Come determinare l'entropia di un gas ideale: procedure e applicazioni pratiche

Il calcolo dell'entropia di un gas ideale è un argomento cruciale nella termodinamica, con applicazioni che spaziano dalla progettazione di motori termici alla comprensione delle proprietà fondamentali dei fluidi. L’entropia, che misura la qualità dell'energia all'interno di un sistema, è una funzione di stato che dipende dalle condizioni di temperatura e volume del gas. Per determinare la variazione di entropia tra due stati A e B di un gas ideale, si adotta un approccio che prevede due passaggi fondamentali, illustrato nel testo.

Nel secondo passaggio, si considera il comportamento specifico dell'entropia. A seguito dell’integrazione e delle opportune trasformazioni logaritmiche, la formula finale per la differenza di entropia tra due stati di un gas ideale assume la forma:

Nel contesto di applicazioni pratiche, come nel caso del vapore acqueo, è possibile utilizzare questa formula per calcolare la differenza di entropia tra due stati specifici. Prendendo ad esempio un vapore acqueo che passa da uno stato iniziale a $200^\circ C$ e $v_A = 2.17 \, m^3/kg$ a uno stato finale a $500^\circ C$ e $v_B = 0.89 \, m^3/kg$, possiamo applicare l'equazione di entropia per ottenere la differenza:

Il risultato di questo calcolo, pari a $0.35 \, \text{kJ/kg·K}$, è in accordo con i valori tabulati nelle tabelle del vapore, dimostrando la coerenza tra il calcolo teorico e le misurazioni pratiche.

Un aspetto importante che emerge è l'indipendenza del calcolo dell'entropia dal processo specifico seguito, il che significa che la variazione di entropia tra due stati non dipende dalla traiettoria termodinamica, ma solo dalle condizioni iniziali e finali. Questo principio viene dimostrato attraverso un altro esempio, in cui la differenza di entropia viene calcolata lungo un percorso alternativo che prevede una compressione isobara seguita da un raffreddamento isocorico.

A livello teorico, l'entropia non può essere facilmente espressa in termini di altre variabili di stato, a differenza, ad esempio, dell'entalpia. Tuttavia, la capacità di calcolare la variazione di entropia tra due stati di un gas ideale attraverso relazioni come quelle descritte fornisce uno strumento potente per analizzare una vasta gamma di processi termodinamici, sia in fase di progettazione che di analisi dei sistemi energetici.

Quando si considera la termodinamica dei gas ideali, è fondamentale non solo comprendere come calcolare l'entropia, ma anche essere consapevoli che la sua variazione dipende dalle condizioni iniziali e finali del sistema. Anche se la formula dell'entropia sembra semplice, le sue applicazioni richiedono una comprensione profonda dei concetti di temperatura, volume specifico, e la relazione tra questi variabili in vari processi termodinamici.

Perché l'entropia aumenta nei processi irreversibili?

Un punto cruciale nella definizione di entropia è l’ordinamento degli stati secondo la loro accessibilità adiabatica. Se lo stato A non è accessibile adiabaticamente dallo stato B, allora ogni processo immaginabile che porti da B ad A comporterebbe una diminuzione dell'entropia interna prodotta, ovvero ∆iS < 0. Questo è esattamente ciò che la seconda legge proibisce. Da qui nasce il principio di irreversibilità: in tali transizioni, l'entropia non può che aumentare o, al più, restare invariata.

Analizziamo due esempi semplici ma paradigmatici.

Nel caso di una resistenza elettrica attraversata da corrente, tutta l’energia elettrica V·I si trasforma in calore dissipato nell’ambiente. Anche se il sistema si trova in uno stato stazionario, ovvero tutte le sue variabili macroscopiche, compresa l’entropia, restano costanti nel tempo, vi è comunque produzione di entropia. Questo perché l’entropia generata nel volume della resistenza viene immediatamente trasferita all’esterno, al bagno termico che la circonda. La produzione di entropia per unità di tempo è data da:

  diS/dt = VI/T

La produzione è tanto maggiore quanto più bassa è la temperatura del sistema. Questo può apparire paradossale, ma è coerente con la visione termodinamica: il lavoro elettrico dissipato in calore non è più utilizzabile per compiere lavoro meccanico utile, ad esempio in un motore elettrico. L’efficienza termodinamica nella conversione del calore in lavoro dipende dalla temperatura alla quale si trova la sorgente di calore. Maggiore è la temperatura, maggiore è l’efficienza potenziale. Tuttavia, nella pratica, il calore dissipato viene spesso perso o, nel migliore dei casi, impiegato per il riscaldamento.

Nel secondo esempio, due blocchi di rame inizialmente a temperature diverse vengono messi a contatto. Il calore fluisce dal blocco caldo al blocco freddo, innescando un processo irreversibile. Anche qui, la produzione di entropia avviene localmente nella regione in cui avviene il trasferimento di calore, dove esiste un gradiente termico. La produzione di entropia per unità di tempo è proporzionale al quadrato della differenza di temperatura tra i due corpi:

  diS/dt ∝ (T₁ - T₂)² / (T₁·T₂)

Questo valore è sempre positivo finché esiste una differenza di temperatura. Quando i due blocchi raggiungono l'equilibrio termico, la produzione di entropia si annulla. Il sistema ha raggiunto lo stato di entropia massima: qualsiasi variazione ulteriore risulterebbe termodinamicamente impossibile, a meno di un intervento esterno.

Qual è la vera temperatura percepita dal corpo umano al freddo?

Fu durante una spedizione antartica che Charles Siple e Paul Passel, due scienziati americani, si trovarono a studiare il modo in cui il freddo viene percepito dal corpo umano in condizioni di vento. L'obiettivo non era una comprensione fisiologica completa – impossibile, date le innumerevoli variabili – ma piuttosto la costruzione di un modello puramente fisico, capace di quantificare la perdita di calore da parte di un corpo caldo esposto all’aria fredda e ventilata.

Il loro esperimento era semplice, ma ingegnoso: una bottiglia di plastica, riempita con 250 grammi d’acqua di neve sciolta, veniva sospesa all’esterno. La temperatura dell’acqua veniva misurata con regolarità, tracciandone l’evoluzione temporale. Poiché l’acqua durante il congelamento resta costantemente a 0 °C, rappresentava un perfetto “corpo caldo” nel modello. La quantità di calore dispersa durante la solidificazione – nota come entalpia di fusione, pari a 334 kJ/kg – permetteva di calcolare il tasso di trasferimento di calore $\dot{Q} = Q/\Delta t$, dove $\Delta t$ è il tempo di congelamento.

Siple e Passel ipotizzarono che il tasso di trasferimento di calore fosse proporzionale alla superficie del contenitore e alla differenza di temperatura tra acqua e aria:

La funzione empirica che trovarono, dopo numerosi tentativi, fu: