L'argomento dell'indispensabilità rafforzata: il ruolo degli enti matematici nelle teorie scientifiche

Supponiamo di avere delle prove E e di dover considerare diverse ipotesi, diciamo H e H’. La regola ci dice che dovremmo inferire H piuttosto che H’ esattamente nel caso in cui H fornisca una spiegazione migliore di E rispetto a H’. Questo principio si fonda su un'idea generale di inferenza alla migliore spiegazione (IBE), che è utilizzato per giustificare la preferenza per una teoria piuttosto che un'altra sulla base della sua capacità di spiegare in modo superiore le evidenze disponibili. Tuttavia, è importante sottolineare che, come afferma Van Fraassen, la formulazione di questa inferenza deve essere trattata con alcune qualifiche per evitare incoerenze: dobbiamo sempre cercare di passare alla miglior spiegazione complessiva di tutte le evidenze disponibili.

L'EIA si rivolge principalmente a coloro che accettano il principio dell'IBE, in particolare i "realisti scientifici", i quali ritengono che le teorie scientifiche nelle scienze mature siano sostanzialmente vere, o almeno mirino alla verità. Pertanto, se si accetta una teoria scientifica, si crede che tale teoria descriva la realtà. Gli EIA sostengono che le stesse evidenze inferenziali utilizzate nelle migliori spiegazioni dei fenomeni empirici per giustificare l'esistenza di entità teoriche dovrebbero essere utilizzate per giustificare l'esistenza delle entità matematiche, altrimenti si corre il rischio di essere accusati di "disonestà intellettuale", come sottolineato da Putnam. In altre parole, se le entità matematiche svolgono lo stesso ruolo esplicativo delle entità teoriche nelle teorie scientifiche, e se l’impegno verso le entità teoriche è difeso attraverso il principio dell'IBE, allora lo stesso principio dovrebbe applicarsi anche alle entità matematiche.

L'argomento si può riassumere nella sua forma più canonica:

P1. Le entità matematiche giocano un ruolo esplicativo indispensabile nelle scienze.
P2. Dobbiamo essere ontologicamente impegnati con ogni entità che svolge un ruolo esplicativo indispensabile nelle nostre migliori teorie scientifiche.
Conclusione: Dobbiamo essere ontologicamente impegnati con le entità matematiche.

Tuttavia, il successo dell'EIA dipende dalla possibilità di trovare esempi genuini di spiegazioni extra-matematiche. È necessario dimostrare che la matematica non è solo indispensabile per la formulazione teorica, ma anche per l'effettiva spiegazione del fenomeno. In alternativa, è fondamentale che vengano forniti esempi di teorie scientifiche che possano essere spiegate senza l'uso della matematica, il che mette in dubbio la validità di un argomento per la "necessità ontologica" delle entità matematiche. La sfida risiede, quindi, nell'individuare un esempio in cui una spiegazione scientifica possa essere validamente formulata senza ricorrere alla matematica.

Per evitare che l'argomento dell'indispensabilità diventi circolare, è essenziale che le spiegazioni scientifiche non facciano riferimento esplicito a entità matematiche. Solo esempi di applicazioni esterne della matematica, ovvero che non dipendono da una spiegazione interna o da una teoria che contiene già matematiche postulate, possono sostenere una valida argomentazione ontologica. Trovare esempi di spiegazioni fisiche che non facciano riferimento a entità matematiche diventa quindi un passo fondamentale per validare o meno l'EIA.

La relazione tra matematica e fenomeno fisico: è la matematica spiegativa o solo rappresentativa?

L'introduzione di un operatore di esistenza (E) nella logica matematica, per esprimere l'esistenza, implica una distinzione tra l'esistenza ontologica e la mera esistenza quantificata, senza carico ontologico. In questo contesto, il tradizionale quantificatore esistenziale (∃) non porta con sé alcun impegno ontologico (Bueno, 2016, p. 2600). Questo implica che anche nelle dichiarazioni che quantificano su oggetti matematici, come numeri o strutture astratte, non si presuppone un impegno ontologico. Esplorando questo approccio, Bueno (2012) sottolinea che una interpretazione adeguata deve collegare la matematica al mondo fisico, chiarendo la natura della relazione tra i due domini. In ultima analisi, la spiegazione di tale connessione dovrebbe fare riferimento al fenomeno fisico stesso, poiché la matematica è utilizzata come strumento di rappresentazione, mediato da un'interpretazione adeguata.

La relazione tra la matematica pura e la sua applicabilità al mondo fisico è spesso concepita come una somiglianza strutturale tra i due. Un esempio noto di questa concezione è il cosiddetto "mapping account" (Pincock, 2012), secondo cui il modello matematico mappa la struttura fisica in modo simile a come una mappa stradale rappresenta una città. Tuttavia, come giustamente osservano Bueno e Colyvan (2011), questa relazione non deve necessariamente essere isomorfica: spesso, la struttura matematica è più ricca rispetto a quella fisica. Ad esempio, la mappa di una città contiene meno informazioni rispetto alla città stessa, poiché molti dettagli vengono astratti. La relazione tra il modello matematico e il fenomeno fisico deve, comunque, preservare le relazioni strutturali rilevanti senza introdurre informazioni superflue.

Un aspetto cruciale riguarda il tipo di struttura che si suppone esista nel mondo fisico. Maddy (1992) e Sklar (1974) pongono domande fondamentali sulla natura della geometria dello spazio-tempo: è una convenzione o una realtà empirica? Queste domande sollevano il problema della connessione tra la matematica e la fisica, mettendo in discussione l'idea che la matematica descriva una realtà indipendente dalla sua interpretazione fisica. La teoria in re structuralista suggerisce che la struttura non esista a prescindere dalle descrizioni teoriche che facciamo del mondo; anzi, è nella descrizione che essa prende forma. Questo implica che la "struttura" del mondo non è un dato pre-esistente, ma una costruzione emergente dalle teorie scientifiche.

Nonostante la critica che la matematica non sia esplicativa del mondo fisico in senso ontologico, il suo valore come strumento di rappresentazione non può essere sottovalutato. Piuttosto che offrire spiegazioni ultime, la matematica aumenta il nostro potenziale di comprendere e descrivere la realtà fisica in modi che altrimenti sarebbero difficilmente raggiungibili.

Cosa rende esplicativa una spiegazione non causale nei modelli matematici?

Tuttavia, il fatto che una spiegazione rispetti tali vincoli non basta. Secondo Reutlinger, è necessario soddisfare anche la condizione di veridicità – cioè che le affermazioni coinvolte siano (approssimativamente) vere – e una condizione di implicazione, che impone che il fenomeno da spiegare (explanandum) sia logicamente implicato dalle premesse e dalla generalizzazione. Questo quadro si inserisce in una distinzione più ampia tra spiegazioni interventiste e non interventiste.

Nel modello interventista, secondo Woodward, una spiegazione è esplicativa quando è possibile intervenire su una variabile indipendente e ottenere un cambiamento nella variabile da spiegare. Invece, l'approccio non interventista, come quello di Reutlinger, rinuncia all’idea di intervento concreto: ciò che conta è che almeno una delle variabili nelle premesse della spiegazione possa assumere un valore differente, e che questo cambiamento, nel rispetto della generalizzazione, conduca a un cambiamento nel fenomeno spiegato. Il fulcro, quindi, non è il controllo causale, ma la coerenza strutturale tra variazione e deduzione.

L’esempio classico della spiegazione di Eulero circa l’impossibilità di attraversare i sette ponti di Königsberg una sola volta ciascuno, senza mai ripassare, mostra perfettamente come una spiegazione possa essere controfattuale e non causale. Non si fa alcun riferimento a cause fisiche o dinamiche: la spiegazione si fonda interamente sulla teoria dei grafi. La disposizione reale dei ponti, nel 1736, non permette una mappatura su un grafo che soddisfi le condizioni necessarie per tale cammino. Secondo il teorema di Eulero, un grafo ammette un percorso euleriano se, e solo se, ogni vertice ha un numero pari di archi incidenti. A Königsberg, i vertici corrispondenti all

La relazione tra matematica e scienza: una riflessione sul ruolo dell'analisi matematica nella spiegazione scientifica

Il rapporto tra matematica e scienza è sempre stato un campo di interesse fondamentale, sia per i filosofi che per i matematici. La matematica non è soltanto un linguaggio utilizzato per esprimere concetti scientifici, ma svolge anche un ruolo cruciale nell'organizzazione e nella comprensione della realtà fisica. Questo legame profondo è stato esplorato attraverso molteplici prospettive filosofiche, ciascuna delle quali ha cercato di chiarire come le strutture matematiche possano essere interpretate in relazione al mondo fisico.

All'interno di questo quadro, la filosofia della matematica ha messo in evidenza il dibattito tra realismo matematico e nominalismo. I sostenitori del realismo ritengono che gli oggetti matematici esistano indipendentemente dalla nostra percezione o comprensione di essi, mentre i nominalisti sostengono che la matematica non faccia riferimento a entità reali, ma sia una mera convenzione utile per descrivere il mondo. Queste posizioni si riflettono nei lavori di pensatori come Quine e Putnam, i quali hanno discusso dell'indispensabilità della matematica nella scienza, ponendo la domanda se la matematica sia davvero necessaria per la nostra comprensione del mondo fisico.

In particolare, il problema della spiegazione matematica nella scienza è emerso come un tema cruciale. Sebbene la matematica possa spiegare determinati aspetti della realtà, come nel caso delle leggi della fisica, non offre una "spiegazione causale" nel senso tradizionale. La sua capacità di modellizzare il mondo dipende dalla sua astrazione e dalla sua generalità. Quindi, quando si discute della validità della matematica come spiegazione scientifica, non si parla solo di un'applicazione pratica, ma di un vero e proprio modo di pensare, di un linguaggio che ha il potere di dare ordine e struttura al caos osservabile.

La discussione sulla spiegazione matematica è anche legata alla questione dell'interpretazione delle teorie scientifiche. In fisica, ad esempio, si utilizzano modelli matematici per predire fenomeni che non possono essere osservati direttamente. Questo solleva interrogativi sul rapporto tra la teoria matematica e la realtà fisica: in che misura una descrizione matematica è effettivamente rappresentativa della realtà? E, soprattutto, come possiamo sapere se una teoria matematica è corretta o se è solo una costruzione utile, ma non necessariamente veritiera?

In parallelo a queste riflessioni, il ruolo dell'abduzione nella scienza merita attenzione. L'abduzione è il processo inferenziale che permette di formulare le migliori spiegazioni per i dati osservati, partendo da ipotesi che possono non essere immediatamente verificate. In matematica, questa forma di inferenza è spesso utilizzata per arrivare a risultati che non sono immediatamente intuitivi, ma che possono essere validati attraverso la coerenza interna del sistema matematico.

Un altro elemento rilevante è l'importanza delle "entità astratte" in matematica. Le entità matematiche, come i numeri o le strutture algebriche, sono prive di una rappresentazione fisica diretta, ma possiedono una coerenza interna che le rende "reali" nel contesto delle teorie matematiche. Questa "realità astratta" ha portato a discussioni sullo status ontologico della matematica, sollevando domande fondamentali sulla natura delle entità matematiche e sul loro ruolo nella spiegazione scientifica.

La riflessione sulla matematica nella scienza non può prescindere anche dalla comprensione delle sue applicazioni pratiche. Il successo della matematica nel descrivere fenomeni naturali non è solo una questione teorica, ma anche un dato empirico che si manifesta nelle incredibili realizzazioni scientifiche. Tuttavia, il fatto che la matematica sia così efficace nel descrivere il mondo non significa necessariamente che essa "spieghi" la realtà in senso causale. La matematica, piuttosto, fornisce un modello utile che consente di fare previsioni accurate e di comprendere le strutture sottostanti dei fenomeni naturali.

Nel contesto della filosofia della scienza, la matematica viene spesso trattata come un linguaggio universale che supera i confini delle discipline scientifiche. La sua universalità e la sua capacità di astrarre concetti complessi rendono la matematica uno strumento insostituibile per la formulazione e l'espressione delle leggi fisiche. Tuttavia, il suo ruolo non è mai neutro: la matematica influenza e viene influenzata dalle teorie scientifiche. La sua applicazione in contesti diversi, dalla fisica alla biologia, dalle scienze sociali alla chimica, dimostra la sua versatilità, ma anche la sua dipendenza dalle questioni epistemologiche e ontologiche che ne definiscono l'uso.

È essenziale comprendere che la matematica, pur essendo uno strumento straordinariamente potente, non è la "verità ultima". La sua capacità di modellizzare la realtà non implica che essa rappresenti la realtà in modo perfetto o completo. Piuttosto, la matematica ci offre un linguaggio attraverso il quale possiamo interpretare il mondo, un linguaggio che deve essere continuamente sottoposto a revisione, in base all'evoluzione delle teorie scientifiche e delle scoperte empiriche.