Nel contesto della teoria analitica dei numeri, la convergenza assoluta di prodotti infiniti riveste un'importanza fondamentale. Uno degli esempi più noti è quello della funzione zeta di Riemann, che trova una delle sue espressioni nel prodotto infinito. Quando ci si occupa della funzione zeta ζ(s), come espressa nella formula (11.7), si osserva che la convergenza assoluta implica un fatto cruciale sui suoi zeri: ζ(s) ≠ 0 per Re(s) > 1, come confermato dalla relazione (11.8). In questa regione del piano complesso, la funzione zeta non annulla mai il suo valore, una caratteristica che è direttamente collegata alla convergenza del prodotto infinito.

Il concetto di prodotto infinito, benché semplice nella sua struttura formale, porta con sé una serie di implicazioni che attraversano tutta la matematica analitica. Infatti, nel caso della funzione zeta, il prodotto (11.7) convergerà verso un valore strettamente legato al comportamento della funzione stessa per valori di s con parte reale maggiore di uno. Se si prende y sufficientemente grande rispetto al parametro s, il prodotto è prossimo all'unità, come indicato nella nota [12.6]. Questo fenomeno riflette l'equilibrio delicato tra i fattori in gioco all'interno della funzione e l'importanza della valutazione precisa della sua convergenza per determinare il comportamento globale di ζ(s).

Un altro elemento fondamentale è l'uso del simbolo s come variabile complessa, una convenzione che deriva da una lunga tradizione nella teoria analitica dei numeri. L'introduzione di ζ(s) da parte di Riemann nel 1860 ha rappresentato un salto fondamentale nella comprensione della funzione zeta, ma la sua analisi precedente, risalente a Euler nel 1737, offre comunque degli spunti significativi. Euler, infatti, fece delle affermazioni importanti riguardo alla crescita asintotica della somma sui numeri primi, come evidenziato dalla formula (11.9). Sebbene la notazione di Euler sia diversa, l'idea centrale che il comportamento della somma dipenda fortemente dal logaritmo doppio è una scoperta che anticipa molte delle moderne intuizioni.

Anche se l'approccio di Euler alla decomposizione dei numeri in fattori primi fosse privo di quella rigorosità che caratterizzerà i risultati successivi di Gauss e Legendre, la sua intuizione ha permesso di fare delle scoperte che ancora oggi vengono celebrate per la loro profondità. Euler ha esaminato vari aspetti della teoria della divisibilità e della somma sui numeri primi con una curiosità e una visione che erano ben al di là dei suoi contemporanei. La sua scoperta che la somma sui numeri primi si comporti asintoticamente come il logaritmo doppio è uno dei pilastri su cui si fonda gran parte della moderna teoria analitica dei numeri.

La decomposizione di un numero intero nei suoi fattori primi è un altro aspetto cruciale della teoria dei numeri, la cui difficoltà è legata al problema di fattorizzazione. Questo problema è uno degli enigmi fondamentali che la teoria dei numeri continua a esplorare. Sebbene la fattorizzazione dei numeri interi sembri un compito relativamente semplice a prima vista, la sua complessità cresce esponenzialmente con l’aumentare della grandezza dei numeri coinvolti. In effetti, la difficoltà della fattorizzazione è una delle ragioni per cui la sicurezza di molte tecniche moderne di criptografia si basa sulla difficoltà di risolvere questo problema, come è esemplificato dai metodi più recenti e sofisticati di fattorizzazione.

L'intera tradizione della teoria dei numeri è stata, fin dall'inizio, segnata dalla tensione tra il concetto di primalità e quello di coprimalità. Euclide, ad esempio, ha dato un'importanza fondamentale al concetto di coprimalità nel suo algoritmo, che rappresenta uno degli strumenti più potenti della teoria dei numeri. La relazione tra questi due concetti è tuttora al centro della ricerca in matematica, poiché la comprensione di come i numeri primi si distribuiscano all'interno dell'insieme dei numeri interi è essenziale per approfondire le basi della teoria analitica dei numeri.

Anche se la formula del prodotto infinito di Riemann continua a essere uno degli strumenti più potenti della teoria dei numeri, il suo studio è strettamente legato a un gran numero di altri concetti, tra cui la distribuzione dei numeri primi e la decomposizione dei numeri interi. Ogni nuovo progresso in questo campo porta a una comprensione più profonda e a una maggiore interconnessione tra le varie aree della matematica.

Importante è anche il fatto che la comprensione della funzione zeta e della sua convergenza assoluta non solo arricchisce la teoria analitica dei numeri, ma fornisce anche strumenti fondamentali per l’analisi di numerose altre funzioni complesse. Il legame tra la convergenza di una serie o di un prodotto infinito e il comportamento delle funzioni che li generano è un tema ricorrente nella matematica moderna, che si estende ben oltre la teoria dei numeri, spingendosi in direzioni sempre più complesse e astratte.

Come si determina il numero di classi e la struttura dei generi nei discriminanti quadratici idonei?

La relazione tra numero di classi e numero di generi per un discriminante quadratico negativo D si manifesta con eleganza in casi particolari, come quelli degli interi idonei di Euler. Quando h(D), il numero di classi di D, coincide con il numero di generi g(D), si ottiene un’isomorfia tra il gruppo delle classi K(D) e il gruppo dei generi G(D), che a sua volta risulta isomorfo a un prodotto di gruppi ciclici di ordine 2, ad esempio {{±1}^4}. Questo implica che ogni classe di forma quadratica in tale contesto soddisfa (C)^2 = 1, ovvero ogni classe è involutoria. Tale proprietà è dedotta da risultati fondamentali come il Teorema 95 e confermata da teoremi precedenti (come il Teorema 73), oltre che da calcoli espliciti del comportamento di particolari classi, come C24, C28, C38, e C44.

L’omomorfismo Θ, che mappa le classi in certi valori caratteristici κ, conferma direttamente questa struttura isomorfa, mostrando che il numero di elementi distinti corrisponde a quello previsto dal prodotto di gruppi ciclici. Questo legame esplicito fra la struttura algebrica delle classi e i loro rappresentanti nella forma quadratica è cruciale per comprendere la natura degli interi idonei.

Inoltre, i numeri idonei di Euler, elencati nella sua tabella di 65 valori, riflettono una proprietà peculiare: per ciascun discriminante D corrispondente a un numero idoneo, ogni genere contiene una sola classe, e la distinzione dei generi si basa esclusivamente sulle classi residue modulo |D|. Di conseguenza, la forma quadratica che rappresenta un primo p (diverso dai divisori di 2d) è determinata solo dalla classe di residuo di p modulo 4d. Questo fatto è un’illustrazione profonda della connessione fra la teoria dei numeri primi in progressioni aritmetiche e la teoria delle forme quadratiche.

L’interesse si sposta poi sull’esistenza di infiniti discriminanti d tali che K₂(D) = 1 (con D = −4d), che permetterebbe di decidere l’esistenza di soluzioni di determinate equazioni quadratiche soltanto tramite classi residue mod |D|. L’indagine, iniziata da Euler e proseguita da studi successivi, suggerisce che la lista dei numeri idonei sia finita, o almeno estremamente rara. Questo è stato formalizzato dalla congettura di completezza della tabella di Euler, e risultati moderni, come quelli di Weinberger, indicano che tali numeri sono eventi eccezionali nella teoria dei numeri.

In parallelo, la teoria analitica dei numeri si unisce a quella algebrica attraverso le formule del numero di classi di Dirichlet, che collegano funzioni L, serie di Dirichlet associate a caratteri aritmetici, e la struttura delle classi quadratiche. La serie Z(s; C), definita tramite la somma sulle rappresentazioni di un numero intero da una forma quadratica appartenente a una classe C, converge assolutamente per Re s > 1 e presenta un polo semplice in s = 1, la cui residuo z(D) è indipendente dalla classe C. L’analisi di questa serie, con l’ausilio della formula di Poisson applicata alle funzioni theta associate alle forme quadratiche, fornisce un ponte tra proprietà analitiche e discrete.

In particolare, per discriminanti negativi, il numero di automorfismi della forma quadratica influenza il conteggio delle rappresentazioni, e la trasformazione delle funzioni theta offre strumenti essenziali per il calcolo esplicito delle costanti residue. Inoltre, vincoli sulle componenti della forma quadratica, legati alla congruenza di D modulo 4, consentono di semplificare l’analisi e di assicurare determinate proprietà di rappresentazione.

Questa congiunzione di algebra, analisi e teoria dei numeri evidenzia come la determinazione del numero di classi e la descrizione dei generi nei discriminanti idonei non sia solo un problema aritmetico, ma una questione di profonda natura strutturale, con ripercussioni sullo studio delle rappresentazioni quadratiche, dei numeri primi e delle proprietà analitiche delle funzioni L.

Per una comprensione completa, è importante sottolineare che la rarità dei numeri idonei implica che le proprietà di isomorfismo tra gruppi di classi e di generi sono fenomeni eccezionali, non la norma nella teoria generale dei discriminanti quadratici. La loro esistenza e classificazione toccano questioni aperte nella ricerca matematica contemporanea, legate a congetture di vasto respiro come la Generalized Riemann Hypothesis (GRH). Inoltre, il legame con le funzioni theta e le trasformazioni di Poisson mostra come la teoria delle forme quadratiche sia un crocevia tra strutture discrete e funzioni analitiche complesse, aprendo la strada a metodi di analisi armonica nella teoria dei numeri.

La comprensione della decomposizione in potenze prime e la ricerca dei divisori di un numero intero

Nel campo della teoria dei numeri, la ricerca dei divisori di un numero intero e la comprensione della sua struttura tramite la decomposizione in potenze prime sono questioni centrali. La necessità di determinare i divisori di un numero intero, specialmente quando questo non è una potenza di un singolo numero primo, è stata trattata esplicitamente da Euclide nei suoi "Elementi". Sebbene l’approccio di Euclide non fosse formulato con i concetti moderni di decomposizione unica in potenze prime, la sua intuizione era sorprendentemente avanzata.

La proposizione che descrive la ricerca dei divisori di un numero come 2ℓ−1P, con P che rappresenta un numero primo, è stata una delle prime indicazioni dell’importanza della decomposizione unica in potenze prime. Euclide era perfettamente consapevole che per esaurire i divisori di numeri come 2ℓ−1P fosse necessaria una teoria chiara sulla decomposizione dei numeri in potenze prime. La sua trattazione empirica di tali concetti dimostra quanto fosse vicino alla formulazione moderna del teorema sulla unicità della decomposizione in potenze prime. Anche se la connessione diretta con la "unicità" di questa decomposizione non fosse esplicitata, le implicazioni della sua metodologia erano significative.

Nel corso della storia, è emerso che la decomposizione unica di un numero intero in potenze prime è cruciale per comprendere le sue proprietà. Gauss, in particolare, ha sottolineato l'importanza di tale unicità nel suo trattato, affermando che la decomposizione in potenze prime è essenziale per qualsiasi procedura che miri a esaurire i divisori di un numero. Il suo lavoro ha preparato il terreno per la comprensione moderna di come i numeri primi e la loro potenza siano legati alle strutture dei numeri interi.

Se Euclide avesse avuto accesso a ciò che oggi chiamiamo il Teorema 10, sarebbe stato probabilmente in grado di connettere la decomposizione in potenze prime di un numero con il set di divisori di quel numero, confermando così l'unicità di tale decomposizione. Questo avrebbe sicuramente ampliato la sua comprensione della teoria dei numeri e avrebbe reso la sua trattazione dei numeri primi ancora più profonda.

Un altro elemento fondamentale che emerge da queste osservazioni storiche è il trattamento dei numeri primi come numeri distinti. Euclide, infatti, trattava 2 come un numero primo, in linea con la sua formulazione della teoria dei numeri, anche se oggi sappiamo che 2 è l’unico numero primo pari. Questo punto risulta importante, poiché getta luce su come i numeri primi siano stati trattati storicamente come entità a sé stanti, ma non sempre con la precisione che oggi attribuiamo loro.

Nel contesto dei numeri di Mersenne e dei numeri di Fermat, la teoria dei divisori assume una rilevanza speciale. I numeri di Mersenne, definiti come Mp = 2p − 1, dove p è un numero primo, sono stati oggetto di studio per secoli. Sebbene alcuni numeri di Mersenne siano stati trovati essere composti, la congettura che esistano infiniti numeri primi di Mersenne rimane viva. Questi numeri sono strettamente legati alla teoria dei numeri primi e alla loro decomposizione, in quanto ogni numero di Mersenne è un candidato naturale per essere primo. Lo stesso vale per i numeri di Fermat, della forma 2^(2^r) + 1, che sono stati inizialmente identificati da Fermat come potenziali numeri primi. Nonostante ciò, finora solo una ristretta quantità di numeri di Fermat è stata verificata come prima.

Il problema della primalità dei numeri di Fermat ha anche implicazioni geometro-matematiche, in quanto questi numeri sono legati alla costruzione di poligoni regolari con un numero di lati pari a una potenza di due. Questo collegamento tra teoria dei numeri e geometria ha stimolato la ricerca in entrambe le discipline, e la scoperta di numeri primi di Fermat ha una lunga tradizione che merita un approfondimento.

Inoltre, un aspetto critico che viene spesso trattato nei lavori matematici è l'errore associato alle stime dei divisori di un numero. In particolare, la ricerca del miglior limite superiore per l'errore associato alla funzione ∆(x), che rappresenta la differenza tra il numero previsto di divisori di un numero e il numero effettivo, è uno dei problemi più difficili e affascinanti della teoria dei numeri. La congettura ∆(x) ≪ x^(1/4+ε) ha stimolato numerosi studi e ha portato a risultati statistici che supportano questa ipotesi. Sebbene non vi siano ancora risposte definitive, i progressi nella comprensione della distribuzione dei divisori e delle loro proprietà sono significativi.

In conclusione, la storia della decomposizione in potenze prime, dei divisori e dei numeri primi è intrinsecamente legata alla ricerca delle strutture sottostanti nei numeri interi. Le intuizioni di Euclide, pur non esplicitando concetti moderni, erano incredibilmente avanzate, e la sua comprensione della teoria dei numeri ha gettato le basi per sviluppi successivi, dai numeri di Mersenne e Fermat fino alle moderne congetture sulla distribuzione dei divisori.

Perché alcune congruenze quadratiche non ammettono soluzioni e come la legge di reciprocità ci guida nella loro risoluzione

La congruenza quadratica x2≡31mod  430883x^2 \equiv 31 \mod 430883 offre un terreno fertile per applicare i principi più profondi della teoria dei numeri, in particolare la Legge di Reciprocità Quadratica. Il modulo 430883 è primo e sia il modulo che il residuo sono congrui a −1 modulo 4. Secondo il criterio di reciprocità, la solubilità di questa congruenza è contraria a quella della congruenza reciproca y2≡430883mod  31y^2 \equiv 430883 \mod 31. Esaminando quest’ultima tramite il simbolo di Legendre e l’applicazione della legge supplementare (2), si giunge a concludere che (1431)=1\left( \frac{14}{31} \right) = 1, il che implica che (31430883)=−1\left( \frac{31}{430883} \right) = -1, e dunque la congruenza iniziale non ha soluzioni.

L’applicazione del criterio (43.2) rafforza questa conclusione: 31215441≡−1mod  43088331^{215441} \equiv -1 \mod 430883, segno che il residuo 31 non è mai un quadrato modulo 430883.

Consideriamo ora un secondo esempio: x2≡221129mod  430883x^2 \equiv 221129 \mod 430883. Il fatto che 2f−1≡137695mod  f2^{f−1} \equiv 137695 \mod f indica che f=221129f = 221129 non è primo. Applicando il metodo di Pollard con k0=1,c=1k_0 = 1, c = 1, si ottiene una fattorizzazione efficace: 221129=397⋅557221129 = 397 \cdot 557, entrambi primi. Attraverso la moltiplicatività del simbolo di Legendre, si scompone la congruenza originale nei simboli (430883397)\left( \frac{430883}{397} \right) e (430883557)\left( \frac{430883}{557} \right), e poi ulteriormente tramite la reciprocità: entrambi 397 e 557 sono congrui a 1 modulo 4, quindi non c'è inversione di segno.

Si verifica quindi che 430883≡2⋅3⋅23mod  397430883 \equiv 2 \cdot 3 \cdot 23 \mod 397 e ≡2⋅7⋅23mod  557\equiv 2 \cdot 7 \cdot 23 \mod 557. Dal momento che 2 non è residuo quadratico nei moduli considerati, grazie alla legge supplementare, si ottengono (2397)=−1\left( \frac{2}{397} \right) = -1, (3397)=1\left( \frac{3}{397} \right) = 1, e così via. Questo processo culmina nella determinazione del carattere quadratico del residuo modulo 430883, confermando la congruenza f215441≡−1mod  430883f^{215441} \equiv -1 \mod 430883.

Note storiche mostrano che già Legendre nel 1798 utilizzò la legge di reciprocità per dimostrare che (6011013)=−1\left( \frac{601}{1013} \right) = -1 e confermò questa valutazione mediante esponenziazione modulare: 601506≡−1mod  1013601^{506} \equiv -1 \mod 1013.

Hermite, in un'appendice all'articolo di Serret, presentò un argomento geometrico: supponendo p≡1mod  4p \equiv 1 \mod 4 e a2≡−1mod  pa^2 \equiv -1 \mod p, si considera lo sviluppo in frazione continua di a/pa/p. Due convergenti adiacenti d/cd/c e v/uv/u soddisfano c<p<uc < \sqrt{p} < u e ∣ac−pd∣2+c2<2p|ac - pd|^2 + c^2 < 2p, con il lato sinistro multiplo di pp, dimostrando quindi l'esistenza di una soluzione.