Nel contesto della dinamica veicolo-ponti, la precisa identificazione delle frequenze e delle forme modali del ponte è essenziale per la valutazione della sua integrità strutturale e per l'analisi delle interazioni con i veicoli in movimento. L'effetto smorzante, che spesso degrada la qualità dei dati raccolti dai sensori, può influenzare negativamente la capacità di ottenere una rappresentazione accurata delle modalità del ponte. È quindi cruciale adottare metodi che possano eliminare o ridurre tale effetto, come dimostrato dal ricorso alla formula ricorsiva presentata in questa ricerca.

Nell'esempio analizzato, si considera un veicolo a due assi che si muove a una velocità di 5 m/s (18 km/h). La risposta accelerometrica verticale e rotazionale del corpo del veicolo viene raccolta tramite il metodo degli elementi finiti (FEM). Il confronto tra i risultati analitici e numerici mostra una buona corrispondenza, suggerendo che la procedura di retrocalcolo applicata alle risposte di contatto frontale e posteriore è efficace nel fornire informazioni sulle modalità del ponte.

Il recupero delle forme modali del ponte avviene attraverso l'applicazione della Trasformata di Hilbert (HT) sulle risposte di contatto. Tuttavia, l'uso diretto della HT sulle risposte di contatto senza correzioni aggiuntive porta a distorsioni significative, specialmente nelle forme modali superiori. La decadenza rapida delle ampiezze di vibrazione nelle modalità più alte, a causa della presenza dello smorzamento, rende particolarmente difficile per il metodo HT ricostruire accuratamente queste modalità. La soluzione proposta per mitigare questo effetto è l'applicazione di una formula ricorsiva che sfrutta la correlazione spaziale tra i punti di contatto anteriori e posteriori del veicolo.

Il miglioramento ottenuto dall'uso della formula ricorsiva è significativo. Le modalità modali recuperate tramite questo metodo, rispetto a quelle ottenute con la HT originale, presentano un aumento notevole nel valore del Modal Assurance Criterion (MAC). Per il primo e il secondo modo, i valori del MAC passano rispettivamente da 0.9512 e 0.3231 a 0.9991 e 0.9796, segnalando una marcata riduzione degli errori. Sebbene il primo modo modale venga identificato con maggiore precisione, la ricostruzione della seconda modalità rimane più complessa a causa delle ampiezze relativamente piccole delle componenti modali superiori.

L'utilizzo del MAC come criterio di valutazione consente di quantificare l'affidabilità delle modalità recuperate e di confrontare l'efficacia di vari metodi di recupero. I risultati indicano chiaramente che l'HT originale non è sufficiente per ottenere una rappresentazione accurata delle modalità modali del ponte senza l'implementazione di un correttivo, come dimostrato dall'approccio ricorsivo proposto.

Un aspetto fondamentale per la riuscita di questi metodi è la corretta selezione e applicazione del filtraggio dei segnali. Prima di applicare la HT per la costruzione delle forme modali, è necessario eseguire una selezione accurata delle componenti modali attraverso operazioni di filtraggio. Il tipo di filtro, la sua selezione e la larghezza di banda scelta influiscono direttamente sulla purezza delle risposte modali, il che può compromettere la qualità finale del recupero delle forme modali.

In conclusione, la formula ricorsiva rappresenta un valido strumento per migliorare l'accuratezza delle forme modali del ponte, rimuovendo efficacemente l'effetto smorzante che altrimenti distorcerebbe i risultati. Tuttavia, è importante considerare che, pur ottenendo ottimi risultati per le prime modalità, le difficoltà aumentano per le modalità superiori. Pertanto, una buona pratica è combinare questa tecnica con altre soluzioni di filtraggio o metodi di correzione per ottenere una rappresentazione sempre più fedele delle reali condizioni dinamiche del ponte.

Soluzioni analitiche per il ponte curvo smorzato e le risposte da contatto

Le equazioni per la vibrazione fuori piano di una trave curva sottoposta all'azione di due veicoli di prova in movimento, che coinvolgono i movimenti verticali e torsionali, possono essere scritte come segue:

mu¨v+EIu′′′′Gv−𝜃′′−J𝜃′′uz+v+cRRbvu˙Rv=Fc(t),müv + EI u′′′′ G v − 𝜃′′ − J 𝜃′′ u z + v + c R R bvu̇ R v = Fc(t),
ρJ𝜃¨+zu′′−𝜃+GRvJ𝜃′′u+v+c𝜃˙TRb𝜃=Rc(t),\rho J𝜃̈ + z u′′ − 𝜃 + G R v J 𝜃′′ u + v + c 𝜃̇ T R b𝜃 = Rc(t),

dove per la trave curva, uvu_v e θ\theta sono il dislocamento verticale e la rotazione torsionale, EE e GG sono rispettivamente i moduli di elasticità e di taglio, cbvc_{bv} e cbθc_{b\theta} sono i coefficienti di smorzamento verticale e torsionale, mm e ρ\rho sono la massa per unità di lunghezza e la densità, e IzI_z e JJ sono il momento di inerzia rispetto all'asse z e la costante torsionale. Le forze di contatto Fc(t)F_c(t) e il momento di contatto Tc(t)T_c(t) sono esercitati dai due veicoli, che si muovono alla velocità vv, sulla trave.

Quando la massa del veicolo è molto inferiore a quella del ponte (ossia, mv≪mLm_v \ll m_L), l'effetto inerziale del veicolo sulla risposta dinamica del ponte può essere trascurato. Pertanto, la forza di contatto F(t)F(t) e il momento di contatto Tc(t)T_c(t) sono:

Fc(t)=∑k=1,2(Fl+Fr)δ[x−v(t−tk)][H(t−tk)−H(t−tk−T)],F_c(t) = \sum_{k=1,2} \left( F_l + F_r \right) \delta[x - v(t - t_k)] [H(t - t_k) - H(t - t_k - T)],
Tc(t)=∑k=1,2(elkFl+erkFr)δ[x−v(t−tk)][H(t−tk)−H(t−tk−T)],T_c(t) = \sum_{k=1,2} \left( e_{l_k} F_l + e_{r_k} F_r \right) \delta[x - v(t - t_k)] [H(t - t_k) - H(t - t_k - T)],

dove k=1,2k = 1, 2 denota il veicolo anteriore o posteriore, Fscvk=−mvg/2F_{s_{cvk}} = - m_v g / 2 (con s=ls = l o rr, e gg è l'accelerazione gravitazionale) rappresenta le forze di contatto verticali delle ruote sinistra o destra, eske_{s_k} è l'eccentricità della forza di contatto FscvkF_{s_{cvk}} rispetto all'asse centrale yy, δ\delta e HH sono rispettivamente la funzione delta di Dirac e la funzione a gradino unitario.

Per la trave semplicemente supportata, il dislocamento verticale uv(x,t)u_v(x,t) può essere espresso come una somma delle modalità:

uv(x,t)=∑nqv,n(t)sin⁡nπxL.u_v(x,t) = \sum_n q_{v,n}(t) \sin \frac{n\pi x}{L}.

Poiché le risposte verticali e torsionali per la trave curva sono accoppiate, l'angolo di torsione θ\theta può essere scritto come:

θ(x,t)=∑nqθ,n(t)sin⁡nπxL=γnqv,n(t)sin⁡nπxL,\theta(x,t) = \sum_n q_{\theta,n}(t) \sin \frac{n\pi x}{L} = \gamma_n q_{v,n}(t) \sin \frac{n\pi x}{L},

dove:

γn=−(R(GJ+EInπz)L)2π(GJR2+EILz).\gamma_n = - \frac{( R(GJ + EI n\pi z) L )^{2}}{\pi (GJR^2 + EI L z)}.

Le equazioni modali per il moto fuori piano della trave curva, ottenute sostituendo le espressioni sopra nelle equazioni originali, si scrivono come:

q¨v,n(t)+av,nqv,n(t)+aθ,nqθ,n(t)+2ξbvωbv,nq˙v,n(t)=∑k2m−mvgnπv(t−tk)L2sin⁡k[H(t−tk)−H(t−tk−T)],q̈_{v,n}(t) + a_{v,n} q_{v,n}(t) + a_{\theta,n} q_{\theta,n}(t) + 2 \xi_{bv} \omega_{bv,n} q̇_{v,n}(t) = \sum_k \frac{2m - m v g n\pi v(t - t_k)}{L^2} \sin k [ H(t - t_k) - H(t - t_k - T)],
q¨θ,n(t)+bθ,nqθ,n(t)+bv,nqv,n(t)+2ξbθωbv,nq˙θ,n(t)=∑kmgrρJ(elk+erk)sin⁡k[H(t−tk)−H(t−tk−T)].q̈_{\theta,n}(t) + b_{\theta,n} q_{\theta,n}(t) + b_{v,n} q_{v,n}(t) + 2 \xi_{b\theta} \omega_{bv,n} q̇_{\theta,n}(t) = \sum_k \frac{m g r}{\rho J} \left( e_{l_k} + e_{r_k} \right) \sin k [ H(t - t_k) - H(t - t_k - T)].

I coefficienti ξbv\xi_{bv} e ξbθ\xi_{b\theta} nelle equazioni (13.8a,b) sono rispettivamente il fattore di smorzamento verticale e torsionale della trave curva smorzata, mentre ωbv,n\omega_{bv,n} è la frequenza verticale non smorzata per la modalità nn.

Le soluzioni generali per le equazioni differenziali modali (13.8a,b) si compongono di due parti: la soluzione omogenea (h) e la soluzione particolare (p), espresse come:

qi,n(t)=hi,n(t)+pi,n(t).q_{i,n}(t) = h_{i,n}(t) + p_{i,n}(t).

La soluzione omogenea assume la forma:

hi,n(t)=e−ξiωiD,n(t−tk)[hi1,nsin⁡(ωiD,n(t−tk))+hi2,ncos⁡(ωiD,n(t−tk))].h_{i,n}(t) = e^{ -\xi_{i} \omega_{iD,n}(t-t_k)} \left[ h_{i1,n} \sin(\omega_{iD,n}(t - t_k)) + h_{i2,n} \cos(\omega_{iD,n}(t - t_k)) \right].

La soluzione particolare si esprime come:

pi,n(t)=pi1,nsin⁡(ωd,n(t−tk))+pi2,ncos⁡(ωd,n(t−tk)).p_{i,n}(t) = p_{i1,n} \sin(\omega_d,n(t - t_k)) + p_{i2,n} \cos(\omega_d,n(t - t_k)).

Le frequenze smorzate ωiD,n\omega_{iD,n} sono ottenute dalla formula:

ωiD,n=ωi,n1−ξi2.\omega_{iD,n} = \omega_{i,n} \sqrt{1 - \xi_i^2}.

Sostituendo queste soluzioni nelle equazioni differenziali, è possibile determinare i coefficienti relativi a ciascuna modalità.

È essenziale che il lettore comprenda che la risoluzione completa di questi modelli dinamici richiede una conoscenza dettagliata delle proprietà geometriche e dei materiali del ponte, così come una comprensione accurata della distribuzione delle forze di contatto in funzione dei veicoli in movimento. Inoltre, la presenza di smorzamento, sia verticale che torsionale, gioca un ruolo fondamentale nel determinare le risposte dinamiche complessive della struttura, influenzando la stabilità e la durata della stessa. La modellizzazione accurata del comportamento vibrazionale di strutture come i ponti curvi è cruciale per la progettazione di ponti sicuri e resistenti.

Quali sono i metodi basati su parametri modali per l'identificazione dei danni nei ponti?

I metodi basati su parametri modali rappresentano un approccio fondamentale per il monitoraggio della salute strutturale dei ponti, soprattutto nel contesto dell'identificazione di danni. Questi metodi si concentrano sull'analisi delle modifiche nei parametri dinamici del ponte, come la frequenza naturale, le forme modali e le curvature delle modalità, che possono essere influenzati dalla presenza di danni strutturali. Di seguito vengono analizzati alcuni dei metodi più rilevanti e i progressi recenti in questo campo.

Uno dei primi approcci proposti da He e Ren (2018) si basa sulla variazione delle frequenze naturali indotte da un veicolo parcheggiato su un ponte. Utilizzando una tecnica di aggiornamento del modello agli elementi finiti (FEM), è possibile rilevare i danni attraverso le frequenze misurate in diverse posizioni del veicolo. I risultati numerici ed esperimentali confermano la fattibilità del metodo, mostrando che le variazioni delle frequenze possono essere correlate alla presenza di danni strutturali. Un altro approccio interessante è quello proposto da Cao et al. (2021), che utilizza un indice di localizzazione dei danni basato sulla variazione del tasso di frequenza del sistema VBI, misurato prima e dopo il danneggiamento, evidenziando come la relazione tra il tasso di variazione dei parametri di frequenza e la gravità del danno possa essere utilizzata per stimare l'entità dei danni.

Nel contesto delle forme modali, Zhang et al. (2012) hanno proposto un metodo per l'estrazione approssimativa delle curve di forma modale delle strutture piane e a trave utilizzando i dati di accelerazione provenienti da veicoli in movimento equipaggiati con dispositivi di sollecitazione. In questo studio, è stato introdotto un indice di danno basato sulla differenza tra la curva di forma modale di un ponte danneggiato e quella di un ponte intatto. Un altro approccio sviluppato da Zhang et al. (2013) utilizza un algoritmo di filtraggio globale per il rilevamento dei danni localizzati, basato sulla curvatura della forma di deflessione operativa estratta dai veicoli in movimento. Questo metodo è stato validato sia numericamente che in laboratorio, mostrando promettenti capacità di rilevamento anche in presenza di rumore.

Oshima et al. (2014) e O’Brien e Malekjafarian (2016) hanno esplorato l'uso delle forme modali stimate per identificare danni nei ponti, come l'immobilizzazione dei supporti rotazionali o la diminuzione della rigidità delle travi. Sebbene questi metodi siano efficaci nell'identificare danni gravi, presentano una certa sensibilità al rumore, il che ne limita l'affidabilità in condizioni di traffico normale. Il concetto di variazione della curvatura delle forme modali (mode shape curvature) è stato recentemente considerato come un indice promettente per la localizzazione dei danni. In effetti, He et al. (2018a) e Tan et al. (2020b) hanno mostrato che l'utilizzo della curvatura della forma modale, senza la necessità di dati di riferimento, consente di localizzare con precisione i danni nei ponti.

Per quanto riguarda l'estrazione delle caratteristiche dinamiche del ponte, Yang et al. (2020) hanno proposto l'uso di veicoli pesanti per stimare le caratteristiche dinamiche della modalità fondamentale di un ponte e per valutare la rigidità degli elementi strutturali, utilizzando un approccio basato sulla tecnica di trasformata di Hilbert (HT) per ricostruire le forme modali. In un altro studio, Zhan et al. (2021) hanno sviluppato un metodo di aggiunta di massa a doppio passaggio per identificare le forme modali del ponte e rilevare potenziali danni, dimostrando l'efficacia del metodo anche in presenza di irregolarità della superficie stradale.

Un'ulteriore innovazione è il metodo basato sulla forma di deflessione operativa (ODSR), proposto da Corbally e Malekjafarian (2022b), che calcola il rapporto tra le accelerazioni di due assi consecutivi di un veicolo che attraversa il ponte. Questo indice dimensionale, unico per il ponte e sensibile ai danni, è stato convalidato sia numericamente che in laboratorio, dimostrando la sua utilità nel monitoraggio delle variazioni del comportamento strutturale del ponte.

Infine, le forme modali estratte da veicoli in movimento sono state applicate anche per la diagnosi dei danni ai giunti delle travi nei ponti a trave cava, come proposto da Zhang et al. (2022). In questo caso, è stato utilizzato un veicolo eccitante stazionario insieme a un altro veicolo in movimento per raccogliere i dati di accelerazione necessari per l'analisi delle forme modali e identificare danni locali specifici nei ponti a travi.

L'adozione di queste tecniche basate sui parametri modali per il monitoraggio dei ponti rappresenta una direzione promettente per migliorare la sicurezza e l'efficienza dei sistemi di monitoraggio delle infrastrutture. Tuttavia, l'efficacia di questi metodi dipende fortemente dalla qualità dei dati raccolti, dalla capacità di estrarre correttamente le caratteristiche dinamiche del ponte e dalla gestione dei disturbi ambientali, come il rumore stradale e le variazioni del traffico.

Inoltre, è essenziale che i lettori comprendano che l'affidabilità di questi metodi si basa su un'accurata calibrazione dei modelli numerici e sulla continua validazione dei risultati ottenuti tramite test sul campo. I metodi proposti possono essere influenzati da fattori esterni come la rugosità della superficie stradale, il tipo di veicolo utilizzato per le misurazioni e le condizioni atmosferiche, il che rende fondamentale un approccio sistematico per ridurre l'incertezza e migliorare la precisione delle diagnosi.

Come rilevare in modo efficace le frequenze di un ponte tramite veicolo di prova in movimento o in sosta?

L'identificazione delle frequenze proprie di un ponte tramite un veicolo di prova rappresenta una metodologia efficace, specialmente se si dispone di un sistema progettato ad hoc che simuli un sistema a un solo grado di libertà. Due scenari sperimentali permettono di valutare le risposte dinamiche del ponte: uno con il veicolo in movimento costante lungo la linea centrale e l'altro con una sosta temporanea al centro della prima campata. Entrambe le configurazioni permettono l’estrazione delle frequenze caratteristiche della struttura, ma con differenze significative nella qualità del segnale.

Nel primo scenario, il veicolo attraversa il ponte senza interruzioni. Le accelerazioni registrate e le corrispondenti trasformate di Fourier (FFT) evidenziano la presenza di frequenze veicolari che, tuttavia, possono mascherare le frequenze proprie del ponte. Applicando un'operazione di smoothing, è possibile filtrare parte delle componenti veicolari, rendendo visibili le frequenze strutturali più basse. La risposta al contatto, calcolata attraverso una formula inversa specifica, risulta più affidabile per l’identificazione delle frequenze strutturali, poiché elimina le componenti legate al veicolo e riduce il rumore ambientale.

Nel secondo scenario, il veicolo si ferma per 30 secondi al centro del primo tratto del ponte. Questa pausa consente una maggiore raccolta di dati in un singolo test, senza la necessità di movimento continuo. Le risposte accelerometriche e i relativi spettri mostrano un netto miglioramento nella distinzione delle frequenze strutturali. In particolare, dalla risposta al contatto, emergono con maggiore chiarezza le prime tre frequenze proprie del ponte. La sosta temporanea contribuisce significativamente a ridurre le interferenze legate alla dinamica veicolare.

Dai risultati sperimentali e numerici risulta che la risposta al contatto calcolata con metodo inverso è priva di componenti veicolari e consente una rilevazione più nitida delle frequenze del ponte rispetto alla risposta diretta del veicolo. Essa è anche meno sensibile all’effetto dello smorzamento del veicolo e beneficia di una riduzione naturale del rumore ambientale grazie allo stesso smorzamento.

Un ulteriore elemento rilevante è l'influenza del traffico veicolare continuo durante il test. Contrariamente all’intuizione, la presenza di traffico può migliorare la rilevabilità delle frequenze del ponte, amplificandole attraverso l’iniezione di energia meccanica addizionale nella struttura. Questo effetto "positivo" può superare gli effetti "negativi" dovuti all’irregolarità del manto stradale, rendendo il metodo particolarmente adatto a test su ponti in esercizio senza interrompere la circolazione.

Dal confronto tra metodo diretto, risposta del veicolo e risposta al contatto, si nota un’eccellente coerenza nei risultati ottenuti. Le frequenze fb,1 e fb,2 risultano identiche per veicolo e contatto, mentre la fb,3 emerge solo nella risposta al contatto. Le discrepanze relative rispetto alla misura diretta sono inferiori al 2,3%, confermando l’affidabilità del metodo basato sul veicolo in prova.

L’efficacia del veicolo in stato statico è particolarmente alta: tutte le frequenze individuate tramite misura diretta sono state rilevate anche dal veicolo, comprese quelle torsionali. Tuttavia, anche in stato dinamico, la risposta al contatto consente l’identificazione efficace di almeno tre frequenze proprie, purché il sistema di collegamento tra trattore e rimorchio sia perfettamente allineato lungo la direzione di movimento per evitare moti di imbardata.

È essenziale, per la corretta riuscita della misura, garantire l’adeguato disaccoppiamento tra il comportamento dinamico del veicolo e quello della struttura. La risposta del veicolo risulta utile principalmente per frequenze strutturali inferiori al doppio della frequenza propria del veicolo stesso. In tutti gli altri casi, la risposta al contatto rappresenta una strategia superiore per la caratterizzazione dinamica del ponte.

È inoltre cruciale considerare la qualità del segnale e la distribuzione energetica nelle frequenze analizzate: un veicolo con maggiore smorzamento, oppure l’adozione di tecniche di smoothing, può contribuire a ridurre significativamente il rumore, facilitando l’identificazione anche delle frequenze modali superiori. L’analisi spettrale deve quindi essere condotta con strumenti in grado di distinguere con precisione tra le componenti veicolari e quelle strutturali.

Come si forma l'autostima e come influenza la nostra vita?
Che cosa rende il termine "birdwatching" così affascinante e come comprendere la sua terminologia?
Come Dirichlet ha dimostrato il teorema dei numeri primi utilizzando la legge di reciprocità: una panoramica matematica