Come vengono rappresentati i numeri e le operazioni matematiche nei computer: un'analisi del sistema binario e della gestione della memoria

Nel mondo dei computer, i numeri e le operazioni matematiche sono rappresentati e manipolati attraverso un sistema completamente diverso da quello che siamo abituati a usare nella vita quotidiana. In un contesto elettronico, i numeri non sono espressi con punti decimali, ma attraverso sequenze di bit, cioè 0 e 1. Questo sistema di rappresentazione è alla base dell’intero funzionamento dei computer moderni. Per gestire numeri decimali o valori frazionari, i computer adottano una forma di notazione che consente di rappresentare numeri di ogni tipo utilizzando la mantissa e l’esponente, simile alla notazione scientifica che conosciamo, ma adattata alle esigenze della macchina.

Un esempio pratico potrebbe essere la rappresentazione del numero decimale $10.6$. Questo numero può essere scritto come $106 \times 10^{ -1}$, o $106E-01$. La conversione in binario di 106 e $-01$ dà i seguenti valori per la mantissa e l’esponente:

• Mantissa: $01101010$

• Esponente: $10000001$

In questo sistema binario, anche le operazioni matematiche più comuni vengono eseguite in modo molto diverso rispetto ai calcoli manuali. La somma, la sottrazione e la moltiplicazione avvengono attraverso specifici algoritmi implementati direttamente nell’hardware della CPU. I numeri, infatti, vengono memorizzati in forma binaria all'interno della memoria, e ogni operazione deve essere tradotta in operazioni logiche a livello binario.

Per esempio, una delle operazioni fondamentali nei computer è la somma in complemento a due. Se vogliamo sottrarre $57_{10}$ da $120_{10}$, dobbiamo convertire entrambi i numeri in binario, calcolare il complemento a due di $57_{10}$ e sommarlo a $120_{10}$. Questo tipo di operazione viene eseguito dalla CPU, utilizzando un’unità aritmetica e logica (ALU), che è una delle componenti centrali del processore.

L’ALU è composta da una serie di "full adder" (aggiustatori completi) che formano addizionatori di 4, 8, 16, 32 o 64 bit, a seconda delle dimensioni del computer. È in grado di effettuare operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, nonché operazioni logiche come AND, OR e XOR. Inoltre, è associata a registri come il Program Counter (PC), che tiene traccia dell'indirizzo di memoria della prossima istruzione, e l’Instruction Register (IR), che memorizza l’istruzione in esecuzione.

Oltre alla rappresentazione e manipolazione dei numeri, è importante comprendere come i numeri a virgola mobile (come quelli che contengono valori frazionari) vengano gestiti nei computer. In questo caso, i numeri sono suddivisi in due parti: la mantissa, che contiene il valore significativo del numero, e l’esponente, che ne determina l’ordine di grandezza. I computer, quindi, non trattano i numeri come un'unica entità, ma li suddividono in componenti che vengono poi gestite separatamente. Questo approccio è fondamentale per la gestione di numeri molto grandi o molto piccoli, come quelli che si incontrano in ambito scientifico e ingegneristico.

Come Funzionano i Componenti Elettronici Digitali: Un'Introduzione Fondamentale

L'elettronica digitale, purtroppo, è spesso inseparabile dalle sue radici analogiche, poiché molti concetti di base sono nati proprio da dispositivi che operano con segnali continui. Tuttavia, sebbene la comprensione dei dispositivi analogici possa essere essenziale, l'approccio introduttivo all'elettronica digitale non necessita di una conoscenza avanzata in matematica o teoria elettrica. Unicamente la comprensione delle leggi fondamentali dell’elettricità, come quelle di Ohm e Kirchhoff, è sufficiente per cominciare.

Nella progettazione dei circuiti digitali, la comprensione delle basi storiche e teoriche che hanno portato alla nascita di questi dispositivi è altrettanto cruciale. Molti dei dispositivi più antichi erano meccanici, molto più facili da comprendere rispetto ai complessi semiconduttori moderni. Questa semplicità concettuale è utile per rendere più chiaro l’uso dei dispositivi digitali più sofisticati, che si trovano in ogni angolo delle tecnologie moderne.

La Natura dei Segnali Digitali e Analogici

La distinzione fondamentale tra segnali analogici e digitali sta nel numero di livelli che ciascun tipo di segnale può assumere. I segnali analogici, in teoria, possono possedere un numero infinito di livelli, mentre i segnali digitali sono limitati a soli due: uno e zero, che rappresentano rispettivamente gli stati di "acceso" e "spento". Nonostante ciò, è possibile utilizzare dispositivi analogici in contesti digitali, portandoli ai loro estremi, ma la maggior parte dei componenti digitali è progettata per trattare solamente segnali digitali, e lo fa con una rapidità che rende difficile utilizzarli come dispositivi analogici.

I Diodi e la Loro Evoluzione Storica

I diodi sono componenti elettronici che consentono il passaggio della corrente in una sola direzione. I primi diodi, come quelli utilizzati nelle radio a cristallo, sfruttavano le caratteristiche non lineari di cristalli come il quarzo e la galena per la rettificazione dei segnali radio modulati. La ricerca del punto giusto sulla superficie del cristallo, utilizzando un filo noto come "coda di topo", non era affatto semplice, ma ha permesso di ottenere la condizione in cui la corrente passava solo in una direzione.

Questa funzione di rettificazione si è evoluta nei moderni diodi semiconduttori, ma l’idea di base rimane invariata. In modo simile, nei primi tubi a vuoto (valvole termioniche), il flusso di elettroni da un catodo a un anodo era possibile solo in un senso. Questo processo avveniva grazie al riscaldamento del catodo, che emetteva elettroni che, in un ambiente di vuoto, venivano attratti dal piatto positivo, ovvero l'anodo. Il concetto di corrente unidirezionale rimane alla base della funzionalità di un diodo moderno, anche se la sua implementazione oggi si realizza grazie ai semiconduttori, che operano con principi fisici completamente diversi rispetto ai vecchi dispositivi a vuoto.

La Logica alla Base dei Circuiti Digitali

La logica booleana è il fondamento di tutti i sistemi digitali. Le operazioni di base come AND, OR e NOT sono le operazioni elementari che manipolano i bit in un computer, creando combinazioni che possono essere utilizzate per compiti molto più complessi. La conoscenza di questi fondamenti non è solo utile, ma essenziale per comprendere come i sistemi moderni elaborano le informazioni.

Un ulteriore passo evolutivo si trova nei processori, che rappresentano la base di tutti i calcolatori. Sebbene la loro complessità sia notevolmente aumentata nel tempo, la logica di base alla loro base non è mai cambiata.

Il Ruolo dei Dispositivi Semiconduttori

Mentre i diodi a vuoto erano la base della prima elettronica digitale, oggi i semiconduttori rappresentano la spina dorsale di tutti i dispositivi digitali. I transistor, un altro esempio di componente elettronico fondamentale, sono utilizzati per amplificare i segnali e per agire come interruttori. Con la miniaturizzazione dei circuiti, questi componenti sono diventati sempre più piccoli ed efficienti, arrivando a costituire miliardi di unità nei moderni microprocessori.

Elementi Aggiuntivi da Considerare

Inoltre, è fondamentale comprendere che ogni componente elettronico digitale, sebbene sembri operare secondo leggi semplici, è legato a una serie di considerazioni più sottili, come la gestione della temperatura, la protezione contro le interferenze elettromagnetiche e la minimizzazione dei consumi energetici. Questi fattori diventano sempre più rilevanti man mano che i dispositivi diventano più piccoli e potenti, e la loro interazione diventa sempre più complessa. La progettazione di circuiti digitali efficaci richiede non solo la conoscenza dei principi base, ma anche una visione complessa e articolata delle condizioni operative e delle limitazioni fisiche dei dispositivi.

Principio dei dispositivi elettronici: Dalle valvole termoioniche ai transistor

Nel corso della storia dell’elettronica, il passaggio da dispositivi analogici come le valvole termoioniche a soluzioni moderne basate sui semiconduttori ha segnato un progresso fondamentale. Il principio di base su cui si fondano molti di questi dispositivi è il controllo del flusso di elettroni, un concetto che ha trovato applicazione nelle valvole termoioniche e, successivamente, nei transistor a effetto di campo (FET) e nei transistor bipolari (BJT).

Il funzionamento delle valvole termoioniche, come il diodo e la triode, si basa sulla possibilità di controllare il flusso di elettroni attraverso l’uso di un campo elettrico. Una triode, come mostrato nella figura 1.2b, è costituita da un catodo, un anodo e una griglia che permette di modulare il flusso di elettroni tra i due elettrodi principali. Questa configurazione è simile al funzionamento di un transistor a effetto di campo, il cui principio sarà approfondito successivamente, ma in forma di semiconduttore.

I materiali semiconduttori come il silicio, il germanio e l’arseniuro di gallio sono comunemente utilizzati per formare le giunzioni p-n. Il processo di drogaggio, ovvero l’introduzione di impurità nel reticolo cristallino del semiconduttore, modifica le proprietà elettriche del materiale. Il silicio di tipo p è solitamente drogato con materiali trivalenti come l’alluminio o il boro, mentre per i semiconduttori di tipo n si utilizzano materiali pentavalenti come l’arsenico, l’antimonio o il fosforo. Un aspetto distintivo del silicio rispetto al germanio è la sua capacità di operare a temperature più elevate, anche se il germanio, con una minore larghezza della banda, ha un vantaggio nelle applicazioni a bassa temperatura, come nei ricevitori radio.

La transizione da dispositivi come i diodi a giunzione p-n ai transistor ha rivoluzionato il campo dell’elettronica. I transistor si suddividono principalmente in due categorie: il transistor a effetto di campo (FET) e il transistor bipolare (BJT). Il primo, come le valvole termoioniche, è controllato da un campo elettrico applicato alla griglia, e può essere utilizzato come un interruttore digitale. Nonostante i FET siano dispositivi analogici, possono operare in modo simile a interruttori digitali se spinti al massimo della loro conduttività.

I transistor bipolari, al contrario, sono dispositivi a corrente controllata. In questi dispositivi, il flusso di corrente tra l’emettitore e il collettore è regolato dalla corrente che fluisce attraverso la base. Esistono due principali tipi di transistor bipolari: PNP e NPN. Nei transistor PNP, l’emettitore è connesso al terminale positivo dell’alimentazione, mentre il collettore è collegato al terminale negativo. La corrente di base permette di regolare la corrente maggiore che fluisce tra collettore ed emettitore. Il transistor NPN funziona in modo simile ma con polarità invertita.

Quando un transistor bipolare è completamente acceso, funziona come un semplice interruttore, simile a un FET che opera in modalità completamente accesa. Tuttavia, a causa della necessità di una certa tensione tra base ed emettitore (circa 0,7 V a temperatura ambiente), i transistor bipolari sono più lenti nello spegnersi rispetto ai FET. La tecnologia Schottky, che prevede l’inserimento di un diodo Schottky tra base e collettore, accelera questo processo e riduce i tempi di recupero quando il transistor è spento, migliorando l’efficienza dei circuiti digitali.

Infine, quando si parla di dispositivi elettronici, è importante comprendere che il passaggio da analogico a digitale non implica solo una differenza nel tipo di controllo, ma anche nelle caratteristiche intrinseche dei dispositivi, come la velocità di commutazione e la dissipazione di potenza. Un transistor che commuta rapidamente, riducendo al minimo i tempi di transizione tra stato acceso e spento, ha minori perdite di potenza, un aspetto cruciale per le applicazioni moderne ad alta velocità.

Come Semplificare le Funzioni Logiche con i Dispositivi Logici Programmabili

Quando si lavora con funzioni logiche, la loro implementazione in circuiti complessi può diventare una sfida. Una delle soluzioni più eleganti per semplificare il design e l'implementazione di circuiti combinatori è l'uso di dispositivi logici programmabili. Questi dispositivi, che vanno dai più semplici come i PROM fino a quelli avanzati come gli FPGA, permettono di sostituire intere configurazioni di porte logiche con una memoria programmabile che definisce il comportamento del circuito. Un aspetto fondamentale di questa tecnologia è la possibilità di esprimere una funzione logica in una forma canonica, come la forma disgiuntiva (SoP) o congiuntiva (PoS), e tradurla in una configurazione di memoria.

Questa stessa funzione logica può essere visualizzata su una mappa di Karnaugh, che aiuta ulteriormente a identificare le combinazioni di variabili che ottimizzano il comportamento del circuito. In un sistema combinatorio, come in un MUX, l'ingresso di abilitazione invertito può essere utilizzato per accendere o spegnere il dispositivo, a seconda del valore della logica (0 o 1). Quando il sistema è spento, l'uscita non assume né il valore 1 né il valore 0, ma entra in una condizione di tri-stato, che indica che l'uscita è isolata e non influenza altri dispositivi collegati.

Un altro aspetto importante nella progettazione di circuiti logici è la capacità di programmare la logica in memoria. Con i dispositivi logici programmabili (PLD), l'intero sistema logico può essere sostituito da una memoria programmata che risponde ai vari ingressi in modo determinato. Ogni combinazione di ingressi seleziona una cella di memoria, che fornisce l'uscita appropriata. Questo approccio è particolarmente utile per i sistemi sequenziali, dove alcuni degli ingressi sono retro-ritornanti come uscite. In questi casi, anche un sistema sequenziale può essere emulato tramite una memoria programmabile, ottenendo un comportamento equivalente a quello di un sistema basato su porte logiche tradizionali.

I PAL, ad esempio, presentano una matrice di connessione programmabile per le porte AND, mentre le porte OR sono predeterminate. I PLA, invece, consentono di programmare entrambe le matrici di connessione, quelle AND e OR, facilitando l'implementazione di circuiti più complessi con un numero inferiore di chip. In questi sistemi, la progettazione e la manutenzione sono semplificate, poiché è possibile riprogrammare il dispositivo invece di progettare un nuovo circuito fisso.

Gli FPGA (Field Programmable Gate Arrays) sono dispositivi ancora più avanzati, che possono contenere decine o addirittura milioni di porte logiche. Gli FPGA sono particolarmente adatti per implementare funzioni logiche complesse e per realizzare circuiti con feedback e percorsi di ritorno, ideali per funzioni aritmetiche o altre operazioni avanzate. Inoltre, gli FPGA offrono una maggiore flessibilità rispetto ai PAL e PLA, permettendo una programmazione più complessa e l'integrazione di macrocelle specializzate per operazioni logiche specifiche.

I CPLD (Complex Programmable Logic Device) rappresentano un'altra categoria di dispositivi logici programmabili, con una complessità che si colloca tra i PAL e gli FPGA. I CPLD combinano le caratteristiche dei PAL con la possibilità di contenere migliaia di porte logiche, offrendo funzionalità avanzate a un costo relativamente basso. Un esempio comune di utilizzo dei CPLD è il "boot loader", che carica i dati di configurazione per un FPGA da una memoria non volatile, consentendo una programmazione iniziale prima di passare al controllo di altri dispositivi.

L'uso di linguaggi di descrizione hardware come VHDL (Very High Density Logic) ha rivoluzionato la programmazione di questi dispositivi. Con VHDL, è possibile descrivere il comportamento di un'entità hardware e programmare i dispositivi logici in modo altamente configurabile. Il linguaggio consente di definire funzioni logiche come quelle AND e OR, e di implementare addizioni e sottrazioni binarie, tramite l'uso di strutture di adder a metà e completo, che combinano XOR e AND per calcolare la somma e il riporto.

In sintesi, la logica combinatoria e i dispositivi logici programmabili permettono di realizzare circuiti complessi in modo efficiente e flessibile, semplificando la progettazione e la manutenzione dei sistemi elettronici. La transizione da una logica basata su porte fisse a una programmabile, che definisce la funzione attraverso memorie configurabili, rappresenta un significativo passo avanti nell'evoluzione dei circuiti elettronici, rendendo possibili applicazioni più avanzate e facili da modificare.