L’ottimizzazione distribuita del secondo ordine in un contesto federato si basa su una combinazione delicata tra la qualità del calcolo locale, la trasmissione efficiente su canali wireless rumorosi e la precisione dell’aggregazione globale. Ciascun dispositivo locale calcola direzioni di discesa basate su informazioni locali, usando la matrice hessiana del proprio sottoinsieme di dati e il gradiente associato. La direzione di discesa newtoniana locale viene ottenuta tramite l’inversione della matrice hessiana, il che in teoria richiede un alto costo computazionale. Tuttavia, per mitigare questa complessità, si impiega il metodo dei gradienti coniugati che consente un’approssimazione sufficiente senza compromettere sensibilmente la convergenza.

Le direzioni locali vengono poi trasmesse al server centrale tramite canali wireless. Per affrontare l’instabilità e il rumore intrinseco di questi canali, si utilizza il modello AirComp (Over-the-Air Computation), che consente la somma diretta dei segnali trasmessi nello spazio analogico. Prima della trasmissione, ogni vettore di discesa è normalizzato e codificato per garantire una potenza costante del segnale. Il controllo di potenza è gestito tramite un parametro di scaling che tiene conto sia del vincolo energetico del dispositivo, sia dell’effettiva qualità del canale, rappresentata dal coefficiente di fading.

Il server riceve quindi un segnale aggregato che combina rumore, attenuazioni di canale e le direzioni locali pesate dalla dimensione dei rispettivi dataset. Dopo una fase di post-elaborazione che tiene conto della struttura del canale e del beamforming ricevuto, il server estrae una stima della direzione globale di discesa, che viene usata per aggiornare il modello con un passo di apprendimento predeterminato.

Tuttavia, l’accuratezza della direzione di discesa globale è soggetta a distorsioni: il rumore di canale, la selezione parziale dei dispositivi partecipanti e l’approssimazione introdotta dalla sostituzione della hessiana globale con quella locale compromettono il comportamento ideale dell’algoritmo. Per controllare questi effetti, si impiega la tecnica del matrix sketching. Tale approccio sostituisce una matrice di input ad alta dimensione (come la hessiana globale) con una sua proiezione di dimensione ridotta, ottenuta campionando righe della matrice originaria secondo una distribuzione ponderata. L’idea fondamentale è che questa proiezione conserva sufficienti informazioni strutturali per garantire un’ottimizzazione efficace a fronte di una drastica riduzione dei costi computazionali e di comunicazione.

Nel modello adottato, la matrice sketch è costruita usando una selezione uniforme e riscalata delle righe, e la differenza tra le entità locali (gradiente, hessiana) e quelle globali viene analizzata come distanza tra la matrice originale e la sua proiezione sketchata. Questo schema analitico consente di valutare l’effetto cumulativo delle distorsioni sul comportamento dell’algoritmo e di stabilire limiti teorici di convergenza.

È fondamentale notare che il modello predittivo sottostante è lineare, un’ipotesi che semplifica molte analisi teoriche ma che non riduce la portata del metodo, poiché molti modelli pratici (come regressione logistica o support vector machine) rientrano in questa categoria. Inoltre, la possibilità di mantenere localmente l'informazione strutturale globale attraverso il campionamento strutturato fornisce una base teorica solida per bilanciare precisione del risultato e efficienza operativa, rendendo il metodo scalabile e applicabile a sistemi reali con risorse limitate.

L'importanza della sincronizzazione tra il disegno del protocollo di comunicazione e l'algoritmo di ottimizzazione è cruciale: senza una progettazione coesa, anche un’ottima direzione locale potrebbe risultare inutile se la sua trasmissione o aggregazione risulta distorta. La co-progettazione dell’ottimizzazione e della trasmissione rappresenta quindi uno snodo chiave per i futuri sviluppi dell’apprendimento federato su edge devices.

Qual è l'efficacia dell'algoritmo FedZO nel contesto dell'apprendimento federato?

L'algoritmo FedZO, ispirato dal FedAvg, è stato progettato per ottimizzare il processo di apprendimento federato riducendo la dipendenza dai gradienti e limitando la frequenza di scambio dei modelli tra il server centrale e i dispositivi edge. La principale innovazione dell'algoritmo consiste nell'impiego di un estimatore di gradiente di ordine zero, che consente di eseguire aggiornamenti stocastici per un certo numero di iterazioni per ogni round di comunicazione, senza necessità di calcolare esplicitamente il gradiente locale, il che migliora l'efficienza complessiva del sistema.

Nel dettaglio, l'algoritmo FedZO si compone di quattro fasi principali per ogni round:

  1. Distribuzione del modello globale: All'inizio di ogni round t, M dispositivi edge vengono scelti casualmente dal server centrale per partecipare all'addestramento locale. Successivamente, il server invia il modello globale corrente xtx_t ai dispositivi selezionati.

  2. Aggiornamento del modello locale: Ogni dispositivo selezionato utilizza il modello globale ricevuto per inizializzare il proprio modello locale e compie H iterazioni di aggiornamenti stocastici di ordine zero. In ciascuna iterazione, il dispositivo calcola un estimatore del gradiente stocastico, utilizzando una versione localmente media della funzione di perdita, come indicato nell'equazione (4.2).

  3. Caricamento del modello locale: Al termine delle iterazioni, ogni dispositivo calcola la differenza tra il modello locale aggiornato e quello iniziale, carica queste modifiche sul server centrale.

  4. Aggiornamento del modello globale: Il server centrale aggrega le modifiche provenienti dai dispositivi e aggiorna il modello globale, basandosi sulla media delle modifiche locali, come espresso nell'equazione xt+1=xt+Δtx_{t+1} = x_t + \Delta_t.

L'algoritmo FedZO si distingue per la sua capacità di ridurre il numero di comunicazioni necessarie, mentre allo stesso tempo permette l'esecuzione di aggiornamenti locali più frequenti e meno costosi in termini di calcolo, rispetto agli algoritmi tradizionali che richiedono il calcolo esplicito dei gradienti globali.

Analisi di Convergenza per FedZO

L'analisi della convergenza dell'algoritmo FedZO si basa su un set di ipotesi che includono la continuità e la limitatezza delle funzioni di perdita, nonché la disomogeneità dei dati. Le assunzioni cruciali sono che la funzione di perdita globale sia limitata inferiormente, che le funzioni locali siano L-lisce e che i momenti di secondo ordine dei gradienti stocastici siano limitati.

Nel contesto della partecipazione completa dei dispositivi, è stato provato che FedZO converge in modo efficiente verso una soluzione ottimale, pur con la presenza di dati non i.i.d. (non indipendenti e identicamente distribuiti) e funzioni di perdita non convesse. L'algoritmo mostra una convergenza rapida, con un tasso di errore che diminuisce esponenzialmente con il numero di iterazioni, ma questa velocità dipende anche da vari parametri, come la dimensione del passo μ\mu, il tasso di apprendimento η\eta e il numero di dispositivi partecipanti.

Il tasso di convergenza dell'algoritmo, come derivato nel Teorema 4.1, è espresso come una funzione della dimensione della rete, della variabilità dei dati e dei parametri di aggiornamento. L'errore globale del modello diminuisce in modo significativo con l'aumentare del numero di round e della partecipazione dei dispositivi, ma è importante notare che la scelta dei parametri deve essere ottimizzata per evitare fenomeni di overfitting o di convergenza troppo lenta.

Importanza della Stabilità e della Scelta dei Parametri

Un aspetto fondamentale da comprendere nell'applicazione pratica di FedZO è la delicatezza nella scelta dei parametri, in particolare del passo μ\mu e del tasso di apprendimento η\eta. Se questi valori non vengono scelti correttamente, potrebbero compromettere la convergenza dell'algoritmo, portando a una crescita esponenziale dell'errore o a una stagnazione precoce. Inoltre, la partecipazione dei dispositivi non dovrebbe mai essere vista come un dato acquisito: la selezione dei dispositivi in ogni round è cruciale per garantire una distribuzione uniforme dei dati e una corretta aggregazione delle informazioni. La stabilità della rete di dispositivi, insieme alla qualità delle connessioni di rete, può avere un impatto significativo sulle prestazioni dell'algoritmo.

L'algoritmo FedZO offre, inoltre, vantaggi significativi nei casi in cui l'accesso ai gradienti globali è limitato o costoso. In situazioni reali, dove il calcolo centralizzato potrebbe non essere sempre disponibile o dove la privacy è una preoccupazione centrale, l'approccio basato su zeroth-order optimization si rivela particolarmente efficace, poiché non richiede informazioni precise sui gradienti globali, ma piuttosto sfrutta stime locali basate su aggiornamenti a livello di dispositivo.

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