La Convergenza e la Non-Chiusura di Sequenze e Insiemi

Consideriamo una sequenza $(a_n)_{n \geq 1}$ definita da $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = a_n + 2$ , dove $a_1$ è il primo elemento della sequenza. Se osserviamo che per ogni $n \geq 1$ , $a_n$ è crescente e limitata superiormente da 2, possiamo dedurre che questa sequenza convergerà verso un valore limite $\lambda > 0$ . In effetti, possiamo concludere che il limite della sequenza sia $\lambda = 2$ , poiché il termine di ricorrenza ci porta sempre a valori più vicini a 2, senza mai raggiungerlo completamente.

Tuttavia, se consideriamo il set $\Omega = \{a_n : n \geq 1\}$ , possiamo osservare che non è chiuso. Infatti, $2$ non appartiene a $\Omega$ , pur essendo il limite della sequenza $(a_n)$ . Inoltre, $\Omega$ è limitato superiormente e non è aperto, poiché, per esempio, $a_1 = 1$ è un punto isolato in $\Omega$ . In altre parole, non esistono punti di accumulazione di $\Omega$ che possano essere raggiunti da altri punti della stessa sequenza, a meno che non si consideri il punto limite $2$ , che non appartiene a $\Omega$ ma ne è il confine. In termini matematici, $\Omega$ è un insieme che non possiede punti interni e la sua chiusura coincide con il suo confine, $\partial \Omega$ , che include il limite $\lambda = 2$ .

Un aspetto fondamentale da comprendere in relazione a sequenze strettamente crescenti e limitate superiormente è che esse convergono sempre a un numero reale, ma questo numero non è mai uno degli elementi della sequenza. Ciò implica che ogni insieme $\Omega = \{a_n : n \geq 1\}$ , derivante da una sequenza strettamente crescente e limitata, non è né aperto né chiuso e non ha punti interni. Inoltre, la chiusura di $\Omega$ si ottiene semplicemente aggiungendo il punto limite, che diventa il confine dell'insieme.

Un altro esempio interessante riguarda le sequenze strettamente decrescenti. Anche in questo caso, se la sequenza è limitata inferiormente e strettamente decrescente, il limite della sequenza non appartiene mai all'insieme generato dai suoi termini. La struttura topologica di questi insiemi è simile a quella degli insiemi derivanti da sequenze strettamente crescenti: non sono né aperti né chiusi, e anch'essi sono privi di punti interni.

La non-chiusura di insiemi generati da sequenze è un concetto importante che si applica a vari contesti, in particolare in analisi matematica e topologia. Quando si analizzano insiemi in $\mathbb{R}$ o in $\mathbb{R}^2$ , è cruciale considerare non solo se l'insieme è chiuso o aperto, ma anche se contiene i suoi punti di accumulazione, o se il suo limite è all'interno o all'esterno dell'insieme stesso.

Un altro concetto che può emergere da questa analisi è la connessione tra gli insiemi. Per esempio, il set dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ non è connesso. Questo è evidente, poiché per ogni numero reale $z$ che non è razionale, possiamo sempre trovare due insiemi aperti, $U_1 = \{x \in \mathbb{R} : x < z\}$ e $U_2 = \{x \in \mathbb{R} : x > z\}$ , che sono entrambi non vuoti, disgiunti, e che soddisfano $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ . Inoltre, l'intersezione di questi insiemi con $\mathbb{Q}$ produce due insiemi non vuoti, $V_1 = U_1 \cap \mathbb{Q}$ e $V_2 = U_2 \cap \mathbb{Q}$ , che sono disgiunti, il che dimostra che $\mathbb{Q}$ non è connesso.

Un altro interessante esercizio riguarda l'insieme di tutti i punti nel piano $\mathbb{R}^2$ che hanno almeno una coordinata razionale. Questo insieme, denotato $\Omega$ , è connesso. Infatti, possiamo sempre collegare due punti appartenenti a $\Omega$ tramite una serie di segmenti che sono paralleli agli assi cartesiani, e tali segmenti appartengono anch'essi a $\Omega$ . Questa proprietà di connettività è garantita dal fatto che almeno una delle coordinate di ogni punto in $\Omega$ è razionale, creando una griglia di linee orizzontali e verticali lungo le quali possiamo spostarci da un punto all'altro senza mai uscire da $\Omega$ .

Un aspetto fondamentale da ricordare è che la connettività di un insieme in $\mathbb{R}^2$ non dipende solo dalla presenza di punti razionali, ma anche dalla geometria intrinseca dell'insieme. Se l'insieme è formato da punti che possiedono una struttura di griglia ben definita, come nel caso di $\Omega$ , esso rimarrà connesso.

Infine, un esempio che merita attenzione è la funzione $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ definita su $\mathbb{R}^2$ . L'insieme $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : f(x, y) \geq 1\}$ rappresenta i punti del piano che si trovano a una distanza maggiore o uguale a 1 dall'origine. Questo insieme è chiuso, ma non è limitato, poiché contiene punti su una retta che si estende all'infinito lungo l'asse delle ordinate, come ad esempio la retta $L = \{(0, y) : y \geq 2\}$ , che appartiene a $A$ . Inoltre, questo esercizio evidenzia la necessità di comprendere come la funzione e le sue proprietà influenzano la topologia dell'insieme risultante.

Qual è la connessione tra insiemi chiusi, aperti e connessi nello spazio euclideo?

La comprensione delle proprietà di connessione, apertura e chiusura degli insiemi è fondamentale quando si lavora con spazi topologici, specialmente in geometria e analisi. In particolare, è interessante esaminare come si comportano gli insiemi che, pur essendo formati da elementi di natura semplice come cerchi, possano sviluppare comportamenti complessi nel loro insieme. Un esempio che aiuta a chiarire queste dinamiche si trova nell’analisi della famiglia di insiemi $C_n$ definiti da:

C_n = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : (x - x_n)^2 + y^2 = r_n^2 \}

dove $x_n$ è la posizione del centro e $r_n$ il raggio dei cerchi che definiscono ciascun insieme $C_n$ . Considerando l'unione di questi cerchi per $n \geq 0$ , otteniamo un insieme $C = \bigcup_{n \geq 0} C_n$ . La domanda che sorge è: è questo insieme aperto, chiuso o connesso?

Iniziamo osservando che $C$ non è un insieme aperto. Infatti, se consideriamo il punto $P_0 = (-1, 0)$ , appartenente a $C_0$ , qualsiasi pallone aperto centrato in questo punto con raggio sufficiente conterrà punti che non appartengono a nessun cerchio $C_n$ , il che dimostra che $C$ non è aperto. La mancanza di apertura di $C$ è dovuta al fatto che non esiste una regione attorno a ciascun punto in cui tutti i punti appartengono all'insieme.

Inoltre, $C$ non è nemmeno chiuso. Infatti, il punto $P_n = (x_n + r_n, 0)$ appartiene a $C_n$ e la sequenza di questi punti converge al punto $O = (0, 0)$ . Ma $O$ non appartiene a nessuno dei cerchi $C_n$ , quindi $C$ non è chiuso. La convergenza di questa sequenza mostra che l'insieme $C$ è contenuto nel suo closure, ma non coincide con il suo closure.

Tuttavia, $C$ è connesso. Ogni cerchio $C_n$ interseca il cerchio successivo $C_{n+1}$ , e poiché ogni cerchio è connesso, l'insieme risultante è connesso. Questa connessione può essere dedotta direttamente dalla Proposizione 1.3, che afferma che l'unione di insiemi connessi che si intersecano è anch'essa connessa.

Un altro esempio interessante si trova nell'esplorazione di insiemi definiti tramite equazioni complesse. Consideriamo l'insieme $A$ , definito come:

A = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : (x^2 + y^2)^2 - 3y^2 \leq x^2 + y^2 \leq 2y^3 \}

L'interpretazione in coordinate polari di questo insieme rivela una forma interessante, con il raggio $\rho$ che dipende dall'angolo $\theta$ secondo la funzione $\phi(\theta) = 3\sin^2\theta + 2\sin^3\theta$ . L'analisi di questa funzione rivela che l'insieme $A$ è una regione limitata compresa tra il grafico di $\phi(\theta)$ e l'asse $\theta$ , creando una forma che si estende in tutte le direzioni, ma con una simmetria specifica. La connessione di questo insieme dipende dalla forma complessa della funzione $\phi(\theta)$ , che definisce il confine dell'insieme.

Un altro concetto rilevante è la connessione tra insiemi mediante l'operazione di unione. L’unione di due insiemi chiusi può essere connessa o meno, a seconda che gli insiemi si intersechino o meno. La connessione dipende strettamente dalle intersezioni: se gli insiemi non si toccano, l’unione risulterà disconnessa. Questo è il caso di insiemi come $B \cup D$ , dove $B$ e $D$ sono disgiunti e non si intersecano.

Infine, è utile riflettere sulla possibilità di "tagliare" porzioni sempre più grandi da un insieme connesso, in modo da ottenere un insieme che alla fine risulta completamente separato. Questo processo è simile a quello di abbattere un albero, eseguendo colpi successivi che progressivamente rimuovono porzioni dell'insieme. Un simile processo di separazione consente di esplorare la nozione di connessione in un contesto topologico più ampio.

Come comprendere e analizzare i sottoinsiemi in uno spazio euclideo: un’analisi delle curve e delle loro proprietà topologiche

In matematica, in particolare nello studio delle funzioni e delle strutture su spazi euclidei, è fondamentale analizzare i set di livello e comprendere come si comportano all’interno di determinate condizioni. Un aspetto cruciale di questa analisi è la comprensione delle equazioni che definiscono questi set, e come le loro soluzioni possano essere rappresentate come curve unidimensionali o superfici in spazi più complessi. Queste idee si applicano non solo alla geometria, ma anche alla topologia, poiché ci aiutano a determinare le proprietà di compattezza, chiusura e continuità di vari insiemi.

Prendiamo ad esempio una funzione definita su uno spazio euclideo bidimensionale $\mathbb{R}^2$ , come nel caso della funzione $f_3(x, y) = \lambda$ . Qui, l’analisi dei set di livello diventa una questione di risolvere equazioni del tipo $f_3(x, y) = \lambda$ per determinare la geometria delle curve in cui questa equazione è soddisfatta. Se $\lambda = 0$ , le linee $y = \pm x$ sono i punti in cui la funzione si annulla. La famiglia di curve definite come set di livello per valori non nulli di $\lambda$ ci dice molto sulle proprietà topologiche delle soluzioni.

Nel caso in cui $\lambda \neq 0$ , l’equazione $f_3(x, y) = \lambda$ diventa un’uguaglianza tra le variabili $x$ e $y$ in una forma del tipo $x + y = \lambda(x - y)$ . Analizzando il caso in cui $\lambda = -1$ , possiamo ottenere una curva che si sviluppa attraverso i quadranti del piano, escludendo il punto di origine. Questi insiemi di livello non sono altro che linee rette che passano per l’origine, ma con delle esclusioni specifiche come $y = \pm x$ , che formano un’unica curva di livello.

Un altro esempio interessante riguarda la funzione $f_4(x, y) = \lambda$ . Qui possiamo osservare che l’asse $x$ è sempre contenuto nel set di livello $L_0$ , mentre per valori di $\lambda \neq 0$ , il set di livello è dato dalla curva definita dalla funzione dispari $x = \frac{\lambda y}{1 + y^2}$ per $y \neq 0$ . Queste curve possono essere tracciate nei primi e terzi quadranti per $\lambda > 0$ , e nei secondi e quarti quadranti per $\lambda < 0$ . La geometria di questi set dipende strettamente dal comportamento della funzione rispetto alla variabile $y$ .

Le proprietà di chiusura e compattezza di un sottoinsieme in uno spazio euclideo sono altrettanto importanti. Consideriamo l’insieme $A$ definito da $(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 2x$ e $y \leq x$ . Per comprendere la chiusura di questo insieme, osserviamo che $x^2 + y^2 \leq 2x$ è equivalente all’equazione $(x - 1)^2 + y^2 \leq 1$ , che descrive un cerchio con centro in $(1, 0)$ e raggio 1. A questo punto, possiamo dedurre che l'insieme $A$ è contenuto all'interno di una palla chiusa di raggio arbitrariamente grande, e pertanto è un insieme limitato. La chiusura di questo insieme è ottenuta dimostrando che il complemento di $A$ è aperto, il che implica che l’insieme stesso è chiuso.

Un altro aspetto importante da comprendere è come determinare il bordo di un sottoinsieme in uno spazio euclideo, come nel caso dell’insieme $A = (x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \leq |x|$ . Il bordo di questo insieme è intuitivamente dato dalla curva $y = |x|$ , che può essere formalmente verificato mostrando che qualsiasi punto sulla curva è un punto di confine. Questo esercizio ci mostra che il bordo di un epigrafo di una funzione continua è semplicemente il grafico della funzione stessa. L'idea di "confine" in topologia diventa così una nozione che ci permette di visualizzare come un insieme si "avvicina" ai suoi limiti, ma senza mai toccarli completamente se non nella forma di un insieme di punti singolari.

Infine, l'esercizio che analizza l'insieme $\Omega = \{ a_n : n \geq 1 \},$ dove $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 2}$ , ci offre un esempio di come determinare le proprietà topologiche di insiemi più complessi, come la monotonicità e il comportamento asintotico. In questo caso, l'insieme $\Omega$ è limitato e si avvicina ad un limite superiore, ma non contiene alcun punto di interni, in quanto ogni punto $a_n$ è un punto isolato. La comprensione di questi concetti ci permette di affrontare una varietà di problemi in topologia e analisi matematica, come la determinazione della chiusura, della compattezza e delle proprietà di continuità in spazi più generali.

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