Come si garantisce la validità fisica nelle analisi non lineari delle strutture intelaiate?

L’analisi delle strutture intelaiate, in particolare quelle soggette a deformazioni non lineari, richiede una comprensione profonda delle ipotesi cinematiche adottate e dei parametri che influenzano la rigidezza degli elementi strutturali. Le strutture possono essere suddivise in categorie crescenti di complessità, quali travi, telai piani e spaziali, e strutture reticolari (travi e telai con giunti rigidi o incernierati). Mentre per i reticoli non è necessaria un’ipotesi cinematica per descrivere il comportamento della sezione trasversale, per travi e lastre si utilizzano ipotesi classiche, come quella di Bernoulli-Euler o di Kirchhoff, che impongono limitazioni particolari sulle deformazioni, soprattutto per quanto riguarda le parti non lineari della deformazione.

Queste ipotesi, pur essendo valide in regime elastico lineare, introducono incertezza e termini di rigidezza di ordine superiore nelle formulazioni non lineari, che non trovano giustificazione fisica, specialmente nel caso di rotazioni rigide. Pertanto, nel calcolo agli elementi finiti basato sull’approccio agli spostamenti, la relazione tra deformazioni e spostamenti, così come tra forze interne e tensioni, non è sempre lineare né intuitivamente interpretabile.

La rigidezza geometrica $[k_g]$ nasce dall’energia potenziale virtuale, in cui entrano in gioco le deformazioni non lineari e le tensioni iniziali già presenti nell’elemento. Tali tensioni rappresentano la fonte principale di instabilità. Tuttavia, l’adozione delle ipotesi cinematiche classiche causa l’insorgere di termini di rigidezza di ordine superiore, che non sono fisicamente interpretabili, soprattutto in relazione a rotazioni rigide. È dunque fondamentale che la formulazione degli elementi non lineari rispetti la cosiddetta regola del corpo rigido: un elemento soggetto a rotazione rigida, se inizialmente in equilibrio, deve mantenere inalterate le forze agenti senza produrre variazioni di sollecitazioni interne.

Tra tutte le strutture intelaiate, il traliccio rappresenta la forma più semplice e pulita dal punto di vista della modellazione, in quanto ogni elemento è costituito da membri a due forze, e non richiede ipotesi cinematiche sulle sezioni trasversali. Per questo motivo, tutti i termini di rigidezza derivati dalle deformazioni non lineari si conformano perfettamente alla regola del corpo rigido, offrendo un esempio paradigmatico di validità fisica.

La regola del corpo rigido svolge inoltre altre funzioni cruciali: permette di verificare la qualità di un nuovo elemento non lineare, di aggiornare le forze nodali durante iterazioni soggette a rotazioni rigide e di derivare la rigidezza geometrica basata sui sei gradi di libertà rigidi (tre traslazioni e tre rotazioni) in uno spazio tridimensionale. Nel caso delle lastre triangolari a tre nodi, la rigidezza geometrica può essere ottenuta assemblando le rigidezze dei lati come elementi rigidi.

L’importanza della regola del corpo rigido non si limita alle travi e ai tralicci, ma si estende alle lastre e alle gusce, rendendo possibile una formulazione coerente e fisicamente fondata dell’analisi geometrica non lineare di strutture complesse.

Oltre agli aspetti teorici, risulta imprescindibile una solida conoscenza preliminare dell’analisi lineare delle strutture e della formulazione della rigidezza elastica, poiché questa rappresenta la base su cui si costruisce la modellazione non lineare. L’iterazione incrementale, con metodi come il controllo generalizzato degli spostamenti, rappresenta l’approccio numerico più efficace per analizzare il comportamento post-instabilità, specialmente in presenza di più punti critici.

La comprensione di queste tematiche consente di evitare errori concettuali comuni nell’uso degli elementi finiti, come l’introduzione di rigidezze artificiali o fisicamente ingiustificate, e permette di sviluppare modelli più accurati, robusti e affidabili per l’ingegneria strutturale moderna.

Quali sono le caratteristiche e i limiti dei metodi incrementali-iterativi nelle analisi non lineari?

Nell’ambito dell’analisi incrementale-iterativa dei sistemi strutturali non lineari, il comportamento numerico vicino ai punti critici come i punti limite o di snap-back rappresenta una sfida fondamentale. È quindi preferibile parlare di “vicinanze” o “intorni” di tali punti critici piuttosto che dei punti stessi, poiché la soluzione si avvicina asintoticamente a queste condizioni senza mai definirle in modo assoluto. L’analisi si concentra sull’andamento dei parametri di carico e spostamento, che devono restare limitati affinché la soluzione sia numericamente stabile.

Un elemento cruciale è rappresentato dalla matrice di rigidezza generalizzata $[K̂_i]$, la cui determinante, e non quella della matrice di rigidezza originale $[K_i]$, determina la stabilità e la limitatezza dei parametri di carico $\lambda_{ij}$ e degli incrementi di spostamento $\{\Delta U_{ij}\}$ durante il processo incrementale-iterativo. Questo fatto ha un’importanza centrale nel valutare i diversi metodi esistenti.

Il metodo di controllo degli spostamenti, basato sulla scelta di un componente di spostamento come parametro di controllo, si comporta diversamente. Nei pressi dei punti limite, le matrici $[K̂_i]$ e $[\bar{K}_i]$ rimangono nonsingulari se $[K_i]$ è nonsingular, garantendo così parametri di carico e spostamento di ampiezza finita. Ciò conferma la capacità del metodo di gestire i punti limite. Tuttavia, in prossimità di fenomeni di snap-back, dove lo spostamento di controllo smette di aumentare o diminuire, la determinante di $[K̂_i]$ tende a zero, pur mantenendo $[K_i]$ non singolare. Questo può causare instabilità numeriche, ponendo un limite anche a questo approccio.

Infine, il metodo di controllo del lavoro, dove il parametro di controllo è l’incremento di lavoro applicato, può incorrere in problemi numerici qualora i gradi di libertà associati ai carichi mostrino comportamenti di snap-back. In queste condizioni, il parametro di carico può diventare illimitato, portando al fallimento del metodo.

È importante comprendere che la presenza di punti critici quali punti limite e di snap-back non è un mero dettaglio matematico, ma riflette fenomeni fisici reali che richiedono metodi numerici capaci di adattarsi dinamicamente alla variazione di rigidezza e ai cambiamenti di direzione del percorso di carico. La non linearità strutturale non può essere affrontata efficacemente con metodi che assumono parametri costanti o che non modulano la direzione e l’ampiezza degli incrementi in risposta alle condizioni locali del sistema.

Inoltre, la distinzione tra la matrice di rigidezza originale e quella generalizzata è fondamentale per analizzare e prevedere il comportamento del sistema numerico. La matrice generalizzata incorpora infatti i vincoli imposti e le condizioni specifiche del metodo incrementale, influenzando direttamente la convergenza e la stabilità della soluzione.