FEEL, con selezione dei dispositivi, viene quindi definito in due fasi: induzione della sparsità e rilevamento della fattibilità. L'algoritmo risultante consente di ottenere un vettore di beamforming $m$ ottimale, così come il set di dispositivi selezionati.

Considerazioni Aggiuntive

Come migliorare il Federated Edge Learning con RIS e AirComp?

L'integrazione di AirComp e Federated Edge Learning (FEEL) ha il potenziale di migliorare significativamente l'efficienza della comunicazione nei modelli di apprendimento distribuito. AirComp, sfruttando la proprietà di sovrapposizione dei segnali, consente una raccolta dei modelli in uplink più efficiente in termini di spettro. Tuttavia, uno dei principali ostacoli è rappresentato dalle condizioni di canale peggiori verso il server di edge. Questo problema può essere affrontato tramite l'implementazione delle Superfici Riflettenti Intelligenti (RIS), che possono alterare dinamicamente l'ambiente di propagazione del segnale.

Le RIS sono costituite da numerosi elementi riflettenti passivi che possono essere riconfigurati per riflettere i segnali in arrivo, creando così una ricezione ottimale. Questo approccio ha trovato applicazione in vari settori, tra cui la protezione della privacy, l'incremento della robustezza, l'ottimizzazione dei consumi energetici e l'incremento dell'efficienza dello spettro. Nel contesto del FEEL, l'integrazione tra RIS e AirComp promette una miglior aggregazione dei modelli in uplink, rendendo il sistema più preciso e veloce.

Tuttavia, il miglioramento delle prestazioni di FEEL tramite l'ottimizzazione congiunta di AirComp e delle fasi di riflessione RIS non è privo di sfide. La performance del sistema, infatti, può essere valutata solo attraverso un'analisi rigorosa della convergenza, che richiede uno studio approfondito delle caratteristiche di comunicazione del sistema wireless FEEL. Inoltre, la valutazione delle prestazioni deve essere fatta da una prospettiva a lungo termine, poiché il sistema è influenzato dagli errori di comunicazione che si accumulano durante i vari cicli di apprendimento distribuito.

Un altro aspetto critico è l'ottimizzazione congiunta dei parametri di trasmissione di AirComp e delle fasi di RIS. Questo processo, infatti, comporta una complessità computazionale elevata. Per affrontare queste difficoltà, una possibile soluzione consiste nell'utilizzare un algoritmo di ottimizzazione alternata, che consente di ottimizzare in modo iterativo la potenza di trasmissione, il fattore di denoising e le fasi di RIS. Sebbene tale approccio possa ridurre l'errore nel lungo periodo, l'onere computazionale rimane una sfida importante.

Nel tentativo di minimizzare l'errore medio nel tempo e migliorare le prestazioni del sistema, è possibile derivare un limite superiore di convergenza per il gradiente globale, prendendo in considerazione gli errori di aggregazione accumulati durante tutte le iterazioni di comunicazione. L'analisi di questi errori è fondamentale per ottimizzare i parametri di sistema in modo da ottenere un'aggregazione dei modelli più precisa e rapida.

Il design di un tale sistema, in cui RIS e AirComp lavorano in sinergia, richiede quindi una profonda comprensione delle dinamiche di comunicazione e dell'integrazione di tecnologie emergenti. Le sfide principali risiedono nell'ottimizzazione della fase di riflessione RIS, nella gestione delle condizioni di canale non ideali e nell'ottimizzazione della trasmissione in un contesto di apprendimento federato. Tuttavia, i vantaggi di un tale sistema sono evidenti, poiché il miglioramento delle prestazioni di FEEL porterà a una gestione più efficiente delle risorse e a un miglioramento significativo della qualità dell'apprendimento nei sistemi edge distribuiti.

È cruciale anche sottolineare che, pur essendo promettenti, le soluzioni proposte non sono esenti da limitazioni pratiche. La scalabilità, l'efficienza energetica e la gestione dei costi computazionali rappresentano aree in cui ulteriori ricerche sono necessarie per ottimizzare l'uso di RIS in scenari reali. Solo con un'approfondita analisi di questi aspetti sarà possibile sviluppare sistemi FEEL ottimizzati che siano veramente applicabili in contesti complessi e a larga scala.

Come Ottimizzare la Trasmissione Multi-Cella in un Ambiente di Federated Edge Learning nelle Reti Wireless

L'approccio per ottimizzare questo gap è quello di lavorare su un confine di Pareto che definisce le condizioni ottimali per la minimizzazione degli errori. Il concetto di ottimalità di Pareto implica che non esista un altro insieme di valori di gap che possa migliorare la performance in una cella senza peggiorare quella di un'altra. La figura di Pareto rappresenta i limiti oltre i quali non è possibile migliorare senza compromettere un'altra cella. Ad esempio, ridurre l'errore di una cella può portare ad un incremento dell'errore in un'altra.

In un sistema federato, dove più celle cooperano per ottimizzare il processo di apprendimento, la gestione della potenza di trasmissione in uplink e downlink diventa fondamentale. La potenza di trasmissione in downlink è legata agli errori di diffusione che si verificano quando i dati vengono inviati dalle stazioni base ai dispositivi mobili. D'altra parte, l'aggregazione in uplink, cioè l'invio dei dati dai dispositivi alla stazione base, introduce anch'essa un margine d'errore che deve essere minimizzato.

L'ottimizzazione del sistema multi-cella implica quindi una serie di vincoli legati alle potenze di trasmissione $p_{dl}^m$ e $p_{ul}^k$ per downlink e uplink, rispettivamente. Tali vincoli sono definiti come $0 \leq p_{dl}^m \leq P_d^m$ e $0 \leq p_{ul}^k \leq P_u^k$, dove $P_d^m$ e $P_u^k$ rappresentano i limiti massimi di potenza di trasmissione per ogni cella e dispositivo, rispettivamente. L'obiettivo è bilanciare gli errori indotti in ogni cella per avvicinarsi al confine di Pareto, ottimizzando così la performance dell'apprendimento federato attraverso tutte le celle.

In particolare, le operazioni di ottimizzazione per il downlink e uplink sono trattate separatamente, con l'obiettivo di ridurre rispettivamente gli errori di diffusione e aggregazione. Per il downlink, l'ottimizzazione cerca di minimizzare il termine di errore $\zeta_{dl}$, mentre per l'uplink, l'ottimizzazione si concentra sulla minimizzazione di $\zeta_{ul}$. In entrambi i casi, l'ottimizzazione è vincolata dalla capacità massima di trasmissione e dalla necessità di mantenere l'errore al di sotto di un determinato livello, definito dal profilo di gap $\kappa_m$.

Per risolvere questi problemi, vengono utilizzati strumenti di ottimizzazione convessa, come il metodo CVX, che consente di ottenere soluzioni ottimali per le potenze di trasmissione e i fattori di normalizzazione per le trasmissioni uplink e downlink. In particolare, il processo di ricerca delle soluzioni ottimali può essere implementato tramite un algoritmo iterativo che utilizza il metodo della bisezione per determinare la potenza di trasmissione ottimale, garantendo così che l'errore complessivo sia minimizzato in modo equilibrato tra tutte le celle.

Oltre agli aspetti tecnici e matematici trattati, è importante comprendere che l'ottimizzazione della trasmissione in un sistema multi-cella di Federated Edge Learning non riguarda solo l'efficienza individuale di ciascuna cella, ma anche la cooperazione tra di esse. La gestione dell'interferenza tra celle e la distribuzione equilibrata degli errori sono aspetti fondamentali per garantire che il sistema federato funzioni in modo ottimale, con una riduzione complessiva degli errori che non comprometta il rendimento di nessuna delle celle coinvolte.