Come si Calcola la Matrice di Scattering in un Tunnel a Singolo Barriera

Nel contesto del tunneling elettronico, uno degli strumenti più utili per analizzare le proprietà del trasporto di carica attraverso barriere è la matrice di scattering. Questa matrice descrive il comportamento delle onde che si riflettono e trasmettono attraverso una barriera, permettendo di calcolare probabilità di riflessione e trasmissione in un dispositivo a due o più terminali. Il calcolo della matrice di scattering diventa particolarmente importante nei dispositivi multi-terminale, dove le tecniche più comuni, come la matrice di trasferimento, non sono sufficienti per una descrizione completa.

La Matrice di Scattering per il Tunnel a Singola Barriera

Consideriamo un caso tipico di tunneling a singola barriera, in cui un'onda elettronica incide su una barriera di potenziale e viene riflessa o trasmessa. La matrice di scattering, S, può essere scritta in termini dei coefficienti di onde trasmesse e riflesse. Supponiamo che al terminale j, il coefficiente dell'onda iniettata sia $b_j = 1$, mentre tutti gli altri coefficienti di iniezione siano pari a zero. Le onde trasmesse in altri terminali e l'onda riflessa nel terminale j possono essere calcolate come segue:

$$a_i = S_{ij} \quad (i = 1, 2, \dots, M, i \neq j) \quad \text{e} \quad a_j = S_{jj}.$$

Nel caso di un tunneling a barriera singola, supponiamo di definire l'onda incidente come $b_2 e^{ -Kz}$ che si propaga verso destra e $a_2 e^{Kz}$ come l'onda che si propaga verso sinistra. La matrice di scattering alla frontiera (z = -a) si scrive come:

$$b_1 = a (S_1 b_1).$$

In questo contesto, la matrice di scattering S1 può essere calcolata utilizzando la formula:

$$S_1 = \begin{pmatrix}$$

1 & -ir \\ ir & 1 \end{pmatrix}.

Nel caso della regione del secondo potenziale (barriera), la matrice di scattering assume la forma:

e^{ -2Ka} & 0 \\ 0 & e^{ -2Ka} \end{pmatrix}.

Tuttavia, la matrice di scattering totale non è semplicemente il prodotto di tre matrici, ma piuttosto una moltiplicazione speciale di queste matrici, come introdotto da Ando et al.:

La Probabilità di Trasmissione e Riflessione

In un sistema a due terminali, la probabilità di trasmissione e riflessione sono definite rispettivamente come il quadrato dei coefficienti delle onde trasmesse e riflesse. La probabilità di trasmissione T e riflessione R sono:

$$T = |a_3|^2 v_2 \quad \text{e} \quad R = |b_1|^2 v_1,$$

Nel caso di una barriera non simmetrica, ad esempio, quando l'energia del fondo di potenziale nella regione di uscita è inferiore a quella delle regioni di ingresso e barriera, si possono calcolare le matrici di trasferimento $M_1$ e $M_2$ come segue:

dove $r'$ è il coefficiente di riflessione e $k'$ è il nuovo vettore d'onda nella regione di uscita.

Approccio Numerico e Problemi Complessi

$$-\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2 \phi(z)}{dz^2} + V(z) \phi(z) = E \phi(z).$$

Considerazioni Importanti

È essenziale che il lettore comprenda che, sebbene le matrici di scattering siano molto utili per risolvere i problemi di trasporto nei dispositivi multi-terminale, ci sono delle limitazioni nell'uso di metodi analitici. In alcuni casi, come per strutture complesse o quando la lunghezza della regione barriera è elevata, è più opportuno ricorrere a simulazioni numeriche. La comprensione della simmetria della matrice di scattering è cruciale, poiché il principio di bilancio dettagliato implica che la probabilità di trasmissione per un percorso positivo sia uguale a quella del percorso inverso. Questo fenomeno, che potrebbe sembrare ovvio, ha profonde implicazioni sul comportamento del sistema e sulla sua capacità di mantenere l'energia e il momento conservati in modo bilanciato.

Qual è l'effetto Coulombiano nel trasporto elettronico nei punti quantistici?

Il comportamento dei trasporti elettronici in un punto quantistico dipende principalmente dalle interazioni tra gli elettroni e dalle caratteristiche strutturali del sistema, come le barriere di potenziale formate dai gate. Nella configurazione descritta, un punto quantistico viene creato all'interno di una struttura GaAs/AlGaAs contenente un 2DEG (gas bidimensionale di elettroni), attraverso una serie di voltaggi applicati ai gate. Questi gate controllano la geometria e la dimensione del punto, nonché il numero di elettroni che possono essere localizzati al suo interno.

Per comprendere come queste oscillazioni funzionano, è necessario considerare l'effetto di capacità tra il punto e i vari gate. La capacità totale del punto quantistico può essere determinata attraverso misurazioni della conduttanza mentre si variano i voltaggi sui gate, mantenendo fissi gli altri. Le oscillazioni Coulombiane si osservano come picchi netti nella conduttanza, la cui ampiezza può arrivare fino a $e^2/h$, dove $e$ è la carica elementare e $h$ è la costante di Planck.

Il comportamento del punto quantistico è descritto dall'interazione tra gli elettroni nel punto e i serbatoi elettronici collegati tramite barriere. A temperature molto basse (come 0 K), l'energia di base del sistema, che dipende dal numero di elettroni nel punto, è influenzata dalle energie elettrostatiche dovute alla capacità tra il punto e l'ambiente. La presenza di una barriera Coulombiana, che impedisce il passaggio di un elettrone nel punto, si verifica quando il potenziale chimico del punto diventa superiore a quello dei serbatoi elettronici, creando una sorta di "blocco" per il trasporto elettronico.

Quando la tensione applicata ai gate è sufficiente a far scorrere un elettrone attraverso il punto, si osserva un "tunneling" di elettroni in modo discreto, noto come tunneling di carica singola. Questo processo di trasporto elettronico si manifesta con una caratteristica curva I-V chiamata "scala di Coulomb", dove l'intensità di corrente aumenta a intervalli discreti corrispondenti all'aggiunta di un singolo elettrone al punto.

Nel caso di un punto quantistico a più elettroni, è possibile osservare che la capacità tra il punto e il gate centrale scala con le dimensioni del punto. Questo significa che l'energia necessaria per aggiungere un elettrone aumenta al crescere della dimensione del punto, il che modifica la frequenza delle oscillazioni Coulombiane e il comportamento del trasporto elettronico. La capacità tra il punto e i vari gate gioca un ruolo cruciale nel determinare l'energia di carica e la dinamica del sistema.

In sintesi, il trasporto in punti quantistici è strettamente legato alla presenza di effetti elettrostatici, dove l'interazione tra gli elettroni e i campi applicati dai gate determina la dinamica del trasporto. A basse temperature, il fenomeno del blocco Coulombiano è dominante, e la variazione di corrente nei punti quantistici si svolge in modo discreto, con la corrente che aumenta a intervalli ben definiti quando il sistema è in grado di "aggiungere" un elettrone.