Come si costruisce il sistema globale di rigidezza di una struttura?

La trasformazione congruente rappresenta un passaggio fondamentale nel processo di analisi agli elementi finiti, consentendo di convertire le matrici di rigidezza e i vettori di carico dal sistema di riferimento locale a quello globale. Questa trasformazione, definita attraverso le equazioni [k̂] = [Γ]^T [k][Γ] e {f̂} = [Γ]^T {f}, garantisce la simmetria della matrice trasformata [k̂], a condizione che la matrice originaria [k] sia simmetrica. Elementi diversi – come telai piani, telai spaziali o reticoli – costituiscono semplici casi particolari di questa trasformazione, adattata secondo i gradi di libertà pertinenti a ciascun tipo di elemento.

Nel caso, ad esempio, di un elemento di telaio piano posto nel piano X–Y, vi sono tre gradi di libertà per nodo: due traslazioni e una rotazione. La matrice di trasformazione [Γ] si semplifica assumendo una forma costituita da blocchi identici [γ], dove [γ] è una matrice di rotazione derivata dall’angolo α fra l’asse locale x e l’asse globale X. I coseni direttori λ e μ, definiti come λx = μy = cosα e μx = –λy = sinα, compongono la struttura di [γ].

Una volta trasformati gli elementi nel sistema globale, il passo successivo consiste nella costruzione delle equazioni globali di rigidezza della struttura. Questo processo si fonda su due condizioni fondamentali: la compatibilità e l’equilibrio. La compatibilità impone che tutti gli elementi connessi a uno stesso nodo condividano gli stessi spostamenti per ciascun grado di libertà. L’equilibrio, invece, richiede che le forze nodali esercitate dagli elementi si bilancino con i carichi esterni applicati.

Dopo l’eliminazione dei gradi di libertà vincolati, si ottiene una matrice di rigidezza ridotta [K] di dimensioni N×N e un vettore di carico {P} di dimensioni N×1, dove N rappresenta il numero di gradi di libertà attivi. A ciascun tipo di elemento corrisponde un numero differente di gradi di libertà n (es. n=6 per un telaio piano, n=12 per uno spaziale, n=4 per un reticolo piano). Le matrici e i vettori degli elementi, trasformati nel sistema globale, possono essere concettualmente estesi a N×N e N×1 mediante l’introduzione di zeri nelle posizioni non attive e l’eliminazione dei termini relativi ai gradi di libertà vincolati.

Attraverso un’adeguata gestione delle numerazioni dei gradi di libertà, è possibile sommare algebricamente i contributi di ciascun elemento per costruire la matrice di rigidezza globale:

  [K] = ∑(i=1→E) [k̂(i)]
  {P} = ∑(i=1→E) {f̂(i)}

dove E è il numero totale degli elementi, [k̂(i)] è la matrice di rigidezza trasformata e ridotta dell’elemento i, e {f̂(i)} è il relativo vettore di carico. In ambito computazionale, l’allocazione iniziale di tutte le voci di [K] e {P} avviene con valori nulli, per poi essere aggiornate iterativamente.

Nel caso generale, quando i carichi esterni sono applicati sia sugli elementi che direttamente sui nodi, il vettore globale dei carichi diventa:

  {P} = ∑(i=1→E) {f̂(i)} + {P}n

dove {P}n rappresenta i carichi nodali concentrati. È importante notare che le formule precedenti restano valide anche nel caso in cui l’assemblaggio comprenda elementi di tipo diverso, con numero di gradi di libertà n variabile da elemento a elemento.

In pratica, non è necessario espandere le matri

Quali sono i criteri essenziali per la convergenza nel metodo degli elementi finiti?

L’accuratezza dell’analisi numerica aumenta con il raffinamento della mesh, cioè con l’incremento del numero di gradi di libertà nodali. Affinché la soluzione numerica converga verso quella esatta, devono essere soddisfatti requisiti precisi che si raggruppano in tre ambiti: compatibilità, completezza e stabilità degli elementi finiti. Gli elementi conformi rispettano le condizioni di continuità degli spostamenti all’interno e tra gli elementi, mentre gli elementi non conformi, pur violando la compatibilità interelemento, possono ancora essere utilizzati se, al crescere della raffinazione della mesh, tendono allo stato di deformazione costante. Tuttavia, la convergenza di modelli con elementi non conformi può non essere monotona.

La stabilità della soluzione implica che il sistema di equazioni strutturali abbia una matrice di rigidezza non singolare e che la struttura sia sufficientemente vincolata per evitare movimenti rigidi liberi. Una struttura stabile garantisce soluzioni uniche e limitate, eliminando possibilità di divergenze o instabilità numeriche. La stabilità rappresenta quindi una condizione sufficiente per la convergenza, mentre compatibilità e completezza sono condizioni necessarie.

Il test patch, introdotto da Irons, verifica tutti questi requisiti in modo pratico. Si costruisce una “patch” di elementi attorno a un nodo interno, caricando solo i nodi di confine per simulare uno stato di tensione costante, mentre i nodi interni rimangono liberi. La soluzione delle equazioni di rigidezza fornisce gli spostamenti nodali da cui si calcolano le tensioni negli elementi. Se le tensioni calcolate coincidono entro una tolleranza con i valori teorici, il test patch è superato. Questo metodo rivela immediatamente eventuali singolarità della matrice di rigidezza e controlla la stabilità degli elementi nella patch. Un elemento che supera il test patch soddisfa tutti i criteri di convergenza e garantisce che le soluzioni approssimate tendano a quella esatta al diminuire della dimensione degli elementi.

È fondamentale comprendere che la validità delle soluzioni ottenute tramite il metodo degli elementi finiti dipende non solo dal rispetto formale delle condizioni di compatibilità, completezza e stabilità, ma anche dall’accuratezza con cui il modello discretizza la realtà fisica della struttura. La raffinazione della mesh deve essere accompagnata da una consapevole verifica della qualità degli elementi utilizzati, affinché non si introducano errori di tipo numerico o fisico. Inoltre, le condizioni di vincolo devono essere scelte con attenzione per evitare rigidità artificiale o meccanismi di instabilità nascosti. La comprensione di questi aspetti consente una modellazione più robusta e affidabile, essenziale nelle applicazioni ingegneristiche critiche.

Come Analizzare il Comportamento di un Elemento Strutturale sotto Rotazione RigidBody

Per garantire che l'elemento sia in equilibrio nel punto $C1$, è possibile scrivere:

Di conseguenza, le forze nodali iniziali ${1f}$ possono essere scritte come:

Per semplicità, supponiamo che l'elemento sia soggetto a una rotazione rigida $\theta_r$, che si assume piccola per facilitare i calcoli. Pertanto, il vettore di spostamento rigido ${u}_r$ può essere scritto come:

Il test di moto del corpo rigido consiste nel verificare se tutte le voci dell'equazione incrementale dell'elemento (3.30) possano cooperare per rappresentare il comportamento di un corpo rigido. Quando le forze sono conservative, il vettore di forze ${1f}$ dopo la rotazione rigida è mostrato in figura 3.6(b). È semplice dimostrare che la matrice di rigidità elastica $[ke]$ genera forze nulle sotto rotazione rigida:

Questo risultato è atteso, poiché è noto che la matrice di rigidità elastica $[ke]$, come descritto nell'equazione 98, è esatta per l'elemento a trave basato sull'ipotesi di Bernoulli–Euler. In seguito, possiamo osservare che una forza di corpo rigido verrà generata dalla matrice di rigidità geometrica $[kg]$ sotto la rotazione rigida:

Queste forze generate dalla matrice di rigidità geometrica $[kg]$ non sono né nulle né in equilibrio, come evidenziato dalla figura 3.6(c). La fase successiva del test consiste nel sostituire tutti i termini calcolati nell'equazione incrementale dell'elemento per verificare se le forze ${2f}$ previste dall'equazione per l'elemento finito a $C2$ dopo la rotazione rigida $\theta_r$ possano davvero rispettare la regola del corpo rigido. In altre parole, calcoliamo le forze risultanti ${2f}$ secondo l'equazione (3.30), cioè sostituendo le equazioni (3.43)-(3.46) nell'equazione (3.30):

Come mostrato nella figura 3.6(d), possiamo osservare che le forze iniziali ${1f}$ sull'elemento finito sono state ruotate di un angolo pari alla rotazione rigida $\theta_r$, mentre le loro magnitudini rimangono invariate. Questo conferma che l'elemento derivato, in particolare la matrice di rigidità geometrica $[kg]$, è in grado di gestire la rotazione rigida del corpo.

Un'altra osservazione derivante dal test del moto del corpo rigido è che le forze ${2f}$ agendo sull'elemento trave dopo la rotazione rigida, se riferite agli assi $C1$, possono essere correlate alle forze iniziali ${1f}$ con la seguente relazione:

dove il matrice $[T]$ che tiene conto della trasformazione dagli assi $C2$ agli assi $C1$ è data da:

Per piccole rotazioni rigide $\theta_r$, la matrice di rotazione $[R]$ è: