Come si Analizzano gli Effetti Termici in Sistemi a Canale con Sezione Rettangolare?

Nel contesto di un canale con una sezione rettangolare ad alto rapporto di aspetto (vedere la figura 3.2 per uno schizzo qualitativo della geometria), consideriamo una matrice di cilindri disposti regolarmente, con gli indici i e j che denotano la posizione di ciascun cilindro (cioè la riga e la colonna) nell'array. Si assume che ogni cilindro in posizione (i, j) dissipi una quantità di energia Q̇ᵢⱼ per unità di tempo a causa del suo funzionamento interno. Per mantenere il sistema a temperatura costante, la potenza totale Q̇ₜₒₜ = ∑ᵢⱼ Q̇ᵢⱼ prodotta da tutti i cilindri deve essere rimossa.

Per semplificare il modello, ipotizziamo che ogni cilindro rilasci la stessa quantità di calore per unità di tempo, ossia Q̇ᵢⱼ = Q̇. Per chiarezza, supponiamo che M = 2n, con l'origine del sistema di riferimento posta nel mezzo delle colonne, in modo che ci siano n colonne a sinistra e n colonne a destra (si considera j = −n ... ,−1, 1, ... ,n). I risultati ottenuti possono essere riorganizzati utilizzando una variabile continua di spaziatura x dalla prima colonna (−n) all'ultima colonna (n). In questo caso, l'equazione di bilancio energetico ρu̇ = −∇ · q + Q̇, che descrive la temperatura T in funzione di x, porta alla seguente forma differenziale:

dT = - \frac{x K_{\text{eff}}^{ -1} Q̇}{2} dx

Integrando questa equazione da 0 a una distanza fissa x′, si ottiene:

T(x′) = T(0) - \frac{Q̇ x′^2}{2 K_{\text{eff}}}

dove T(0) rappresenta la temperatura all'asse centrale (x = 0) e T(x′) è la temperatura alla posizione x′. Se x′ corrisponde all'ultima colonna di cilindri, e assumendo che la temperatura in quel punto sia la temperatura del bagno esterno T₍bath₎, si arriva alla relazione per la temperatura centrale T(0):

T(0) = T_{\text{bath}} + \frac{n^2 Q̇}{2 K_{\text{eff}}}

Questo risultato fornisce la temperatura più alta dell'array T(0) in funzione della temperatura del bagno di elio, della conducibilità termica effettiva Kₑff, del numero di colonne di cilindri da centro a lato, e della potenza totale dissipata per unità di tempo Q̇ da una colonna di cilindri. È fondamentale che T(0) rimanga inferiore alla temperatura critica λ, Tₗ, sopra la quale l'elio perde la sua caratteristica superfluida (vedere Sezione 1.1). Altrimenti, l'elio non sarà in grado di trasportare il calore in modo efficace, con conseguente aumento pericoloso della temperatura dell'array, mettendo a rischio l'integrità del sistema.

Questa espressione può essere scritta anche utilizzando la versione dimensionale di T(x′):

T(x′) = T_{\text{bath}} + \frac{Q̇}{2 K_{\text{eff}}} \left( n^2 - x′^2 \right)

Quando il calore può essere scambiato con l'ambiente anche nelle direzioni x e y, anziché solo nella direzione x come nel caso precedente, si ottiene la seguente espressione per la temperatura:

T(x, y) = T_{\text{bath}} + \frac{(n^2 + m^2) - (x^2 + y^2)}{K_{\text{eff}}} Q̇

In forma dimensionale, fissando C = Q̇ / (T₍bath₎ n m Kₑff), l'equazione diventa:

\varphi(x̄, ȳ) = 1 + \frac{n C}{2} \left( 1 - x̄^2 - ȳ^2 \right)

dove x̄ = x′/n e ȳ = y′/m sono le coordinate dimensionless. Il massimo della temperatura, T₀, si trova al centro del sistema di array, ossia quando x̄ = 0 e ȳ = 0.

Anche in questo caso, la temperatura centrale T(0,0) deve rimanere inferiore alla temperatura critica Tₗ affinché il sistema rimanga stabile. La condizione che T₀ sia mantenuta inferiore a Tₗ restringe la dimensione ammissibile dell'array o la potenza termica dissipata al suo interno.

Un altro aspetto cruciale da considerare riguarda la dipendenza della conduzione termica dalla lunghezza del canale. In canali molto lunghi, le espressioni precedenti, che considerano un profilo parabolico per il flusso di calore (simile al profilo di Poiseuille), sono valide. Tuttavia, nei canali finiti, si deve prendere in considerazione la regione di ingresso in cui il profilo del flusso di calore cambia da un profilo piatto iniziale a uno parabolico sviluppato. In questa regione, la resistenza termica è maggiore e può essere descritta da approssimazioni simili a quelle utilizzate nella dinamica dei fluidi classica. L'uso di un parametro dipendente dalla lunghezza del canale X, con X = ηπST / l, può servire a correggere la conduttività effettiva.

Quando il canale è corto o la potenza Q̇ è elevata, la correzione longitudinale alla conduttività effettiva diventa significativa, riducendo la conduttività termica e cambiando la relazione tra la dissipazione di calore e la lunghezza del canale.

Un altro fenomeno interessante, oltre alla conduzione termica statica, è la propagazione delle onde. In situazioni dinamiche, come quelle esaminate in precedenza per il suono di primo e secondo ordine, le soluzioni per piccole oscillazioni termiche sono cruciali per comprendere meglio il comportamento del sistema sotto perturbazioni. Le soluzioni armoniche per queste oscillazioni, descritte da equazioni lineari, forniscono informazioni essenziali sulle modalità longitudinali, come il suono di primo e secondo ordine.

La Dualità Termodinamica tra Fotoni e Anelli di Stringa Cosmica

L'approccio esposto nella sezione precedente stabilisce una connessione di dualità tra la termodinamica dei fotoni e quella degli anelli di stringa cosmica. La bellezza di questa dualità risiede nel fatto che essa lega caratteristiche microscopiche, come la dipendenza dell'energia $u(l) \sim l$ per gli anelli di stringa cosmica e $u(l) \sim l^{ -1}$ per i fotoni, a caratteristiche macroscopiche corrispondenti, quali $p = -\frac{U}{V}/3$ per gli anelli di stringa cosmica e $p = \frac{U}{V}/3$ per i gas di fotoni, insieme ad altre proprietà analizzate di seguito.

Per esplorare questa dualità termodinamica, riscriviamo le espressioni per l'energia $U(T, V)$ e l'entropia $S(T, V)$ per $\alpha = 1$ (anelli di stringa) e $\alpha = -1$ (fotoni), ottenendo:

S(T, V) = 4 k_B T^3 ã k_B V \quad (\text{fotoni})

S(T, V) = \frac{c_s}{b̃} k_B V \quad (\text{anelli di stringa cosmica})

U(T, V) = B_T ã h c V \quad (\text{fotoni})

U(T, V) = \frac{c_s}{b̃} \mu c_s h c V \quad (\text{anelli di stringa cosmica})

dove $ã$ e $b̃$ sono costanti numeriche, e $\mu_{cs}$ rappresenta la tensione della stringa definita nell'equazione (11.3.1). Le relazioni $S = T^{ -3} V$ (per gli anelli di stringa cosmica) e $S = T^3 V$ (per il gas di fotoni) implicano che in un'espansione adiabatica ( $S$ costante), un gas di fotoni si raffredda come $T \sim V^{ -1/3}$ , mentre la temperatura di un gas di anelli di stringa cosmica aumenterà come $T \sim V^{1/3}$ .

La dualità termodinamica tra fotoni e anelli di stringa cosmica emerge da una più profonda relazione di dualità tra $u(l) \sim l^{ -1}$ dei fotoni e $u(l) \sim l$ degli anelli di stringa. Questo è analogo alla T-dualità nelle teorie quantistiche dei campi o nelle teorie delle stringhe, in cui il comportamento di una teoria a una scala di lunghezza $R$ è equivalente a quello di una teoria duale alla scala $1/R$ . In termini concreti, se consideriamo una delle nove dimensioni spaziali della teoria delle superstringhe e la rendiamo una circonferenza di raggio $R$ , una particella che viaggia attorno alla circonferenza avrà una quantità di moto quantizzata come $n/R$ , con $n$ un intero. Il numero di volte che una stringa si avvolge attorno alla circonferenza (il numero di avvolgimenti $w$ ) descrive il contributo energetico della stringa dovuto a tale avvolgimento, e viene quantizzato nella forma $w R / L^2_{st}$ , con $L_{st}$ una costante chiamata lunghezza della stringa. Pertanto, una teoria con grande $R$ è equivalente a una teoria con piccolo $R$ , scambiando il ruolo della quantità di moto con quello dell'energia di avvolgimento, e viceversa.

Nel contesto attuale, stiamo lavorando in uno spazio tridimensionale, e il comportamento duale che consideriamo si riferisce allo scambio di $h c / l$ con $(c^4 / a^2 G) l$ nell'equazione per l'energia (11.3.1) o, in altri termini, allo scambio tra $l$ e $l^2_t / l$ , dove $l_t^2 = a^2 (G h / c^3) = (a l_P)^2$ . Analogamente, la dualità termica implica una simmetria rispetto a una temperatura caratteristica $T_c$ , tale che il comportamento di un sistema a temperatura $T$ sia analogo al comportamento del sistema duale a temperatura $T^2_c / T$ .

Questa temperatura critica $T_c$ è data da:

k_B T_c = \left( \frac{\lambda}{c̃ ã} \right)^{1/3} \left( \mu c_s h c \right)^{1/2}

Poiché $T$ è legata alla media di $u(l)$ , è logico aspettarsi che una dualità tra $u(l)$ e $1/u(l)$ comporti una corrispondente dualità tra $T$ e $1/T$ .

Le implicazioni cosmologiche di queste proprietà termodinamiche sono rilevanti per comprendere l'espansione dell'universo. Come già accennato nella sezione precedente, la relazione tra $p$ e $U/V$ ha conseguenze fondamentali sull'espansione cosmica. La pressione termodinamica negativa di sistemi con $u(l) \sim l$ ha un'origine entropica. In effetti, se si mantiene costante l'energia totale $U$ , ma aumenta il volume $V$ , la lunghezza totale dei loop di stringa cosmica deve rimanere costante, ma la lunghezza media dei loop di stringa cosmica dovrebbe aumentare. Questo comporta una diminuzione del numero di loop di stringa cosmica, con conseguente diminuzione dell'entropia e, quindi, una pressione negativa.

Una pressione termodinamica negativa potrebbe avere conseguenze rilevanti in un contesto cosmologico, poiché, secondo la relatività generale di Einstein, la sorgente gravitazionale è data da $(U/V) + 3p$ , in contrasto con la gravità newtoniana, dove la massa (o, equivalentemente, l'energia $u = mc^2$ ) è l'unica sorgente di gravità. Se $p = -\frac{1}{3} (U/V)$ , non ci sarà interazione gravitazionale su scala cosmica, mentre se $p < -\frac{1}{3} (U/V)$ , ci sarà repulsione anziché attrazione.

Nel caso in cui $p = -\frac{1}{3} (U/V)$ , l'universo si espanderà asintoticamente a un tasso costante, mentre se $p < -\frac{1}{3} (U/V)$ , l'espansione avverrà in modo accelerato. Questo è di particolare interesse per l'interpretazione fisica della cosiddetta energia oscura, che si pensa possa produrre un'accelerazione dell'espansione cosmica, in contrasto con l'espansione che rallenterebbe in base alla gravità classica, che prevede solo attrazione.

L'idea che il vuoto quantistico cosmico abbia caratteristiche analoghe a un superfluido con vortici potrebbe essere utile per modellizzare l'espansione cosmica. Se $\alpha$ è maggiore di 1 (in valore assoluto), l'espansione cosmica accelererebbe, con un tasso sempre crescente, invece di tendere a un tasso costante di espansione, come avviene con $\alpha = 1$ .

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