Relazione tra lavoro virtuale e deformazione in configurazioni nonlineari: Formulazioni TL e UL

Nel contesto della formulazione TL (Lagrangiana totale), tutte le variabili adottate nelle espressioni di lavoro virtuale si riferiscono alla configurazione iniziale $C_0$. Un passaggio fondamentale di questa formulazione consiste nel derivare la seguente relazione:

dove $S_{ij}^0$ denota lo stress di Piola-Kirchhoff di seconda specie e $\epsilon_{ij}^0$ le deformazioni associate di Green-Lagrange. Per giungere a questa relazione, è necessario innanzitutto stabilire la connessione tra $\tau_{ij}^2$ e $S_{ij}^0$ e quella tra $\delta^2 e_{ij}$ e $\delta^2 \epsilon_{ij}^0$. Poiché la relazione tra $\tau_{ij}^2$ e $S_{ij}^0$ è già disponibile nelle equazioni (1.42) e (1.43), in questa sede ci concentreremo esclusivamente sulla relazione tra le deformazioni virtuali $\delta^2 e_{ij}$ e $\delta^2 \epsilon_{ij}^0$.

Inoltre, la definizione di trazioni superficiali $t_i^0$ e forze di corpo $f_i^0$ rispetto alla configurazione iniziale $C_0$ è data da:

Nel contesto della formulazione UL (Lagrangiana aggiornata), tutte le quantità fisiche sono riferite all'ultima configurazione calcolata $C_1$. In questo caso, si deve dimostrare la validità della relazione:

Dove $\epsilon_{ij}^1$ e $\epsilon_{ij}^2$ sono identiche. La connessione tra gli stress Cauchy $\tau_{ij}^2$ e gli stress di Piola-Kirchhoff $S_{ij}^1$ è già nota dalle equazioni (1.45) e (1.46). Si deve quindi derivare la relazione tra le deformazioni virtuali $\delta^2 e_{ij}$ e le deformazioni di Green-Lagrange $\delta^1 \epsilon_{ij}$.

Queste equazioni sono utilizzate per ricavare la formulazione finale di equilibrio nella configurazione $C_1$, garantendo che tutte le variabili siano disponibili all'inizio di ciascun passo incrementale nell'analisi non lineare.

In entrambe le formulazioni, TL e UL, si arriva alla conclusione che l'energia interna del sistema, rappresentata dalle deformazioni e dagli stress, è sempre coniugata con il lavoro esterno prodotto dalle forze applicate. Tuttavia, è importante comprendere che, sebbene il lavoro virtuale e le leggi di conservazione dell'energia siano fondamentali, la loro applicazione pratica richiede un'approfondita conoscenza della geometria e delle condizioni specifiche del sistema in analisi.

Come l'Equilibrio Virtuale e il Lavoro Virtuale Contribuiscono all'Analisi Nonlineare delle Strutture

Consideriamo l'equazione fondamentale del lavoro virtuale che descrive il comportamento di un solido soggetto a deformazioni incrementali. La relazione di base, come indicato nell'equazione (1.123), può essere scritta come segue:

La principale difficoltà nell'analisi di strutture non lineari sta nel fatto che le deformazioni e gli spostamenti incrementali $\delta u_i$ sono generalmente non lineari, il che significa che l'approccio classico di risolvere direttamente le equazioni di equilibrio non è applicabile. Per rendere trattabile il problema, è necessario linearizzare l'equazione di equilibrio, assumendo piccole deformazioni o utilizzando approssimazioni appropriate per le leggi costitutive.

Per procedere con l'analisi, è necessario avere a disposizione una legge costitutiva adeguata che descriva il comportamento del materiale sotto carico. Se la relazione tra stress e deformazione può essere espressa linearmente, come nel caso dei solidi elastici, l'approccio descritto nelle equazioni (1.128) e (1.131) sarà sufficiente. Tuttavia, per strutture più complesse, come quelle che attraversano fasi di instabilità (ad esempio, nel post-buckling), è necessario un trattamento più avanzato, poiché le leggi costitutive lineari non sono più applicabili.

Nel contesto dell'analisi non lineare, diventa cruciale comprendere come i parametri materiali si comportano sotto grandi deformazioni. Le equazioni di lavoro virtuale, sebbene estremamente potenti, necessitano di una corretta interpretazione fisica. L'energia di deformazione e il lavoro virtuale esterno devono essere bilanciati in modo da mantenere l'equilibrio del sistema. L'interpretazione fisica dell'equazione (1.128) ci dice che la variazione complessiva dell'energia interna del sistema, causata dalle deformazioni e dalle sollecitazioni interne, è uguale alla differenza tra i lavori virtuali esterni nei due stati $C_2$ e $C_1$, che rappresentano la transizione tra le configurazioni di riferimento.

Per quanto riguarda i solidi in equilibrio, è possibile descrivere il lavoro virtuale esterno in modo simile a come è stato fatto per la configurazione $C_1$, ma con le dovute modifiche. L'equazione di lavoro virtuale esterno assume la forma:

Questa espressione è simile a quella per $R_2$, ma con i riferimenti al punto $C_1$ anziché $C_2$. È importante sottolineare che, in assenza di approssimazioni, l'equazione di lavoro virtuale rimane esatta. Essa fornisce una base solida per l'analisi incrementale non lineare delle strutture, ma richiede metodi numerici avanzati per essere risolta in pratica.

Aggiungendo a queste considerazioni, è cruciale per il lettore comprendere che l'approccio non lineare non si limita a una mera generalizzazione dell'analisi lineare, ma implica una comprensione profonda del comportamento del materiale e delle sue risposte alle sollecitazioni. La non linearità può derivare da vari fattori, tra cui la plasticità, i grandi spostamenti e le instabilità strutturali. Pertanto, la capacità di linearizzare opportunamente il problema e di applicare correttamente le leggi costitutive è fondamentale per ottenere risultati significativi in analisi non lineari.

Come si applica la deformazione Green–Lagrange nel contesto non lineare delle strutture intelaiate?

Il tensore di Green–Lagrange, in relazione con la seconda tensione di Piola–Kirchhoff, consente una formulazione total Lagrangiana che si mantiene coerente nel tempo, e permette l’integrazione incrementale-iterativa delle equazioni di equilibrio. In un tale contesto, i metodi come il Newton–Raphson trovano applicazione naturale, ma solo se la matrice di rigidezza tangente è aggiornata coerentemente ad ogni incremento. La non linearità geometrica è trattata mediante matrici di rigidezza geometrica, e l’aggiornamento incrementale della deformazione Green–Lagrange è fondamentale per garantire accuratezza nell’approssimazione dello stato deformato.

Nel trattamento numerico, le matrici di rigidezza di ordine superiore emergono quando si considerano elementi compatibili su domini curvi o strutture shell, dove le funzioni di forma devono riflettere non soltanto la compatibilità nodale ma anche la curvatura intrinseca del dominio. L’adozione di elementi non conformi o incompatibili genera errori nella rigidezza interna e richiede test di consistenza quali il patch test o il rigid body motion test per garantire la validità del modello.

La struttura incrementale dell’analisi è scandita da step computazionali in cui si aggiorna il carico esterno, la configurazione geometrica e le quantità cinematiche. Il metodo del controllo dello spostamento generalizzato (GDC) e il metodo del carico controllato trovano impiego strategico in corrispondenza di punti limite, snap-back o fenomeni di softening, dove la risposta strutturale diventa multivalente e instabile. In queste condizioni, la corretta valutazione della deformazione Green–Lagrange e del tensore di stress associato è determinante per tracciare il percorso post-critico.

Nel caso di telai spaziali o elementi a guscio, le trasformazioni ortogonali tra i sistemi di riferimento locale e globale devono essere gestite tramite matrici di rotazione coerenti, aggiornate ad ogni incremento. L’uso di matrici ortogonali consente la conservazione dell’energia interna durante le rotazioni rigide, condizione essenziale per una formulazione energeticamente coerente. La deformazione Green–Lagrange, mantenuta come misura fondamentale anche nella configurazione aggiornata, permette di preservare il legame costitutivo indipendentemente dalla deformazione finita accumulata.

Importante considerazione è la compatibilità tra deformazione e tensione in un quadro incrementale. Il tensore costitutivo incrementale deve essere derivato in modo coerente con l’ipotesi kinematica adottata. Errori di formulazione in questa fase portano a soluzioni non fisicamente valide, compromettendo l’integrità dell’intero schema computazionale.