Come l'aggiornamento dei modelli riduce l'incertezza nei sistemi stocastici

Nel processo di aggiornamento dei modelli, l'incertezza epistemica viene affrontata attraverso il perfezionamento del modello, man mano che vengono raccolti nuovi dati sperimentali. Mentre l'incertezza aleatoria, essendo irriducibile, rimane una costante, la sua quantificazione adeguata è fondamentale per l'aggiornamento stocastico del modello, poiché si lega inevitabilmente all'incertezza epistemica. Una volta identificate le fonti e i tipi di incertezza, il passo successivo è descrivere quantitativamente le incertezze all'interno dei parametri dei modelli numerici. Questo processo è noto come "parametrizzazione delle incertezze". I vari parametri del modello, ognuno dei quali coinvolge diversi tipi di incertezze, possono essere suddivisi in quattro categorie:

Categoria I: parametri senza incertezze epistemiche né aleatorie, trattati come costanti con valori noti con precisione.
Categoria II: parametri con incertezze epistemiche, considerati come costanti sconosciute ma fisse, definite all'interno di un intervallo specifico.
Categoria III: parametri con incertezze aleatorie, rappresentati come variabili casuali caratterizzate da proprietà di distribuzione ben definite, come tipo, media e varianza. Queste distribuzioni sono conosciute come "probabilità precise".
Categoria IV: parametri con incertezze sia epistemiche che aleatorie, rappresentati come variabili casuali con proprietà di distribuzione non definite, note come "probabilità imprecise". Queste vengono modellate utilizzando una Probability-box (P-box), che racchiude un numero infinito di curve della funzione di distribuzione cumulativa (CDF) all'interno di una zona designata dello spazio delle probabilità.

L'aggiornamento del modello può essere ulteriormente raffinato attraverso il teorema di Bayes, il quale si fonda sulla distribuzione a posteriori. In termini matematici, il teorema si esprime come segue:

P(\theta | Y_{\text{exp}}) = \frac{P(Y_{\text{exp}}|\theta) P(\theta)}{P(Y_{\text{exp}})}

Dove:

$P(\theta)$ rappresenta la distribuzione a priori della quantità calibrante $\theta$ . Da notare che $\theta$ non è necessariamente il parametro del modello stesso, ma spesso si riferisce a coefficienti di distribuzione dei parametri, come la media, la varianza e il coefficiente di correlazione.
$P(\theta | Y_{\text{exp}})$ è la distribuzione a posteriori di $\theta$ , che incorpora informazioni aggiuntive derivanti dalle misurazioni sperimentali $Y_{\text{exp}}$ .
$P(Y_{\text{exp}}|\theta)$ è la funzione di verosimiglianza, che rappresenta la probabilità di osservare le misurazioni esistenti $Y_{\text{exp}}$ dato un particolare valore della quantità calibrante $\theta$ .
$P(Y_{\text{exp}})$ è il fattore di normalizzazione, che garantisce che l'integrale della distribuzione a posteriori $P(\theta | Y_{\text{exp}})$ sommi a uno.

La funzione di verosimiglianza è di fondamentale importanza, poiché non solo è alla base della selezione dei campioni all'interno di ogni catena di Markov nell'algoritmo MCMC, ma incapsula anche informazioni sia sulle misurazioni esistenti che sui parametri che richiedono calibrazione. La modalità con cui viene definita la verosimiglianza, che può incorporare vari livelli di incertezza, determina se il processo di aggiornamento del modello sarà stocastico o deterministico.

Quando si trattano più misurazioni indipendenti, con il numero di misurazioni denotato come $n_{\text{exp}}$ , la verosimiglianza totale per queste misurazioni è data dalla seguente espressione:

P(Y_{\text{exp}}|\theta) = \prod_{k=1}^{n_{\text{exp}}} P(Y_{k}|\theta)

Questa equazione richiede una chiara distribuzione per ogni misurazione, $P(Y_k|\theta)$ , il che comporta un numero significativo di campioni casuali o valutazioni del modello per una stima precisa. Inoltre, il campionamento casuale per ogni $P(Y_k|\theta)$ deve essere ripetuto per ogni insieme di dati sperimentali, data la presenza di più dataset sperimentali. Per alleggerire il carico computazionale, è fondamentale sviluppare una funzione di verosimiglianza approssimata che catturi comunque due informazioni essenziali: (1) la discrepanza tra le misurazioni e le simulazioni; e (2) i parametri che necessitano di calibrazione. Questo concetto è stato realizzato con il cosiddetto Approximated Bayesian Computation (ABC), in cui la funzione di verosimiglianza approssimata è definita come segue:

P(Y_{\text{exp}}|\theta) \propto e^{ -\frac{d^2(Y_{\text{exp}}, Y_{\text{sim}})}{2\sigma^2}}

Dove $d(Y_{\text{exp}}, Y_{\text{sim}})$ è una metrica di distanza basata sull'incertezza, come la distanza Euclidea o Bhattacharyya tra le misurazioni sperimentali e le simulazioni del modello. Questo approccio è vantaggioso per la sua flessibilità, che consente un quadro uniforme di aggiornamento sia stocastico che deterministico del modello, a seconda che la metrica di distanza incorpori o meno informazioni sull'incertezza.

Infine, la tecnica di campionamento Markov Chain Monte Carlo (MCMC) gioca un ruolo cruciale nell'aggiornamento bayesiano, poiché facilita il campionamento da distribuzioni di probabilità complesse. L'algoritmo MCMC costruisce una catena di Markov che raggiunge una distribuzione stazionaria identica alla distribuzione a posteriori target, permettendo così l'approssimazione di questa distribuzione anche con modelli complessi. In pratica, il fattore di normalizzazione $P(Y_{\text{exp}})$ deve essere valutato, ma l'integrazione diretta di questa equazione è spesso proibitiva, a causa della complessità della distribuzione di verosimiglianza. In questi casi, l'algoritmo MCMC è utilizzato per eludere l'integrazione diretta.

Un'ulteriore evoluzione dell'MCMC è il Transitional MCMC (TMCMC), che non mira direttamente alla distribuzione a posteriori finale, ma utilizza una procedura di campionamento iterativo che si concentra su una serie di funzioni di densità di probabilità intermedie. Queste distribuzioni intermedie convergono progressivamente alla distribuzione finale attraverso iterazioni successive. Questo approccio è particolarmente utile per affrontare distribuzioni multimodali o altamente picchiate, come si vede nell'equazione:

P^{(j)}(\theta) = P(Y_{\text{exp}}|\theta)^{\beta_j} P(\theta)

Dove $\beta_j$ è un coefficiente di tempering che varia tra 0 e 1, e aumenta monotonamente ad ogni iterazione, fino a raggiungere il valore finale 1.

In questo contesto, è importante sottolineare che l'aggiornamento del modello e l'incertezza sono intrinsecamente legati alla comprensione dei dati sperimentali. Senza una corretta parametrizzazione delle incertezze, il processo di calibrazione del modello rischia di essere errato. Ogni passo deve essere accuratamente calibrato per evitare che l'errore di modellazione si propaghi nelle fasi successive, compromettendo la validità delle previsioni.

Come si costruiscono modelli di diffusione per generare strutture complesse e risolvere problemi inversi?

Nel cuore della modellazione probabilistica, i modelli di diffusione forniscono un quadro raffinato per sintetizzare dati complessi e affrontare problemi inversi con formulazioni statistiche rigorose. La dinamica fondamentale di questi modelli si articola attorno ad un’equazione differenziale stocastica (SDE), governata da un flusso temporale inverso che parte da un rumore gaussiano isotropo per rigenerare strutture ad alta complessità come immagini di microstrutture materiali.

L'equazione (10), $x_{\tau + \Delta \tau} = x_\tau + (T - \tau)\Delta \tau \nabla \log p_{T - \tau}(x_\tau)$ , costituisce la base del processo di campionamento deterministico, laddove $x_0$ è la condizione iniziale e $x_T$ rappresenta una realizzazione dal dato empirico $p_{\text{data}}$ . Per giungere a questa formulazione, si parte dal flusso inverso ottenuto risolvendo un'equazione di Fokker-Planck con termine di drift espresso tramite la funzione score $\nabla \log p_t(x)$ , che rappresenta il gradiente del logaritmo della densità al tempo $t$ .

Un passo critico è la generalizzazione dell’equazione alla forma stocastica (12), dove la dinamica include un termine diffusivo modulato da $\alpha(\tau)$ , che controlla l’ampiezza del rumore browniano. Per $\alpha(\tau) = 1$ , si ottiene il noto algoritmo di Langevin non corretto, una procedura di campionamento che segue il gradiente della log-densità e incorpora un rumore gaussiano scalato:

dx_\tau = \gamma(T - \tau)\nabla \log p_{T - \tau}(x_\tau) d\tau + \gamma(T - \tau) dw_\tau.

Questa formulazione viene discretizzata secondo lo schema di Euler-Maruyama, producendo una sequenza iterativa utile a generare nuove realizzazioni campionate dalla distribuzione target.

Il passaggio cruciale per rendere operativo questo schema risiede nella stima della funzione score $\nabla \log p_t(x)$ , che non è nota in forma chiusa. Per questo si introduce la rete neurale $s_\theta(x, t)$ , allenata per approssimare tale gradiente tramite il metodo di score matching. Si considera come obiettivo di ottimizzazione la divergenza di Fisher, la quale misura la distanza tra la rete e il vero score in senso quadratico integrato sul dominio della distribuzione.

Attraverso una serie di manipolazioni, si arriva ad una forma praticabile per il calcolo della perdita, nota come denoising score matching loss:

\mathcal{L}(\theta) = \sum_{i=1}^{N} \left\| \sigma(t^{(i)}) s_\theta(x^{(i)}, t^{(i)}) + z^{(i)} \right\|^2,

dove

x^{(i)} = x'^{(i)} + \sigma(t^{(i)}) z^{(i)}

, e

z^{(i)} \sim \mathcal{N}(0, I)

. La rete impara così a prevedere il rumore aggiunto ai dati, con un’architettura che tiene conto sia della variabilità temporale sia dell’informazione strutturale dell’input.

Nel caso presentato, il modello di diffusione è stato addestrato per generare immagini al microscopio ottico di microstrutture in polimeri rinforzati con fibre di carbonio. Un’unica immagine a campo largo è stata suddivisa in 16.000 patch normalizzate, costituendo il dataset di addestramento. La rete score, basata su RefineNet, è stata allenata per 300.000 epoche con ottimizzatore Adam. Il tempo di diffusione è stato discretizzato in 257 passi, con $\log \sigma(t)$ crescente linearmente da 0.01 a 50. Durante la fase di generazione, è stata adottata una dinamica di Langevin annealed, ottenendo immagini sintetiche visivamente indistinguibili dai dati reali.

Questa capacità generativa può essere estesa alla risoluzione di problemi inversi, dove si cerca di inferire una variabile latente $X$ da una misurazione osservata $\hat{y}$ . Supponendo di conoscere il modello diretto $y = F(x; \eta)$ , in cui $\eta$ rappresenta rumore o incertezza modellistica, il problema inverso si formula come l’identificazione della distribuzione condizionata $p_{X|Y}(\cdot | \hat{y})$ . Mediante il teorema di Bayes si riscrive:

p_{X|Y}(x|\hat{y}) \propto p_{Y|X}(\hat{y}|x) p_X(x).

I modelli di diffusione condizionati permettono di affrontare questa stima in modo non parametrico, offrendo una soluzione probabilistica robusta dove la varietà degli $x$ compatibili con una data osservazione può essere catturata in maniera esplicita. La generazione condizionata consente quindi non solo di produrre soluzioni puntuali ma anche di caratterizzare l’intera incertezza associata alla soluzione del problema inverso.

La comprensione completa di questi metodi richiede attenzione a diverse dimensioni: la stabilità numerica delle stime score in presenza di rumore estremo, la qualità dell’architettura neurale nel catturare gradienti in spazi altamente non lineari, e l’assunzione implicita che il modello diretto $F$ sia noto e ben comportato. Inoltre, l’interpretabilità dei campioni generati condizionatamente dipende dalla fedeltà del modello alla distribuzione vera, ponendo una sfida aperta in contesti in cui i dati osservati sono scarsi o affetti da rumore sistematico.

Come Assegnare i Valori Propri tramite la Modifica Strutturale: Il Metodo della Ricezione

Il problema della modifica strutturale diretta, inizialmente affrontato con il metodo della ricezione (o ammittanza) da Duncan (1941) e Sofrin (1946), è uno degli approcci fondamentali per determinare le dinamiche di un sistema complesso a partire dalle dinamiche misurate delle sue parti costituenti, tenendo conto delle condizioni di interconnessione. Questo metodo ha dato origine a un campo di ricerca oggi conosciuto come Transfer Path Analysis (TPA). Nella sua forma inversa, l'obiettivo è quello di determinare la modifica strutturale necessaria per assegnare un determinato comportamento dinamico, come la posizione di una o più frequenze naturali.

Il primo a trattare questo problema di assegnazione di valori propri tramite modifiche strutturali fu Weissenburger (1968), che si concentrò sui sistemi non smorzati, utilizzando dati di ricezione scomposti in set troncati di spettri e modi. Pomazal e Snyder (1971) estendevano il lavoro di Weissenburger ai sistemi smorzati, esplorando la scelta ottimale delle coordinate di modifica. Utilizzando anche le ricezioni misurate, Bucher e Braun (1993, 1996) si concentrarono sull'assegnazione delle forme dei modi di vibrazione utilizzando gli autovettori sinistri. Altri, come Mottershead et al. (2001) e Kypriano et al. (2005), hanno applicato il concetto per l'assegnazione di nodi di vibrazione e frequenze naturali ad altri sistemi strutturali complessi, come telai a forma di Γ modificati mediante un'asta aggiunta.

Quando si considera la modifica strutturale tramite il metodo della ricezione, è importante notare che le matrici di sistema M, C e K non devono essere completamente conosciute, né è necessario stimare gli spostamenti non misurati, come sarebbe il caso di un osservatore nel controllo attivo. Il metodo della ricezione offre una notevole semplicità in quanto richiede solo pochi parametri per modificare e assegnare il comportamento dinamico di un sistema, senza la necessità di un'analisi approfondita dell'intero sistema strutturale. In pratica, questo approccio consente di "forzare" un sistema a soddisfare determinati criteri di comportamento dinamico, come l'assegnazione delle frequenze naturali o la creazione di nodi di vibrazione.

Modifica di Rango-1

Un esempio di modifica di rango-1 può essere dato dall'aggiunta di una molla tra due coordinate di un sistema. In questo caso, l'equazione degli autovalori del sistema modificato può essere scritta come una combinazione di matrici di massa, smorzamento e rigidità, in cui la molla influisce solo sulle coordinate specifiche in cui è connessa. Il metodo della ricezione consente di calcolare la rigidità della molla necessaria per assegnare un autovalore prescritto, senza dover ricalcolare l'intero sistema di equazioni del movimento. In particolare, la matrice di ricezione permette di semplificare il calcolo della modifica strutturale, focalizzandosi sulle sole coordinate connesse alla molla. Ad esempio, se la molla è ancorata alla coordinata j, la rigidità della molla può essere determinata direttamente come inverso di un parametro calcolato dalla matrice di ricezione ridotta.

Modifica di Rango-2

Nel caso di una modifica di rango-2, il problema può essere visto come un problema di ottimizzazione in cui si cerca di assegnare due frequenze naturali mediante l'aggiunta di due molle. Le equazioni che descrivono questa modifica diventano più complesse, ma la logica di base rimane simile. L'ottimizzazione comporta la minimizzazione di una funzione obiettivo che lega le frequenze naturali richieste ai parametri del sistema, utilizzando le matrici di ricezione per definire la relazione tra le modifiche strutturali e i valori propri desiderati.

Un esempio pratico di modifica di rango-2 è rappresentato da un sistema massa-molla in cui due molle sono aggiunte per spostare le frequenze naturali a valori specifici. L'uso di strumenti come MATLAB permette di calcolare i parametri delle molle in modo preciso, ottenendo frequenze naturali che coincidono con i valori richiesti.

Modifica tramite un'Asta Aggiunta

Un altro esempio interessante di modifica strutturale è l'aggiunta di un'asta a un sistema strutturale esistente. L'asta influisce sulle frequenze naturali e sulle modalità di vibrazione del sistema. La matrice di rigidità dell'asta aggiunta può essere espressa in forma compatta, e il metodo della ricezione consente di determinare la rigidità necessaria per ottenere il comportamento dinamico desiderato. La procedura matematica si basa sulla risoluzione di equazioni quadratiche che collegano la modifica strutturale alla posizione delle frequenze naturali.

Ad esempio, un sistema di travi con gradi di libertà translazionali e rotazionali può essere modificato mediante l'aggiunta di un'asta tra nodi specifici. L'analisi della matrice di ricezione ridotta e la risoluzione delle equazioni consente di determinare il parametro di rigidità dell'asta che assegna una frequenza naturale desiderata.

Previsione del Flutter

Quando si tratta di strutture aerodinamiche, come ali di aerei o pale di eliche, un aspetto cruciale della modifica strutturale è la previsione del fenomeno del flutter. Il flutter è un fenomeno instabile che può verificarsi a una certa velocità di flusso, in cui le vibrazioni della struttura interagiscono con le forze aerodinamiche, causando un'amplificazione delle oscillazioni. La previsione del flutter richiede la risoluzione di equazioni che tengono conto sia delle proprietà strutturali sia delle caratteristiche aerodinamiche del sistema. La modifica strutturale può influenzare direttamente la stabilità del sistema e la probabilità di flutter.

In questo contesto, l'analisi della modifica strutturale diventa essenziale per garantire che una determinata modifica, come l'aggiunta di una molla o di un'asta, non induca instabilità nel sistema. La previsione del flutter si basa sul calcolo delle frequenze naturali e sull'analisi della loro posizione nel piano complesso. Se una o più frequenze si trovano sull'asse immaginario, il sistema è in una condizione di flutter. La modifica strutturale, quindi, deve essere progettata in modo da evitare che le frequenze naturali si spostino in una zona instabile.

Come risolvere i problemi inversi utilizzando distribuzioni quasi periodiche e metodi basati sui mezzi sferici

In ingegneria e fisica matematica, l'approccio tradizionale per ottenere previsioni accurate su fenomeni fisici complessi, come la temperatura, il dislocamento, la pressione o il potenziale elettrico, è quello di costruire modelli matematici attraverso equazioni differenziali. Questi modelli, una volta definiti con i giusti coefficienti e termini noti, vengono risolti per prevedere il comportamento del sistema. Questo processo è noto come risoluzione di un "problema diretto". In questo scenario, la soluzione consente di ottenere stime che possono essere verificate tramite dati sperimentali, al fine di migliorare i modelli matematici iniziali.

Tuttavia, nasce un interrogativo: è possibile invertire questo processo? In altre parole, possiamo partire dai dati sperimentali e, senza risolvere ripetutamente il problema diretto, ottenere stime più accurate dei coefficienti o dei termini noti presenti nelle equazioni del modello? Inoltre, la domanda successiva è se la soluzione del problema inverso sia unica, ossia se esiste un solo set di coefficienti e termini che possa riprodurre i dati osservati.

Il tema dei "problemi inversi" è vastissimo, coprendo un ampio spettro di applicazioni in fisica, chimica, biologia e ingegneria. Qui, però, ci concentreremo su quelli che riguardano l'identificazione dei termini noti nelle equazioni differenziali parziali. In particolare, esploreremo i problemi inversi legati alla vibrazione di sistemi meccanici strutturali, come travi e piastre.

In termini astratti, i problemi inversi che affronteremo riguardano equazioni del tipo $\mathcal{F}(x) = y$ , dove $\mathcal{F} : X \to Y$ è un operatore lineare tra due spazi di Hilbert $X$ e $Y$ . In questo contesto, $x \in X$ rappresenta una funzione di spostamento (ad esempio, il campo di spostamento lungo una piastra), mentre $y \in Y$ rappresenta il carico di forzamento, ovvero la sorgente che desideriamo identificare.

Il problema principale di un tipico problema inverso è determinare la sorgente $y$ , conoscendo solo parzialmente $x$ , ossia avendo accesso a $x|_{\omega}$ , dove $\omega$ è una parte del dominio di $x$ . In altre parole, la sfida consiste nel recuperare la sorgente $y$ dato un numero limitato di osservazioni di $x$ .

Per garantire l'unicità della soluzione, è necessario verificare che, se due diverse soluzioni $x_1$ e $x_2$ soddisfano $\mathcal{F}(x_1) = y_1$ e $\mathcal{F}(x_2) = y_2$ , allora l'unica condizione affinché le due soluzioni siano uguali è che $y_1 = y_2$ . Inoltre, è cruciale stabilire se la soluzione del problema inverso sia stabile, ossia se l'operatore inverso che lega $y$ a $x_{\omega}$ sia continuo, nel senso che piccole perturbazioni nei dati sperimentali non producano grandi variazioni nei risultati.

Molti dei lavori più recenti su problemi inversi per sistemi meccanici strutturali riguardano l'identificazione delle sorgenti in modelli di vibrazione per travi e piastre. Risultati noti esistono per l'equazione di Euler-Bernoulli, ma la letteratura è ancora scarsa per quanto riguarda problemi inversi per piastre di Kirchhoff-Love. Alcuni lavori pionieristici, come quelli di Nicaise e Zair (2004), Kawano (2014), e Hasanov e Baysal (2015), hanno iniziato a trattare questi temi, offrendo nuove tecniche per la determinazione delle sorgenti in sistemi di vibrazione. Il caso di domini non limitati è stato esplorato da Kawano (2013a), utilizzando metodi basati sui mezzi sferici.

Inoltre, è importante notare che un aspetto cruciale della risoluzione di questi problemi è la natura delle distribuzioni delle sorgenti. Le distribuzioni quasi periodiche, in particolare, sono di interesse perché possiedono proprietà che consentono di trattare con efficacia sequenze non uniformemente discrete. Se la sequenza degli esponenti della distribuzione quasi periodica è uniformemente discreta, la decomposizione in sequenze finite è possibile, ma in molti casi sono necessarie metodologie più generali per affrontare sequenze non uniformemente discrete.

L'approccio basato sui mezzi sferici è particolarmente utile quando si devono trattare sequenze non uniformemente discrete. Questo metodo, che fa uso delle simmetrie sferiche, permette di risolvere i problemi inversi anche in condizioni di complessità maggiore, dove le tecniche tradizionali non sono applicabili. La stabilità e l'affidabilità di questi metodi sono state oggetto di numerosi studi, che dimostrano come i mezzi sferici possano essere utilizzati per risolvere una vasta gamma di problemi pratici in ingegneria e fisica matematica.

Il successo nella risoluzione di problemi inversi dipende dalla qualità dei dati sperimentali a disposizione. La sfida principale risiede nell'assicurare che le osservazioni siano sufficientemente dettagliate da permettere l'identificazione precisa delle sorgenti, ma anche che i modelli matematici siano adeguati a descrivere il fenomeno in esame. La combinazione di approcci teorici avanzati e di tecniche numeriche robuste è quindi fondamentale per affrontare con successo questi complessi problemi.

Come identificare variazioni discontinue di massa nei nanotravi a partire da frequenze proprie sperimentali?

Nel contesto della meccanica dei nanostrutture, la corretta identificazione della distribuzione di massa rappresenta una delle sfide centrali nell’analisi inversa. Consideriamo una trave rettangolare con spessore $h = 50 \,\mu\text{m}$ , larghezza $b = 2h$ , lunghezza $L = 20h$ e densità areica $\rho_0 = \rho_{\text{vol}} \cdot A = 6.1 \cdot 10^{ -6} \,\text{kg/m}$ , dove $A = bh$ e il momento d'inerzia è $I = \frac{bh^3}{12}$ . Con tali parametri, i coefficienti risultanti sono $S = 4.36 \cdot 10^{ -9} \,\text{Nm}^2$ e $K = 4.71 \cdot 10^{ -19} \,\text{Nm}^4$ .

Nel problema inverso considerato, si cerca di ricostruire variazioni discontinue della massa lungo il dominio $(0, L)$ , a partire dalle frequenze proprie misurate della struttura. In particolare, si è dimostrato che la ricostruzione di variazioni continue fornisce risultati soddisfacenti, con accuratezza crescente al crescere del numero $N$ di modalità utilizzate. Tuttavia, la presenza di discontinuità introduce oscillazioni indesiderate, analoghe a quelle osservate nei problemi assiali. Quando la variazione di massa è piccola (in norma $L^\infty$ ), si ottiene buona precisione già per $N = 12-15$ , fatta eccezione per un piccolo intervallo in prossimità della discontinuità. Al contrario, per salti di massa confrontabili con i valori massimi della componente regolare, sono necessarie almeno $N = 20-25$ modalità per limitare gli artefatti oscillatori, che tendono comunque a decadere lontano dalla discontinuità.

La natura locale della convergenza della procedura di identificazione impone di lavorare in un intorno sufficientemente piccolo della configurazione di riferimento del nanotrave. Tuttavia, sorprendentemente, il metodo si è mostrato efficace anche in presenza di variazioni non necessariamente piccole della massa, a condizione che siano noti gli intervalli nei quali tali variazioni sono supportate.

Una validazione sperimentale di questo approccio è stata condotta sui dati presentati in Hanay et al. (2015), riguardanti un cantilever in silicio monocristallino lungo $L = 397 \,\mu\text{m}$ , con sezione rettangolare di larghezza $b = 29 \,\mu\text{m}$ e spessore $h = 2 \,\mu\text{m}$ . Le frequenze proprie sono state misurate in configurazione non perturbata e in sei configurazioni perturbate, ottenute mediante deposizione controllata di gocce liquide. La densità volumica assunta è $\rho_{\text{vol}} = 2330 \,\text{kg/m}^3$ , con modulo di Poisson $\nu = 0.2$ .

Il modulo di Young $E$ e il parametro di scala $l_0$ sono stati stimati attraverso un fitting ai minimi quadrati vincolati, utilizzando le prime quattro frequenze misurate. Il valore ottimale ottenuto è $E_{\text{opt}} = 175 \,\text{GPa}$ , con $l_0^{\text{opt}} = 0.032h$ . I risultati mostrano che gli scostamenti tra modello e dati sperimentali sono contenuti (inferiori all’1% per tutte le modalità) e che le variazioni di massa indotte superano sistematicamente gli errori modellistici. Ciò costituisce una condizione necessaria per la riuscita della procedura inversa.

Le ricostruzioni effettuate, assumendo a priori che il supporto della variazione ignota di massa sia contenuto nell’int

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