Metodi di Averaging Stocastico per Sistemi Quasi-Hamiltoniani Sottoposti a Eccitazioni da Rumore Bianco Gaussiano

Nel capitolo precedente sono stati trattati i metodi di averaging stocastico per i sistemi a singolo grado di libertà (SDOF) non lineari, sotto l'effetto di eccitazioni casuali, con la derivazione e la soluzione dell'equazione FPK (Fokker-Planck-Kolmogorov). A partire da questo capitolo, verranno introdotti i metodi di averaging stocastico per i sistemi a più gradi di libertà (MDOF), in particolare per i sistemi fortemente non lineari sotto varie forme di eccitazione casuale. È ben noto che l'obiettivo principale nel prevedere la risposta di un sistema stocastico sia quello di ottenere la distribuzione di probabilità della risposta nello spazio delle fasi, una soluzione globale. Tuttavia, nel caso di sistemi non lineari a più gradi di libertà, è fondamentale comprendere la relazione globale tra i gradi di libertà del sistema stesso.

Per un sistema stocastico quasi-lineare a più gradi di libertà, il sistema degenerato può essere trattato come lineare e separato tramite trasformazioni lineari. Tuttavia, nei sistemi fortemente non lineari, il sistema degenerato rimane fortemente non lineare. In tale contesto, l'approccio più utile per descrivere le relazioni globali tra i gradi di libertà è la formulazione hamiltoniana. Questo approccio consente di classificare il sistema in cinque categorie principali: non integrabile, integrabile e non risonante, integrabile e risonante, parzialmente integrabile e non risonante, e parzialmente integrabile e risonante. Nel capitolo presente, vengono esaminati i metodi di averaging stocastico per questi cinque casi di sistemi quasi-Hamiltoniani sottoposti a eccitazioni da rumore bianco gaussiano.

Il caso più elementare e comune di un sistema quasi-Hamiltoniano, che è anche il più rappresentativo di molte applicazioni pratiche, può essere modellato da equazioni differenziali stocastiche di Stratonovich, che si trasformano successivamente in equazioni di Itô tramite l'introduzione dei termini di correzione di Wong-Zakai. Queste correzioni giocano un ruolo cruciale, in quanto influenzano sia le forze di ripristino sia quelle di smorzamento nel sistema. Per esempio, si considera il sistema di equazioni stocastiche della forma:

$$\frac{\partial H'}{\partial Q_i} = \dot{P}_i, \quad \sum_{i} \frac{\partial H'}{\partial P_i} = - \sum_{j} \epsilon c_{ij}(Q, P) + \epsilon^{1/2} g_{il}(Q, P) W_{gl}(t)$$

dove $Q_i$ e $P_i$ sono i vettori di spostamenti e momenti generalizzati, mentre $H'(Q, P)$ è la funzione hamiltoniana. In questo contesto, $c_{ij}(Q, P)$ rappresenta i coefficienti di smorzamento, $g_{il}(Q, P)$ gli ammetti di eccitazione, e $W_{gl}(t)$ sono i rumori bianchi gaussiani, che introducono la variabilità stocastica nel sistema.

L'equazione di Itô risultante, che include i termini di correzione di Wong-Zakai, diventa:

$$dQ_i = \frac{\partial H}{\partial P_i} dt, \quad dP_i = -\frac{\partial H}{\partial Q_i} dt - \sum_{j} \epsilon c_{ij}(Q, P) dt + \epsilon^{1/2} g_{il} dB_l(t)$$

dove $B_l(t)$ è un processo di Wiener. Il sistema risultante rappresenta una generalizzazione delle equazioni di Hamilton per sistemi stocastici, ed è pertanto importante riconoscere che, sotto certe condizioni di smorzamento e eccitazione, il sistema può essere trattato come un sistema quasi-Hamiltoniano.

Nel caso di sistemi quasi-non-integrabili, in cui il sistema possiede solo una quantità conservativa (l'energia), è possibile trattare la dinamica tramite una formulazione semplificata che riduce il numero di variabili dinamiche. Applicando il teorema di averaging stocastico di Khasminskii, si giunge a una rappresentazione del sistema in termini di un processo di diffusione Markoviano. Questo approccio consente di ridurre il problema a una sola variabile, $H(t)$, che descrive l'energia del sistema, mentre le altre variabili (come $Q_i(t)$ e $P_i(t)$) restano veloci e subiscono oscillazioni rapide.

L'analisi stocastica di tali sistemi comporta l'uso di equazioni differenziali stocastiche per calcolare i coefficienti di deriva e diffusione attraverso il processo di media temporale. Per ottenere questi coefficienti, si utilizza la formula:

$$m(H) = -\sum_{i,j} \frac{\partial^2 H}{\partial P_i \partial P_j} \epsilon m_{ij} + \pi \sum_{l,s} K_{ls} g_{jl} g_{js}$$

$$\sigma(H) = \epsilon \sqrt{2\pi \sum_{l,s} K_{ls} g_{jl} g_{js}}$$

Poiché tutte le variabili nel lato destro delle equazioni sono processi stocastici, diventa difficile eseguire una media temporale diretta. Tuttavia, per sistemi ergodici, si può sostituire la media temporale con una media spaziale sui sottospazi isoenergetici, che semplifica notevolmente i calcoli.

L'approccio descritto permette di ottenere una comprensione globale delle dinamiche di sistemi non lineari fortemente stocastici, particolarmente utile quando si studiano sistemi con eccitazioni casuali e smorzamento. La trattazione di questi metodi di averaging stocastico consente di predire il comportamento complesso dei sistemi fisici, come quelli utilizzati in ingegneria e in altre applicazioni tecnologiche.

Come l'Influenza dell'Impatto Influisce sulla Risposta Stazionaria dei Sistemi Vibrazionali

L'analisi delle risposte stazionarie di sistemi vibranti con impatti, come nel caso di un sistema a due gradi di libertà, richiede una comprensione profonda delle interazioni tra le masse e le pareti elastiche. In particolare, il comportamento stazionario del sistema, come descritto da Huang et al. (2004), dipende fortemente da parametri come la rigidità delle pareti elastiche (Br e Bl), la distanza tra le pareti (δr e δl), e il rapporto di eccitazione al smorzamento (β).

Per un sistema a due masse m1 e m2, con parametri k1 e k2, l'influenza degli urti tra la massa m2 e le pareti elastiche tende ad aumentare man mano che la rigidità delle pareti elastiche cresce, o quando la distanza tra la massa e le pareti diminuisce. In altre parole, il PDF stazionario della traslazione della massa Q2 si allontana maggiormente dalla distribuzione gaussiana quando si osservano queste condizioni. Al contrario, quando l'impatto sul sistema diventa meno rilevante, la distribuzione tende a comportarsi in modo più simile a una gaussiana, come evidenziato in numerose simulazioni numeriche. Questo fenomeno è stato ampiamente documentato nelle figure da 5.12 a 5.17, che mostrano le risposte PDF stazionarie per differenti valori di δ, B, e β.

L'applicazione del metodo di media stocastica ai sistemi Hamiltoniani quasi-non-integrabili permette di semplificare le equazioni del movimento, come dimostrato nell'applicazione alla risposta stazionaria del sistema. Quando la condizione di non-integrabilità è soddisfatta, la soluzione esatta può non essere disponibile, ma l'approccio di media stocastica offre comunque un metodo valido per studiare le risposte del sistema. Utilizzando l'equazione differenziale stocastica di Itô, è possibile derivare i coefficienti di deriva e diffusione, che sono essenziali per descrivere il comportamento stocastico del sistema. Le equazioni risultanti permettono di calcolare la funzione di densità di probabilità (PDF) della posizione di Q2 e dell'energia totale del sistema, come evidenziato dalle figure 5.18-5.26.

I risultati numerici, ottenuti tramite il metodo di media stocastica e simulazioni Monte Carlo, mostrano che, nei casi in cui la rigidità delle pareti elastiche è grande, l'intensità dell'eccitazione è forte, e la distanza tra la massa e la parete è ridotta, l'effetto dell'impatto diventa dominante. In questi scenari, il metodo di media stocastica fornisce risultati molto accurati. Tuttavia, quando l'impatto è trascurabile, si osservano errori più grandi nel calcolo della PDF stazionaria, come si può vedere nelle simulazioni con valori più piccoli di δ e in scenari con un impatto ridotto.

Inoltre, la transizione tra una risposta fortemente influenzata dagli urti e una risposta più lineare e debole agli urti è un aspetto fondamentale per comprendere il comportamento di questi sistemi complessi. Quando l'influenza dell'impatto diventa trascurabile, le equazioni del movimento possono essere linearizzate, e il sistema si comporta come un sistema lineare governato da equazioni del tipo $m_1 \ddot{X}_1 + c_1 \dot{X}_1 + k_1 X_1 + k_2 (X_1 - X_2) = Wg_1(t)$ e $m_2 \ddot{X}_2 + c_2 \dot{X}_2 + k_2 (X_2 - X_1) = Wg_2(t)$, dove $X_1$ e $X_2$ rappresentano le posizioni delle masse e $Wg_1(t)$, $Wg_2(t)$ sono i forzanti esterni. In questo caso, la risposta stazionaria del sistema è determinata principalmente dai parametri di smorzamento e rigidità, senza l'influenza significativa degli urti.

Quando l'effetto dell'impatto è rilevante, il sistema diventa non-lineare, e le risposte possono deviare significativamente dalle predizioni basate su modelli lineari. In questi casi, la comprensione dettagliata dei parametri di sistema, come la rigidità delle pareti elastiche e la distanza tra le masse e le pareti, è essenziale per prevedere accuratamente il comportamento stazionario.

Infine, è importante notare che il metodo di media stocastica, pur essendo estremamente utile per i sistemi quasi-non-integrabili, ha delle limitazioni quando l'impatto è piccolo o trascurabile. In questi casi, i risultati numerici potrebbero presentare errori più significativi rispetto a metodi più precisi, come le simulazioni Monte Carlo. La combinazione di metodi teorici e numerici, dunque, è fondamentale per ottenere una comprensione completa e precisa del comportamento di tali sistemi.

Come i Metodi di Averaging Stocastico si Applicano ai Sistemi Hamiltoniani Quasi-Non-Integrabili

Quando il sistema Hamiltoniano è quasi-integrabile, l'approccio classico all'analisi della probabilità di distribuzione stazionaria si complica. A seconda che l'energia del sistema $H$ sia inferiore o superiore a una soglia critica $H_c$, il comportamento del sistema può essere trattato in due modi distinti: come un sistema quasi-integrabile per $H < H_c$ e come un sistema quasi-non-integrabile per $H > H_c$. Questa distinzione è cruciale per comprendere come applicare i metodi di averaging stocastico per ottenere distribuzioni di probabilità stazionarie, non normalizzate, delle variabili di stato del sistema.

Nel caso di $H < H_c$, la tecnica di averaging stocastico per i sistemi Hamiltoniani quasi-integrabili consente di determinare una PDF stazionaria $\text{Cinpin}(q, p)$, che rappresenta la distribuzione di probabilità delle variabili generalizzate $q$ e $p$ in questo dominio. Quando invece $H > H_c$, si utilizza il metodo di averaging stocastico per sistemi quasi-non-integrabili, ottenendo una PDF stazionaria differente, $\text{Coutpout}(q, p)$, che descrive il comportamento del sistema in un regime energetico superiore alla soglia critica $H_c$.

Il punto di transizione tra questi due regimi, cioè quando $H(q, p) = H_c$, è particolarmente interessante perché, in generale, le due distribuzioni di probabilità stazionarie non coincidono. Per ridurre questa discrepanza, si selezionano dei punti tipici sull'interfaccia $H(q, p) = H_c$ e si applica il metodo dei minimi quadrati per minimizzare la differenza tra le distribuzioni di probabilità stazionarie. La funzione di errore $E$, che misura la differenza tra le PDF $\text{Cinpin}(q, p)$ e $\text{Coutpout}(q, p)$, viene definita come una somma dei quadrati delle differenze a $s$ punti caratteristici:

$$E = \sum_{i=1}^{s} k_i [\text{Cinpin}(q_i, p_i) - \text{Coutpout}(q_i, p_i)]^2$$

Dove $k_i$ è il coefficiente di ponderazione che rappresenta l'importanza del punto $(q_i, p_i)$. Minimizzando questa funzione rispetto alla variabile $\epsilon$, si ottiene una correzione che riduce il disaccordo tra le due distribuzioni stazionarie.

Per il sistema considerato, la distribuzione combinata di probabilità stazionaria $p(q, p)$ è quindi definita come:

$$p(q, p) =$$

\begin{cases} C_{\text{in}} \text{Cinpin}(q, p), & \text{se} \, H(q, p) \leq H_c \\ C_{\epsilon} \text{Coutpout}(q, p), & \text{se} \, H(q, p) > H_c \end{cases} $$p(q_2) = \int_{ -\infty}^{\infty} p(q_2, p_2) dp_2$$

Quando si introducono parametri di salto di Markov nel sistema, come nel caso di sistemi con un parametro di salto $s(t)$, la difficoltà di modellizzare la dinamica del sistema cresce notevolmente. In questi casi, il parametro di salto è rappresentato da un processo di salto di Markov che prende valori discreti in un insieme finito $S$. La probabilità di transizione $P(j, t + \Delta t | i, t)$ per il processo di salto di Markov è descritta da una matrice di tassi di salto $\lambda_{ij}$, che determina la velocità con cui il sistema passa dallo stato $i$ allo stato $j$.

Il metodo di averaging stocastico per i sistemi Hamiltoniani quasi-non-integrabili, combinato con l'approccio di salto di Markov, fornisce una visione completa della dinamica del sistema, descrivendo come le fluttuazioni causate da salti di stato influenzino la risposta stazionaria del sistema e la sua distribuzione di probabilità.

Come influenzano i processi di salto Markoviano la dinamica di sistemi quasi-Hamiltoniani non integrabili

Nel modello considerato, i parametri come i coefficienti di smorzamento $c_1(s(t))$ e $c_2(s(t))$, così come le ampiezze di eccitazione $f_1(s(t))$ e $f_2(s(t))$, dipendono dal valore del salto $s(t)$ in tempo continuo. La variazione di questi parametri nel tempo ha implicazioni dirette sulla risposta dinamica del sistema, influenzando sia l'evoluzione delle variabili di stato $Q_1$ e $Q_2$ sia quella dei momenti $P_1$ e $P_2$. Questo rende il sistema non solo stocastico ma anche dipendente da uno stato di salto discreto, aumentando la sua complessità.

Il sistema descritto dalla funzione Hamiltoniana totalizzata

può essere trasformato in un sistema di equazioni differenziali stocastiche, dove le variazioni nelle variabili $Q_1, Q_2$ e $P_1, P_2$ sono influenzate dalla variabilità dei parametri di salto. Tali equazioni, che derivano dalla formulazione di Itô, danno origine ad una nuova descrizione del sistema, che include termini stocastici e di dissipazione.

L'equazione per l'energia totale del sistema può essere espressa come

$$dH = \left( -c_1 P_1^2 - c_2 P_2^2 + f_1^2 D_1 + f_2^2 D_2 \right) dt + \sqrt{2D_1} P_1 dB_1(t) + \sqrt{2D_2} P_2 dB_2(t),$$

Un aspetto centrale del trattamento di tali sistemi è l'uso del metodo di media stocastica per ridurre il problema, ottenendo una descrizione più semplice che mantiene le proprietà statistiche principali del sistema. Le equazioni per il drift $m(H, s)$ e la diffusione $\sigma^2(H, s)$ vengono esplicitate e risolte numericamente, portando a una distribuzione stazionaria della funzione di energia $p(H)$. In particolare, la stazionarietà di questa distribuzione è fondamentale per comprendere la risposta a lungo termine del sistema sotto l'influenza dei salti Markoviani.

Un altro aspetto cruciale della dinamica di questi sistemi riguarda la relazione tra le caratteristiche del sistema in ciascun stato di salto. In particolare, la presenza di un coefficiente di smorzamento maggiore in uno stato di salto $s = 2$ implica una minore energia nel sistema, mentre un eccitamento maggiore in uno stato $s = 1$ aumenta l'energia del sistema. La distribuzione di probabilità di energia stazionaria riflette queste differenze, con un picco di probabilità più alto per i sistemi a bassa energia e un picco più basso per quelli ad alta energia.

Inoltre, l’analisi della PDF stazionaria in diversi scenari di salto consente di comprendere come le probabilità di occupare determinate configurazioni siano influenzate dai parametri di salto. Le simulazioni numeriche confermano che, per determinati parametri, le curve delle PDF di stato si appiattiscono, indicando una maggiore probabilità che il sistema si allontani dal punto di equilibrio. La variazione delle leggi di salto può modificare sostanzialmente queste dinamiche.

Questa analisi fornisce quindi una visione approfondita della dinamica di sistemi quasi-Hamiltoniani non integrabili sotto eccitazioni stocastiche e salti Markoviani. La comprensione delle distribuzioni stazionarie e delle dinamiche energetiche è essenziale per applicazioni in cui è importante prevedere e controllare la risposta di sistemi complessi, come quelli in ingegneria, fisica e biologia, dove la stocasticità gioca un ruolo cruciale.

Come si applicano i metodi di media stocastica nei sistemi quasi-integrabili di Hamiltoniani

I metodi di media stocastica sono un potente strumento per analizzare i sistemi Hamiltoniani in presenza di perturbazioni, in particolare quando il sistema è quasi-integrabile. Questi metodi si utilizzano per ridurre l'analisi di un sistema complesso a una forma più trattabile, catturando gli effetti a lungo termine delle perturbazioni stocastiche attraverso l'uso di medie temporali. La loro applicazione è particolarmente significativa in quei sistemi che presentano piccole perturazioni rispetto alla dinamica dominante, come nel caso dei sistemi quasi-integrabili di Hamiltoniani.

Nel caso specifico dei sistemi quasi-integrabili, la dinamica può essere descritta da un sistema di equazioni differenziali stocastiche, dove le variabili di azione e angolo sono soggette a variazioni lente causate da fluttuazioni stocastiche. In questi sistemi, l'idea di base è che le variabili rapide (le coordinate angolari, per esempio) si evolvano molto rapidamente, mentre le variabili lente (come l'azione) cambiano lentamente nel tempo. L'approccio di media stocastica consente di "mediare" queste fluttuazioni rapide, lasciando che le dinamiche lente siano dominate dalle perturbazioni stocastiche a lungo termine.

L'equazione di Fokker-Planck media per i sistemi stocastici rappresenta un esempio di come queste tecniche possano essere applicate per descrivere l'evoluzione della distribuzione di probabilità di una variabile di azione $p(I,t)$ associata a un sistema Hamiltoniano. Un aspetto centrale nella formulazione di questi modelli è la presenza di termini di ordine superiore in $\epsilon$, che rappresentano piccole correzioni al comportamento medio del sistema. Questi termini devono essere trattati accuratamente, poiché offrono informazioni cruciali sulla fine della dinamica stocastica. La struttura della distribuzione di probabilità in tali sistemi è determinata dalla soluzione dell'equazione di Fokker-Planck media, che tiene conto sia delle fluttuazioni rapide che degli effetti stocastici a lungo termine.

Il modello stocastico di sistema Hamiltoniano integrabile è anche oggetto di trasformazioni specifiche, che includono il passaggio dalla coordinata di azione all'angolo, e l'introduzione di integrali di movimento che semplificano la descrizione del sistema. Per un sistema Hamiltoniano integrabile e non risonante, gli integrali di movimento possono essere usati per definire nuove variabili, consentendo di applicare metodi di media stocastica. Questi metodi trasformano il sistema originale in un sistema più semplice che può essere trattato in modo efficace.

Un altro aspetto importante riguarda la natura delle misure casuali, come le misure di Poisson, che descrivono le interazioni tra il sistema e l'ambiente esterno. Le misure casuali sono fondamentali per modellare il comportamento delle fluttuazioni stocastiche e sono integrate nei modelli di media stocastica per descrivere in modo più preciso le dinamiche del sistema.

In sintesi, l'applicazione dei metodi di media stocastica ai sistemi quasi-integrabili di Hamiltoniani consente di semplificare la descrizione delle dinamiche di un sistema complesso, riducendo il numero di variabili e focalizzandosi sulle variabili lente che sono influenzate da perturbazioni stocastiche. L'analisi della distribuzione di probabilità, attraverso l'equazione di Fokker-Planck media, rappresenta un passo cruciale nell'approfondimento della comprensione dei comportamenti a lungo termine di questi sistemi.

È fondamentale, tuttavia, tenere presente che la media stocastica non elimina la complessità intrinseca dei sistemi, ma piuttosto la ristruttura, consentendo una visione più chiara dei comportamenti dominanti. Inoltre, la gestione dei termini di ordine superiore e la comprensione delle misure di Poisson sono essenziali per una corretta applicazione di questi metodi, in quanto influiscono direttamente sulla qualità e sulla precisione dei risultati ottenuti.