Come si calcola il lavoro di espansione in un sistema termodinamico?

Nel contesto della termodinamica classica, il lavoro di espansione rappresenta una delle modalità attraverso cui l’energia può essere trasferita da un sistema all’ambiente o viceversa. Consideriamo un sistema semplice: 1 kg di vapore acqueo inizialmente saturo alla pressione di 1 bar e alla temperatura di 100 °C. Secondo le tabelle del vapore saturo, il volume specifico corrispondente è vg = 1.672 m³/kg, il che implica che il volume totale è V₁ = 1.672 m³. Se lo stesso vapore viene riscaldato a temperatura costante fino a raggiungere 300 °C, ma sempre a 1 bar (quindi nella regione di vapore surriscaldato), il volume specifico sale a v = 2.64 m³/kg, e quindi V₂ = 2.64 m³.

Essendo la pressione costante, il lavoro di espansione della frontiera si calcola tramite l’integrale della pressione costante rispetto al cambiamento di volume, ovvero:

W = −p(V₂ − V₁)

Sostituendo i valori numerici (e ricordando che 1 bar = 10⁵ Pa), si ottiene:

W = −10⁵ × (2.64 − 1.672) = −96.8 kJ

Il segno negativo indica che il sistema (il vapore) compie lavoro sull’ambiente, per esempio spingendo un pistone. Questo è esattamente il principio base del funzionamento di motori termici: sfruttare l’espansione del gas per produrre lavoro meccanico. Affinché il ciclo si completi, sarà necessario riportare il pistone nella posizione iniziale, il che implica compiere lavoro sul sistema – ma a pressione più bassa, in modo da ottenere un bilancio netto positivo di energia utile.

Un’applicazione affascinante di questi principi si può trovare nello storico sistema di posta pneumatica di Berlino, operativo dal 1865 al 1976, che sfruttava una rete di tubi lunga più di 200 chilometri. Messaggi e telegrammi venivano trasportati attraverso contenitori cilindrici spinti da aria compressa o da vuoto parziale. I tubi avevano un diametro di 6.5 cm e la pressione differenziale era di circa 0.5 bar. Calcoliamo il lavoro meccanico necessario per trasportare un cilindro su una distanza di 1253 metri, dalla stazione telegrafica di Oranienburger Straße all’ufficio postale “Unter den Linden”.

Considerando l’intera colonna d’aria come il sistema, il volume finale della colonna è:

V = π × (0.0325 m)² × 1253 m ≈ 4.16 m³

Applicando la stessa equazione per il lavoro a pressione costante:

W = −pΔV = −0.5 × 10⁵ × (4.16 − 0) = −208 kJ

Questo è il lavoro compiuto dal compressore per spingere il cilindro lungo il tubo. Se il cilindro viaggia a 20 m/s, coprirà la distanza in 63 secondi. La potenza meccanica necessaria sarà quindi:

P = 208 kJ / 63 s ≈ 3.3 kW

Questo dimostra che un compressore con una potenza di circa 4.4 cavalli vapore è sufficiente a sostenere il funzionamento continuo del

Come il vapore e la pressione modellano i sistemi termodinamici

L'innovazione della valvola di sicurezza non si limitò al digerente di Papin, ma contribuì a un cambiamento fondamentale nel controllo del vapore. La possibilità di regolare la pressione del vapore consentì di applicarlo in altre macchine e dispositivi, tra cui le locomotive, segnando l'inizio di una nuova era per l'ingegneria termica e per l'industria moderna.

Il sistema termodinamico e la sua descrizione

Per comprendere appieno il funzionamento di un sistema come quello descritto, è utile introdurre alcuni concetti chiave della termodinamica, utilizzando come esempio il processo di ebollizione dell'acqua in un comune pentolino. Quando l'acqua raggiunge il punto di ebollizione, inizia a formarsi vapore, un processo che implica una variazione della composizione chimica del sistema: inizialmente, l'acqua è in contatto con l'aria, ma man mano che il vapore si accumula, l'aria è sostituita dal vapore stesso. Questo cambiamento implica che il sistema non rimane omogeneo, complicando la sua descrizione termodinamica.

Condizioni di processo e variabili di stato

Per descrivere un sistema termodinamico, come nel caso dell'acqua che bolle in un pentolino, bisogna definire le condizioni in cui avviene il processo. Un aspetto importante è determinare se il volume del recipiente è costante o se cambia durante il processo. Se il volume è costante, come nel caso di un digerente chiuso, la pressione aumenta man mano che il vapore si forma. Se, al contrario, la pressione è costante, come in un recipiente con un coperchio mobile, il volume del sistema aumenta con la produzione di vapore, mantenendo la pressione invariata grazie al coperchio che si alza.

In entrambi i casi, il sistema evolverà secondo leggi fisiche ben definite, ma con caratteristiche diverse a seconda delle condizioni imposte. La differenza tra questi due tipi di processo – a volume costante e a pressione costante – sta nel modo in cui vengono trattate le variabili termodinamiche, come la pressione, il volume e la temperatura.

Le variabili termodinamiche

Per capire il comportamento di un sistema termodinamico, è necessario conoscere le variabili che lo descrivono. La termodinamica si differenzia dalla meccanica classica in quanto non si concentra sullo studio delle singole particelle, ma piuttosto sulle proprietà macroscopiche del sistema. In un sistema come quello descritto, non si tiene traccia della posizione e della velocità di ogni singola molecola, ma si utilizzano solo alcune variabili globali per caratterizzare lo stato del sistema.

Le principali variabili di stato in termodinamica includono:

• Temperatura: La temperatura è una delle variabili più familiari e si misura in gradi Celsius o Kelvin. È essenziale nelle equazioni termodinamiche, poiché determina l'energia cinetica media delle particelle di un sistema.

• Pressione: La pressione è un'altra variabile chiave, che indica la forza esercitata dalle particelle su una superficie. Viene comunemente misurata in pascal (Pa) o bar. La pressione è fondamentale per comprendere come si comportano i gas e il vapore in un sistema chiuso.

• Entalpia e Entropia: Queste due grandezze fisiche sono altrettanto cruciali per descrivere i processi termodinamici. L'entalpia è una misura dell'energia totale del sistema, mentre l'entropia quantifica il disordine o la distribuzione dell'energia in un sistema. Questi concetti sono essenziali per analizzare i cicli termodinamici, come quelli che si verificano nelle macchine a vapore.

Il valore di un modello semplificato

L'approccio descritto, che riduce la complessità di un sistema reale a un modello più semplice, non solo facilita l'analisi ma rende la termodinamica una disciplina estremamente potente. Ad esempio, se si considerano solo acqua e vapore come componenti di un sistema, si può applicare la legge dei gas ideali o altri modelli per calcolare variabili come la pressione e la temperatura in funzione delle condizioni esterne. Anche se questi modelli non riflettono esattamente la realtà, sono comunque utili per fornire una comprensione generale del comportamento di sistemi complessi.

Inoltre, è importante comprendere che le leggi della termodinamica non solo descrivono il comportamento del vapore, ma hanno applicazioni pratiche che vanno ben oltre la cucina. La comprensione della termodinamica è alla base di numerosi campi, dall'ingegneria meccanica alla chimica, e permette lo sviluppo di tecnologie avanzate, come i motori a vapore e i sistemi di raffreddamento.

Perché la Seconda Legge della Termodinamica Impedisce la Creazione di Macchine Termiche Perfette?

Per capire appieno la seconda legge della termodinamica, è utile considerare il lavoro che ha portato alla sua formulazione. I primi pionieri della termodinamica, come Sadi Carnot, William Thomson (Lord Kelvin) e Rudolf Clausius, svilupparono le loro teorie principalmente per migliorare l'efficienza dei motori a vapore, la cui potenza dipendeva dall’abilità di trasformare il calore in lavoro. Il diagramma energetico di una macchina termica, come il motore di Carnot, è una rappresentazione fondamentale per comprendere la dissociazione di energia in calore e lavoro.

Un motore termico, come quello di Carnot, riceve calore da una sorgente calda (QH) e lo trasforma in lavoro, ma una parte di questo calore viene inevitabilmente dissipato nella sorgente fredda (QL). L'idea di un motore perfetto, che possa utilizzare tutto il calore per produrre lavoro, è un concetto desiderato ma impossibile, secondo le leggi fondamentali della termodinamica. L'efficienza ideale sarebbe quella in cui nessuna energia è sprecata, ma questo non è realizzabile. Un motore che non disperda calore nella sorgente fredda non potrebbe mai funzionare. Questo è ciò che la seconda legge ci insegna.

La formulazione Kelvin-Planck della seconda legge esprime l'impossibilità di costruire una macchina che operi su un ciclo e faccia nulla di più che sollevare un peso e raffreddare un serbatoio di calore. In altre parole, non esiste un dispositivo che possa compiere lavoro senza che vi sia una qualche forma di perdita di energia. In un ciclo termodinamico, la macchina ritorna al suo stato iniziale, ma durante il processo non è possibile evitare la generazione di entropia. La creazione di una macchina che "annulla" questa entropia è impensabile e si scontra con i principi stessi della termodinamica.

Similmente, la formulazione di Clausius della seconda legge, che afferma che "il calore non può passare spontaneamente da un corpo più freddo a uno più caldo", ci impedisce di progettare dispositivi che trasferiscano calore senza un input esterno. Una macchina che trasferisse calore da un corpo freddo a uno caldo senza alcuna fonte esterna di lavoro sarebbe altrettanto impossibile. Tuttavia, i frigoriferi e le pompe di calore, che compiono esattamente questa operazione, necessitano di un lavoro esterno per funzionare.

La difficoltà a progettare dispositivi che violano la seconda legge diventa evidente se consideriamo una macchina termica ideale che esegua un ciclo termodinamico perfetto, in cui tutta l'energia ricevuta viene trasformata in lavoro. Una tale macchina non sarebbe in grado di esistere. La realtà dei motori termici reali, non reversibili, mostra sempre un’efficienza inferiore rispetto a quella di un motore Carnot, che rappresenta il limite teorico dell'efficienza. Questa è la base della formulazione di Carnot, che stabilisce che tutte le macchine reversibili che operano tra due temperature (TH e TL) hanno la stessa efficienza, che può essere espressa come:

Anche se ci si sforza di costruire un motore che possa lavorare a una temperatura più bassa, non si riuscirà mai a raggiungere il 100% di efficienza. L'idea di creare una macchina perfetta, che converte tutta l'energia termica in lavoro, è irrealizzabile a causa dell'impossibilità di ridurre l'entropia a zero. Ogni macchina reale deve affrontare una certa "inefficienza", che si manifesta come dissipazione di energia.

Un altro concetto da tenere a mente riguarda la possibilità di “accoppiare” macchine termiche ideali, come i motori Carnot. In teoria, sarebbe possibile combinare il lavoro di un motore Carnot con quello di una pompa di calore per generare una macchina che potrebbe operare senza bisogno di una sorgente calda. Tuttavia, questo porterebbe a una violazione della seconda legge della termodinamica, creando una macchina che potrebbe sottrarre calore da un serbatoio freddo e trasformarlo in lavoro, un’altra situazione che sarebbe impossibile nella pratica.

È fondamentale capire che tutte queste formulazioni – Kelvin-Planck, Clausius e Carnot – non sono solo teorie astratte ma descrivono limitazioni reali nei processi di conversione energetica. Esse ci ricordano che, mentre l'efficienza dei motori e dei dispositivi termici può essere migliorata, non potrà mai essere perfetta, a causa delle leggi che governano la termodinamica. La seconda legge ci mostra che non possiamo creare macchine che funzionano senza perdite, ed è questo che rende la termodinamica una disciplina di estrema importanza nella scienza e nella tecnologia.

Come la Conduzione Termica Influenza la Cottura dell'Uovo e degli Altri Cibi

Per comprendere come la temperatura si diffonde all’interno di un uovo, Berger e Schwarz hanno usato un sensore di temperatura inserito attraverso un piccolo foro nel guscio dell’uovo. I dati raccolti hanno mostrato che, dopo 382 secondi di cottura, la temperatura al centro dell'uovo raggiunge i 63°C, e la temperatura di denaturazione del tuorlo, 68°C, viene raggiunta dopo 430 secondi. La curva verde nel grafico mostra l'andamento sperimentale della temperatura, mentre la curva blu rappresenta la previsione teorica basata su un modello sferico. Quest'ultimo, tuttavia, non tiene conto di alcune variabili, come la forma non perfettamente sferica dell'uovo e la possibile convezione interna causata dalla consistenza gelatinosa dell’interno dell’uovo.

Un altro esempio che dimostra l'importanza della conduzione termica riguarda la cottura di un filetto di manzo. Se si considera un filetto di 1 kg con una temperatura iniziale di 20°C e una superficie che raggiunge i 160°C in forno, il tempo necessario per ottenere una cottura “media” (cioè con una temperatura interna di 57°C) è di circa 40,7 minuti, secondo il modello di conduzione uniforme. Tuttavia, questa approssimazione non è completamente valida, poiché il numero di Biot (1,6) non consente di assumere che il calore si distribuisca uniformemente. In effetti, un'analisi più precisa deve tener conto delle condizioni al contorno, che non sono né semplici né facili da risolvere matematicamente. In ogni caso, i cuochi esperti sanno che la carne deve riposare per qualche minuto dopo la cottura, in modo che il calore si distribuisca in modo più uniforme all’interno del pezzo.

L'analisi teorica sulla conduzione termica, come mostrato negli esperimenti, ci permette di capire che il riscaldamento non avviene in modo istantaneo e uniforme, ma piuttosto in strati, iniziando dalla superficie e proseguendo verso l'interno. Questo comportamento è ben visibile nelle immagini termiche che mostrano come la temperatura si distribuisca in una sezione trasversale della carne durante la cottura. Con il passare del tempo, la differenza di temperatura tra la superficie e il centro del cibo tende a diminuire, ma solo dopo un certo periodo.

È importante capire che la temperatura interna di un alimento durante la cottura non dipende solo dalla temperatura esterna, ma anche dalla struttura e dalle proprietà fisiche del cibo stesso. I modelli teorici ci forniscono delle stime utili, ma la realtà spesso introduce variabili difficili da prevedere, come la forma non perfettamente sferica di un uovo o la composizione complessa di una carne. È quindi essenziale tener conto di queste differenze per ottenere un risultato ottimale. Inoltre, in cucina come in fisica, l’esperienza gioca un ruolo fondamentale nel determinare il tempo di cottura ideale per ogni alimento.