Nella comprensione delle forze elettriche che agiscono tra corpi carichi, un fenomeno sorprendente emerge: l’attrazione tra due oggetti che possiedono lo stesso stato elettrico. Contrariamente a quanto si potrebbe intuire, corpi con la stessa carica elettrica (positiva o negativa) possono sperimentare una forza di attrazione, sebbene la teoria classica suggerisca una repulsione. Questo paradosso è stato analizzato e spiegato in modo approfondito da due figure chiave della storia dell'elettricità: Johann Euler e Franz Aepinus.

Nel 1759, Euler affrontò la questione da una prospettiva che non implicava l’azione a distanza. Per lui, il fenomeno era legato al comportamento dell'etere che permeava lo spazio tra i corpi. Secondo la sua visione, un corpo con maggiore elettrizzazione avrebbe "trasferito" l'etere su un corpo meno carico, portando a una variazione nella pressione che favoriva l’attrazione. Questa spiegazione, seppur interessante, si applicava solo ai corpi carichi positivamente, senza affrontare completamente il caso delle cariche negative o la transizione tra attrazione e repulsione.

Aepinus, d’altro canto, espanse notevolmente la comprensione del fenomeno, riuscendo a descrivere e a spiegare matematicamente la possibilità di attrazione anche quando entrambi i corpi sono nella stessa condizione elettrica. Aepinus utilizzò un esperimento cruciale per dimostrare questa teoria: sospese una piccola palla su un filo di seta, creando un pendolo, sotto il quale collocò un cilindro metallico. Il pendolo veniva caricato con una bacchetta di vetro e successivamente avvicinato al cilindro metallico che, a sua volta, acquisiva lo stesso stato elettrico. Inizialmente, il pendolo veniva respinto dal cilindro, ma a una distanza critica, la repulsione si trasformava improvvisamente in attrazione. Questo risultato, che poteva sembrare controintuitivo, veniva confermato sperimentalmente anche in situazioni in cui il pendolo era debolmente caricato ma il cilindro fortemente.

Aepinus non solo fu in grado di spiegare il fenomeno matematicamente, ma di identificare chiaramente due scenari in cui questa attrazione poteva avvenire: quando i corpi erano vicini e quando avevano livelli di elettrizzazione significativamente diversi. Inoltre, il suo approccio matematico permise di determinare con precisione i punti in cui la forza tra i corpi si annullava, un aspetto che la teoria di Euler non trattava affatto. La differenza principale tra i due scienziati risiedeva nel modo in cui trattavano il fenomeno: mentre Euler offriva una spiegazione meccanistica, più superficiale, Aepinus utilizzava una matematizzazione approfondita che gli permetteva di offrire una visione molto più completa e dettagliata.

L'approccio di Aepinus era in grado di spiegare fenomeni che risultavano difficili da comprendere se non si consideravano correttamente le leggi della fisica matematica, come nel caso della polarizzazione elettrica. La polarizzazione gioca un ruolo cruciale nelle interazioni tra corpi carichi, e Aepinus, attraverso le sue equazioni, fu capace di integrare questo concetto per spiegare non solo l’attrazione tra corpi con la stessa carica, ma anche le variazioni nella forza a seconda della distanza e del grado di elettrizzazione. In pratica, l'esperimento e la matematica di Aepinus hanno messo in evidenza che le forze di attrazione o repulsione tra corpi carichi dipendono dalla distanza reciproca e dall'intensità della loro elettrizzazione.

Nel corso dei suoi studi, Aepinus si trovò anche a fronteggiare situazioni in cui i risultati matematici sembravano contraddire le osservazioni empiriche. Tuttavia, con una certa audacia, Aepinus scelse di fidarsi delle sue equazioni, rivelando che ciò che mancava nelle osservazioni era una comprensione completa dei fenomeni di polarizzazione elettrica. Questo approccio lo condusse a una spiegazione più robusta, che integrava sia la teoria matematica che i dati sperimentali, migliorando in modo significativo la comprensione delle forze elettriche.

In contrasto, la teoria di Euler, pur essendo interessante, non offriva la stessa capacità esplicativa. Le sue limitazioni derivavano in parte dalla mancanza di una matematizzazione più avanzata, e in parte dalla natura meccanica della sua teoria, che non riusciva a cogliere la complessità delle interazioni tra corpi carichi. La mancanza di trattazione delle condizioni sotto le quali la forza passa da attrazione a repulsione evidenziò i limiti del suo approccio. Sebbene Euler fosse stato un precursore nella comprensione dell'etere, le sue spiegazioni risultavano incomplete rispetto a quelle di Aepinus.

Infine, è essenziale comprendere come l’uso della matematica abbia reso possibile una descrizione più precisa e predittiva dei fenomeni elettrici. Le teorie di Aepinus, infatti, non solo spiegano il fenomeno dell'attrazione tra corpi con lo stesso stato elettrico, ma forniscono anche una guida metodologica per interpretare situazioni complesse, in cui la distanza tra i corpi e il livello di elettrizzazione giocano un ruolo fondamentale. La sua capacità di integrare la teoria con l’esperimento è ciò che rende la sua visione della fisica elettrica particolarmente potente.

Come l'Analisi Matematica di Coulomb Rivela la Legge delle Forze Elettriche

L'esperimento che abbiamo visto nelle sezioni precedenti supporta la legge delle funzioni secondo cui le forze elettriche variano con l'inverso del quadrato della distanza—legge oggi nota come la legge di Coulomb. Tuttavia, questi risultati non sono “grezzi”, ma sono intrisi di assunzioni e vincoli teorici propri di questi esperimenti—soprattutto l'interpretazione newtoniana che Coulomb dava ai suoi risultati. Coulomb riassunse le sue osservazioni sulle forze attrattive e repulsive, chiarendo la sua adesione alla teoria dei due fluidi elettrici, contrapposta alla teoria di un unico fluido elettrico sostenuta da Franz Aepinus. In questo modo, potremmo concludere che l'attrazione reciproca tra il fluido elettrico positivo e quello negativo avviene secondo la legge dell'inverso del quadrato delle distanze. Come già osservato nel suo primo Mémoire (1785), la reciproca azione di un fluido elettrico della stessa natura segue anch’essa la stessa legge, ovvero quella dell'inverso del quadrato delle distanze (Coulomb, 1787a, p. 585).

Coulomb si rifaceva alla teoria dei due fluidi di Robert Symmer, come indicato nell'introduzione storica. Tuttavia, come vedremo più avanti, la natura meccanicistica della teoria non era di alcuna rilevanza per lui, poiché i risultati matematici ottenuti erano indipendenti—secondo Coulomb—dai concetti riguardanti la natura del fluido elettrico (o dei fluidi). Pur dando priorità alla matematica come Aepinus, Coulomb preferiva spingersi oltre, approfondendo il ruolo della matematica al di là del primato che aveva nel Tentamen di Aepinus, distruggendo così l’interazione costruttiva tra matematizzazione e meccanicismo che avevamo osservato nel caso di Aepinus. Il suo stile di matematizzazione è, quindi, differente e, a nostro avviso, può essere definito antagonista rispetto a quello analizzato precedentemente.

Prima di approfondire questo argomento, è utile esaminare brevemente la dipendenza della forza dalla quantità di fluidi elettrici nei corpi.

Nel suo secondo lavoro sull'elettricità, Coulomb riassunse i suoi risultati sulle forze elettriche. Così, alla fine del suo testo, dichiarò che l'azione, che sia repulsiva o attrattiva, delle due sfere elettrificate è nel rapporto combinato delle densità dei fluidi elettrici delle due molecole elettrificate, ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza (Coulomb, 1787a, p. 611). La relazione tra la forza e la distanza fu espressamente discussa da Coulomb, ma quella tra la forza e la quantità di fluidi elettrici non fu mai analizzata sperimentalmente, ma semplicemente assunta come vera. Quando Coulomb fece la stessa affermazione per quanto riguarda la forza magnetica, dichiarò che "la prima parte di questa affermazione [cioè, la forza magnetica è proporzionale alla densità del fluido magnetico] non ha bisogno di essere provata" (Coulomb, 1787a, p. 593). Infatti, Coulomb assunse questa relazione senza una prova sperimentale esplicita, sia nell'elettricità che nel magnetismo, poiché la somiglianza con la teoria gravitazionale di Newton era evidente, e Coulomb fu fortemente influenzato dal lavoro di Newton (Gillmor, 1971, pp. 191–192). Questo spiega la sua assunzione.

Al massimo, Coulomb compì un esperimento che, se interpretato diversamente rispetto alla sua interpretazione originale, potrebbe essere visto come una prova sperimentale del rapporto tra forza e quantità di fluidi elettrici. Discutiamolo ora.

Nel suo quarto lavoro, datato 1787, Coulomb studiò la diffusione dei fluidi elettrici nei corpi conduttori in funzione della loro composizione chimica, utilizzando un bilanciere a torsione per misurare la forza tra due sfere. L'esperimento consisteva in due sfere, una delle quali di rame, respinte dalla repulsione, all'interno di un bilanciere a torsione come quello mostrato nella Fig. 5.1. Successivamente, la sfera di rame, inserita attraverso il foro non concentrico del bilanciere, veniva toccata da un'altra sfera di dimensioni uguali, ma di un materiale diverso, basato su sambuco. Questa sfera veniva poi rimossa per non interferire con l'equilibrio tra le due sfere all'interno dell'apparato. Dopo il contatto, le due sfere iniziali si avvicinavano tra loro. Per riportarle alla distanza iniziale, Coulomb svitava il filo mediante il micrometro. All'inizio, la distanza era a 28 gradi con il micrometro ruotato di 120 gradi. Dopo il contatto, la distanza tra le sfere rimase esattamente la stessa, ma solo quando il micrometro indicava 44 gradi. La forza torsionale totale, pari alla forza repulsiva tra le due sfere, era di 72 gradi (Coulomb, 1787c, pp. 70–71). Coulomb ripeté lo stesso esperimento, sostituendo la sfera di rame con un cerchio di ferro, che veniva toccato, in questo caso, da un cerchio di carta delle stesse dimensioni.

In conclusione, Coulomb affermò che, sebbene nelle due osservazioni la distanza tra le sfere rimanesse esattamente la stessa, l'azione (la forza elettrica) fosse inversamente proporzionale al quadrato della distanza e direttamente proporzionale alle densità del fluido elettrico. Da ciò dedusse che la sfera di sambuco avesse esattamente metà del fluido elettrico rispetto alla sfera di rame. Pertanto, la sfera metallica non aveva maggiore affinità per il fluido elettrico rispetto a quella di sambuco (Coulomb, 1787c, p. 71). Coulomb assunse la proporzionalità tra la forza e la densità (un proxy per la quantità) dei fluidi elettrici, e supponendo che il fluido elettrico della sfera elettrificata venisse diviso in due dopo il contatto con la sfera inizialmente neutra, concluse che non esistevano materiali con gradi di affinità diversi rispetto al fluido elettrico (Coulomb, 1787c, pp. 69–71).

La distribuzione del fluido elettrico seguiva la geometria del corpo senza relazione al suo materiale. Tuttavia, possiamo reinterpretarlo oggi per stabilire il rapporto tra la quantità di fluidi elettrici e la forza. Per farlo, dobbiamo assumere come vero ciò che Coulomb intendeva dimostrare—l'indipendenza del fluido dai materiali e che la distribuzione del fluido dipende solo dai fattori geometrici. Assumendo questo, vediamo dall'esperimento con la sfera di rame che l'angolo totale di torsione nel filo è diminuito da 148 gradi a circa la metà, ovvero 72 gradi. Poiché, come abbiamo visto, Coulomb aveva dimostrato che la coppia su un filo è proporzionale all'angolo di torsione, possiamo dedurre che la coppia totale sul filo si è dimezzata dopo il contatto con la sfera di rame e la sfera di sambuco. Di conseguenza, la relazione tra la coppia dopo il contatto (M′) e la coppia prima del contatto (M) è tale che:

M′=M2M' = \frac{M}{2}

Poiché la coppia era (e lo è) proporzionale alla forza elettrica moltiplicata per il braccio (metà della scala, una costante), e non c'era alcuna coppia esterna, possiamo concludere che la forza elettrica tra le due sfere nell'esperimento è diminuita della metà. La distanza tra le sfere non è cambiata, e la diminuzione del valore della forza è, quindi, meglio spiegata da una diminuzione della densità del fluido all'interno della sfera di rame (diminuita della metà). Questo suggerisce una relazione lineare tra la forza e la densità dei fluidi elettrici, cioè F∝q1F \propto q_1, dove q1q_1 è la densità del fluido che elettrifica la sfera in questione.

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