La dinamica dei vortici quantizzati e la loro interazione con la materia circostante è un aspetto cruciale nello studio delle stelle di neutroni e dei fenomeni che ne caratterizzano il comportamento rotazionale. In particolare, i "glitch" che si osservano nelle stelle di neutroni sono eventi misteriosi che comportano cambiamenti improvvisi nella velocità angolare della stella, con un aumento temporaneo della sua velocità di rotazione. Tali fenomeni sono strettamente legati alla struttura interna della stella, che comprende una componente superfluida, i neutroni, e una parte normale, che include il guscio della stella, i protoni e gli elettroni.

Nel caso di una stella di neutroni, la componente superfluida è composta principalmente da neutroni che ruotano in modo diverso rispetto alla parte normale della stella, ovvero la crosta. Il motore dietro ai glitch risiede nell'interazione tra questi due componenti e, più specificamente, nei vortici quantizzati che si formano all'interno del fluido superfluido. Tali vortici sono confinati in modo che siano paralleli al vettore di rotazione della stella, ma quando questi vortici, che sono "pinned" alla crosta, si deformano o si liberano, si verificano cambiamenti repentini nella distribuzione dell'energia angolare della stella.

In un primo stadio, i vortici quantizzati sono generalmente molto ben allineati lungo l'asse di rotazione della stella, e la loro densità di linea è molto alta a causa della velocità angolare elevata della stella. Questo regime, noto come "regime del vortice rettilineo", è caratterizzato da vortici che rimangono ancorati alla crosta e non subiscono modificazioni significative. Tuttavia, con il tempo, la velocità di rotazione della crosta diminuisce rispetto alla superfluida, a causa di fenomeni di dissipazione energetica, che portano a un aumento delle distorsioni dei vortici. Tali distorsioni possono causare una crescita della lunghezza dei vortici, che porta a un disallineamento tra la crosta e la parte superfluida della stella.

Quando la differenza di velocità tra la crosta e la parte interna della stella supera un valore critico, i vortici quantizzati si "sbloccano" dalla crosta e cambiano la loro topologia, formando una struttura turbolenta. Questo fenomeno è noto come "regime turbolento". La transizione da uno stato ordinato a uno disordinato dei vortici determina una rapida distribuzione dell'energia angolare, trasferendo una parte di essa dalla parte interna della stella alla crosta, che accelera improvvisamente. Questo acceleramento è il fenomeno che vediamo come glitch, ovvero un'improvvisa accelerazione della rotazione della stella di neutroni.

È importante notare che i glitch non sono fenomeni unici, ma possono manifestarsi a diverse scale, variando di intensità. Alcuni glitch potrebbero essere il risultato della liberazione di vortici da una regione della stella, mentre altri potrebbero derivare da un grado inferiore di turbolenza quantistica in altre aree. La variabilità dei glitch è dunque legata al modo in cui i vortici si sbloccano in diverse regioni della stella, creando un comportamento a volte imprevedibile, che non dipende strettamente dal tempo trascorso dall'ultimo glitch.

Questa spiegazione del comportamento delle stelle di neutroni e dei glitch che osserviamo è supportata da modelli matematici, che cercano di descrivere il cambiamento delle velocità angolari della crosta e della parte superfluida, nonché la densità di lunghezza dei vortici. I modelli propongono equazioni differenziali che governano l'evoluzione delle velocità angolari e la densità di vortici, tenendo conto delle forze di attrito mutuo tra le due componenti.

Tuttavia, nonostante questa comprensione, non possiamo considerare il fenomeno come un processo semplice e isolato. Al contrario, i glitch delle stelle di neutroni sono il risultato di una complessa interazione tra fenomeni di turbolenza quantistica, dinamiche fluidodinamiche e interazioni di attrito tra la crosta e la parte superfluida. La continua evoluzione dei modelli teorici, arricchiti da simulazioni numeriche avanzate e dati osservativi sempre più precisi, ci permette di affinare la nostra comprensione di questi fenomeni, ma rimangono molte domande ancora aperte.

Nell'affrontare il fenomeno dei glitch nelle stelle di neutroni, è essenziale ricordare che la fisica della superfluidità e dei vortici quantizzati è un campo in continua evoluzione. I modelli teorici basati su semplificazioni, come quelli che considerano vortici "rettilinei" o "curvati", sono utili per dare una prima descrizione dei fenomeni, ma non sono in grado di descrivere completamente la complessità dei processi fisici in gioco. Ad esempio, l'interazione tra le vortici e la turbolenza quantistica è un aspetto che necessita di ulteriori studi per essere pienamente compreso.

La Propagazione del Suono Secondario e la Transizione Lambda: Una Descrizione Microscopica

La propagazione del suono secondario nelle vicinanze della transizione lambda in un fluido superfluido è un fenomeno complesso che implica una stretta interazione tra vari parametri fisici, in particolare l'ordine del parametro ff e il flusso di calore qq. L'equazione per l'evoluzione del flusso di calore, come mostrato in precedenza, descrive la dinamica di ff, che è strettamente legata alla temperatura di transizione critica TcT_c. In assenza di fenomeni dissipativi, come si verifica vicino alla transizione lambda, i modi di propagazione si separano, con il suono secondario che si propaga indipendentemente.

La relazione tra il flusso di calore e la velocità del suono secondario è fondamentale. L'equazione che descrive l'evoluzione di qq mostra come la velocità del suono secondario dipenda dal parametro ff e dalla temperatura TT, con un legame diretto con la viscosità cinematica del fluido, indicata dal parametro ν\nu. Questo parametro è fondamentale per comprendere come la dissipazione dell'energia nelle dinamiche del flusso di calore influenzi la propagazione del suono e come essa cambi sotto particolari condizioni di temperatura.

In condizioni più generali, vicino alla transizione lambda, il parametro ff modifica non solo la velocità del suono secondario ma anche il coefficiente di attenuazione di questo suono, che diventa significativo anche per piccole variazioni del parametro ff. L'influenza di ff sulla velocità e sull'attenuazione è importante per comprendere i cambiamenti nei fenomeni ondulatori associati al fluido superfluido, specialmente in prossimità della transizione critica. In particolare, la velocità del suono secondario dipende dalla dimensione del parametro f0f_0, che tende a zero al punto di transizione lambda, rendendo la velocità del suono in pratica nulla in corrispondenza di TcT_c.

Un altro aspetto critico è la dinamica dell'ordine del parametro ff nelle vicinanze di TcT_c. La descrizione microscopica delle onde associate al parametro ff, che si propagano separatamente dal suono secondario, mostra come le onde di ff vengano attenuate rapidamente. Queste onde sono influenzate fortemente dalla viscosità cinematica ν\nu, che ne determina l'attenuazione. La teoria delle perturbazioni, applicata alla propagazione di queste onde, rivela che l'attenuazione è molto forte a causa delle piccole dimensioni del parametro ν\nu, con implicazioni significative per la comprensione del comportamento del fluido a temperature prossime a TcT_c.

L'effetto della viscosità ν\nu e dei coefficienti dissipativi è essenziale per comprendere come il suono secondario, e altre onde termiche, siano influenzati da fenomeni dissipativi come il freno dovuto alle interazioni con i vortici quantizzati. La legge di Fourier per il flusso di calore, in effetti, si riduce al caso classico nelle condizioni in cui il parametro ff è vicino a zero, ma mostra un comportamento completamente diverso quando ff tende a 1, dove le sole forze che intervengono nella dissipazione dell'energia sono quelle derivanti dall'interazione con i vortici.

Inoltre, l'esistenza di una modalità nuova, connessa a perturbazioni nell'ordine del parametro ff, è una caratteristica distintiva che emerge quando si esamina la propagazione del suono secondario vicino alla transizione lambda. Questo nuovo modo si attenua rapidamente dopo poche lunghezze d'onda, un effetto che è strettamente legato alla natura quantizzata dei vortici nel fluido superfluido. Nonostante la propagazione di questo nuovo modo, il suono secondario e le onde nulli si accoppiano, il che implica che, a livelli pratici, le perturbazioni termiche e le oscillazioni quantistiche si influenzano reciprocamente in modo complesso.

La comprensione di questi fenomeni è importante non solo per la teoria dei superfluidi, ma anche per le applicazioni pratiche in cui le proprietà termiche e la dinamica dei fluidi superflui giocano un ruolo centrale. La corretta interpretazione del comportamento del flusso di calore, delle onde di suono e delle perturbazioni quantistiche è quindi cruciale per avanzare nella conoscenza della fisica dei fluidi superflui e delle transizioni di fase in condizioni non equilibrate. La connessione tra le onde termiche e il comportamento dei vortici quantizzati si rivela essere un punto fondamentale per descrivere accuratamente la transizione lambda in He-II e in altri sistemi simili.

Qual è la relazione tra la temperatura e i grovigli turbolenti di vortici in superfluidi?

Nel capitolo precedente, abbiamo esaminato la geometria e la dinamica dei grovigli turbolenti di vortici, nonché la loro connessione con il flusso di calore e la velocità baricentrica. In questa sezione, ci concentriamo su un aspetto differente dei grovigli: la loro entropia e temperatura. Sebbene questi concetti non siano necessari per descrivere il trasporto di calore nei superfluidi, rivestono un interesse indipendente, poiché i grovigli sono oggetti geometrici che possiedono un contenuto energetico. Da questa prospettiva, ci si può chiedere quale sia l'entropia di un groviglio, ossia quanto sia "disordinata" la sua geometria, e quale sia il grado di "disordine" nella distribuzione dell'energia tra i diversi gradi di libertà, o tra i diversi tipi di anelli di vortici.

L'entropia e la temperatura che consideriamo in questa sede non sono legate alla temperatura e all'entropia del superfluido sottostante, ma possono essere molto diverse da esse, poiché hanno un significato fisico distinto. In questo contesto, trattiamo il groviglio come un'entità fisica dinamica e non in equilibrio, che scambia continuamente energia con il superfluido sottostante, finché il sistema riceve energia sufficiente per sostenere il set di vortici che appaiono e scompaiono costantemente. In caso contrario, il sistema di vortici scomparirebbe. La definizione della temperatura in termini di energia media per un sistema di linee chiuse suggerisce un'analogia tra la termodinamica delle linee di vortici quantistici e quella delle loop di stringhe cosmiche. Sebbene questo concetto non si riferisca direttamente alla turbolenza, presenta un interesse fisico sufficiente per essere esaminato brevemente, al fine di mostrare come la dinamica del superfluido possa suggerire aspetti di problemi cosmologici.

Infatti, analogie cosmologiche con alcuni problemi dei superfluidi sono state sottolineate nel corso degli anni. Alcuni autori, ad esempio, hanno proposto di descrivere il vuoto quantistico cosmico come un superfluido, nel quale le linee di vortici in questo superfluido giocherebbero un ruolo analogo, nelle loro conseguenze macroscopiche, a quello delle loop di stringhe cosmiche. In particolare, queste stringhe potrebbero influenzare l'evoluzione del tasso di espansione cosmica. Tale analisi non si limita alle loop di stringhe cosmiche, ma prende in considerazione altre entità fisiche, il cui contenuto energetico microscopico potrebbe essere espresso tramite una lunghezza caratteristica in una forma potenziale. In questo modo, un unico formalismo termodinamico può trattare sistemi differenti. In particolare, emergono delle dualità termodinamiche quando si confrontano entità con un'energia u(l)∼lau(l) \sim l^a e u(l)∼l−au(l) \sim l^{ -a}, come nel caso delle loop di stringhe cosmiche con u(l)∼lu(l) \sim l e dei fotoni con u(l)∼l−1u(l) \sim l^{ -1}. Tali dualità potrebbero essere estese ad altre situazioni, come la termodinamica dei buchi neri macro- e microscopici, e sono di fondamentale rilevanza in alcuni aspetti della fisica teorica, in particolare nella teoria delle stringhe, dove sono stabilite connessioni tra le diverse soluzioni delle teorie delle superstringhe.

Nei sistemi non in equilibrio, i diversi gradi di libertà possono avere temperature differenti, a causa del fatto che scambiano energia molto lentamente o perché ricevono energia esterna in proporzioni diverse. Esistono diversi modi di definire la temperatura. In equilibrio, tutte le definizioni portano allo stesso valore. In contrasto, negli stati stazionari non in equilibrio, le diverse definizioni portano a valori differenti. Ciò non costituisce una contraddizione: ogni definizione è legata a un tipo di misurazione, a un "termometro teorico", e differenti tipi di termometri possono portare a valori diversi della temperatura, a seconda dei gradi di libertà cui sono sensibili.

In questa sezione, consideriamo tre approcci alla temperatura efficace dei grovigli turbolenti di vortici. L'obiettivo non è quello di ridurre tutta la complessità dei possibili approcci a un'unica temperatura, ma piuttosto di evidenziare la diversità delle proposte, ciascuna legata a un aspetto fisico specifico del groviglio. Si possono tentare definizioni caloriche della temperatura, legate al contenuto energetico, definizioni entropiche, legate allo scambio di energia, e definizioni di tipo fluttuazione-dissipazione, legate alle fluttuazioni e al trasporto di energia, insieme ad altre possibili definizioni. Ogni definizione corrisponde a un tipo di misurazione e solo in equilibrio tutte le definizioni e misurazioni portano allo stesso valore di temperatura.

Dal punto di vista microscopico, l'energia associata ai vortici è relativamente organizzata e non viene conteggiata come energia interna. Tuttavia, dal punto di vista macroscopico, poiché il groviglio è un oggetto disordinato, questa energia è disordinata, ed è ragionevole associare a essa una temperatura efficace. Tale temperatura sarà legata alla densità media di lunghezza dei vortici nel groviglio, che a sua volta è connessa al flusso di calore esterno. Pertanto, in assenza di un flusso di calore o con un flusso inferiore a un valore critico, i vortici scomparirebbero, il groviglio non esisterebbe più e non vi sarebbe una temperatura legata al groviglio.

Per quanto riguarda le definizioni operative della temperatura efficace, è necessario che essa soddisfi il criterio che, nello scambio energetico tra grovigli con diverse temperature definite, l'energia fluisca sempre dalle temperature più alte verso quelle più basse. Tuttavia, non è necessario che tali temperature coincidano con la temperatura assoluta del liquido elio. Qui consideriamo due definizioni principali: una basata sul grado di disordine dei vortici (una definizione entropica) e un'altra basata sull'energia media dei vortici (una definizione calorica). Inoltre, si menziona brevemente una definizione basata sulla relazione di Einstein per la diffusione dei vortici, al fine di enfatizzare la varietà delle possibili definizioni.

Come il comportamento della superfluidità e dei vortici quantizzati influisce sul trasporto di calore non-Fourier

Nel regime idrodinamico (T > 0,7 K), le condizioni al contorno assumono una rilevanza fondamentale nello studio del comportamento del Helium II. Per ottenere una descrizione accurata, è stato utilizzato il modello esaminato in [18], che prevede una condizione di scivolamento per la componente normale della velocità. Da un confronto diretto tra i risultati ottenuti in [17, 18] e gli esperimenti di Guo et al. [19], emerge che l'introduzione di una condizione di scivolamento per la componente normale, specialmente nelle condizioni di maggiore scivolamento, porta a un profilo della velocità più piatto per la componente normale, pur mantenendo una forma parabolica. Questo indica che la velocità della componente normale non è propriamente zero sulla parete, suggerendo che il comportamento dell'Helium II nelle vicinanze della parete richieda ulteriori studi ed esperimenti.

Un altro aspetto interessante che emerge da questi risultati è il confronto tra i dati ottenuti e gli esperimenti di Guo, che offre nuovi spunti per il dibattito in corso. Nel nostro lavoro, come nella tradizione, è stata utilizzata l'interpretazione convenzionale dell'helium superfluido, come composto da due componenti indistinte: la normale e la superfluida. Sebbene questa sia una modellizzazione semplificata proposta da Landau quasi un secolo fa, essa rimane ampiamente utilizzata per descrivere gli esperimenti con Helium II.

Nel contesto della turbolenza, un altro campo di interesse riguarda la densità delle linee di vortice, L\mathcal{L}. Secondo la sua definizione, il valore di questo campo sulla parete è zero, ovvero Lwall=0\mathcal{L}_{wall} = 0. Tuttavia, il comportamento del vortice vicino alla parete implica che esso si muova come se un altro vortice si trovasse dall'altra parte della parete. Questo fenomeno può essere rappresentato come ∂L=∂L0\partial_{\mathcal{L}} = \partial_{\mathcal{L}_0}, dove L\mathcal{L} è la densità delle linee di vortice e ∂n\partial_n e ∂t\partial_t rappresentano rispettivamente le direzioni normale e tangente rispetto alla parete. Le equazioni per il vortice devono quindi essere completate con una generalizzazione dell’equazione di Vinen applicata alle zone vicine alle pareti.

Il vortice quantizzato può essere descritto come una linea di vortice classica nella componente superfluida, con un nucleo di dimensioni pari a quelle di un atomo di elio e una circolazione quantizzata κ\kappa. A temperature superiori a 1 K, in presenza della componente normale, la linea di vortice si muove seguendo l’equazione:

v~L=∂s∂t=v~(i)+αs′×(u~ns−v~(i))−α′s′×[s′×(u~ns−v~(i))]+λs′\tilde{v}_L = \frac{\partial s}{\partial t} = \tilde{v}(i) + \alpha s' \times (\tilde{u}_{ns} - \tilde{v}(i)) - \alpha' s' \times [s' \times (\tilde{u}_{ns} - \tilde{v}(i))] + \lambda s'

dove λ\lambda è un coefficiente non determinato, di solito assunto nullo nella letteratura corrente. A temperature molto vicine allo zero, questa equazione si riduce alla legge di Biot-Savart, che descrive l'interazione tra linee di vortice nel fluido:

∫s˙∣s−s1∣3=κ(s−s1)×ds\int \frac{ṡ}{|s - s_1|^3} = \kappa (s - s_1) \times ds

Questa integrazione diverge quando ss si avvicina a s1s_1, ma tale divergenza viene rimossa considerando il non-azzeramento della dimensione del nucleo del vortice. Le equazioni (12.2.11) e (12.2.12) sono fondamentali per descrivere la dinamica delle linee di vortice, utilizzabili tanto nel modello a due fluidi quanto in quello a un fluido, sostituendo u~ns\tilde{u}_{ns} con il flusso di calore locale.

Nelle simulazioni numeriche presentate nei capitoli 6.4 e 7.5, sono stati analizzati i profili di velocità e di densità di vortici in situazioni bidimensionali, utilizzando il corrispondente a due dimensioni dell'equazione (12.2.11). Come condizioni iniziali sui vortici, si è solitamente impostata una distribuzione omogenea, mentre per le condizioni al contorno è fondamentale considerare l'interazione dei vortici con la parete. Nel caso bidimensionale, si assume che quando il centro del vortice si avvicina alla parete oltre una distanza critica, il vortice scompare, e per studiare le situazioni stazionarie viene introdotto un nuovo vortice in modo casuale nel piano.

In tre dimensioni, la situazione è più complessa: i vortici formano anelli chiusi. Pertanto, quando uno dei punti dell'anello si avvicina alla parete a una distanza inferiore a quella critica, l'intero anello scompare, e un nuovo anello viene introdotto casualmente nel sistema con un'orientazione casuale. Un modello più esaustivo è quello dei filamenti di vortice, ampiamente trattato in letteratura.

Nel contesto degli esperimenti numerici, come quelli eseguiti nel lavoro di [17], il modello a due fluidi esteso è stato utilizzato per analizzare il comportamento dell'Helium II con una condizione di scivolamento sulla parete per la componente normale. Sebbene i profili ottenuti in questo caso differiscano leggermente da quelli previsti dal modello a due fluidi tradizionale, sono necessari esperimenti futuri per comprendere meglio il comportamento poco chiaro dell'Helium II vicino alle pareti.

Il trasporto di calore non-Fourier nei solidi, sebbene non così pronunciato come nei fluidi superflui, offre numerosi spunti di ricerca. Gli effetti di nonlocalità, analoghi a quelli viscoziani nei fluidi, sono oggetto di crescente interesse, in particolare nel contesto della idrodinamica dei fononi. Quando la lunghezza media di libero cammino dei fononi è comparabile o maggiore della dimensione caratteristica del sistema solido, come nel caso dei nanotubi o degli strati sottili di nanomateriali, si possono osservare effetti interessanti che potrebbero stimolare ulteriori ricerche. Sebbene le correnti di fononi non siano ancora studiate quanto quelle nei fluidi superfluidi, il loro impatto potrebbe rivelarsi fondamentale nei sistemi a scala nanometrica.

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