Il comportamento dinamico dei sistemi Hamiltoniani non integrabili è noto per la sua complessità, e l'introduzione di eccitazioni stocastiche aggiunge ulteriori sfide al loro studio. Questi sistemi, caratterizzati da un'energia totale che non può essere espressa come la somma di funzioni di variabili separate, non possiedono soluzioni semplici. La stima della distribuzione di probabilità stazionaria (PDF) in tali sistemi è cruciale per comprendere la loro evoluzione a lungo termine.

Per un sistema Hamiltoniano, l'energia totale H(q,p)H(q, p), che dipende dalle coordinate generalizzate qq e dai momenti pp, descrive il comportamento dinamico del sistema. Tuttavia, nel caso di sistemi quasi-non-integrabili, l'energia non evolve in modo regolare e può essere influenzata da perturbazioni esterne come il rumore bianco gaussiano. La presenza di tale rumore rende il comportamento del sistema ancora più complicato, poiché introduce incertezze che non possono essere descritte da soluzioni deterministiche.

La distribuzione di probabilità stazionaria del sistema Hamiltoniano, quando sottoposto a rumore stocastico, può essere ottenuta utilizzando il metodo dell'averaging stocastico, che approssima il comportamento del sistema su lunghe scale temporali. Questo approccio fornisce una descrizione statistica della dinamica, utile per analizzare il comportamento a lungo termine del sistema.

Un'importante osservazione riguarda la relazione tra il valore dell'Hamiltoniana e la distribuzione stazionaria. Ad esempio, per un sistema con un Hamiltoniano H(q,p)=hH(q, p) = h, la probabilità condizionata p(q,p∣H=h)p(q, p | H = h) è inversamente proporzionale alla velocità generalizzata q˙\dot{q}, che dipende dalle derivate dell'Hamiltoniana rispetto alle coordinate qq e ai momenti pp. Questo implica che, in un sistema quasi-non-integrabile, la probabilità condizionata di trovarsi in una particolare configurazione dipende direttamente dalla velocità di variazione delle coordinate e dei momenti.

Nel caso di sistemi più complessi, come i sistemi con due gradi di libertà (2-DOF) non lineari, il comportamento dinamico può essere descritto tramite una serie di equazioni stocastiche che includono termini di drift e diffusione. Questi termini sono determinati dalle proprietà del sistema, come la forma della funzione potenziale U(q)U(q), e dalle proprietà del rumore, come le sue densità spettrali. Ad esempio, nel caso di un sistema come quello descritto dalle equazioni (5.19) per le variabili XX e YY, la distribuzione stazionaria dell'Hamiltoniano può essere calcolata utilizzando l'approximation dell'averaging stocastico, che fornisce risultati estremamente accurati per le medie quadrate delle variabili di stato.

Nel contesto di un sistema non integrabile con rumore stocastico, la determinazione della PDF stazionaria dell'Hamiltoniano e delle variabili di stato può essere effettuata utilizzando la trasformazione delle coordinate ellittiche generalizzate. Questo approccio consente di semplificare gli integrali multidimensionali, trasformandoli in integrali più gestibili che possono essere risolti numericamente. Tale tecnica è particolarmente utile per i sistemi con più di due gradi di libertà (n-DOF), dove la gestione diretta degli integrali diventa particolarmente complessa.

L'uso di questi metodi ha portato a notevoli progressi nel calcolo delle distribuzioni stazionarie per sistemi stocastici non lineari. Tuttavia, come evidenziato in alcuni esempi, la difficoltà di risolvere gli integrali multidimensionali per sistemi con tre o più gradi di libertà rimane una delle principali sfide. Tecniche come la trasformazione delle coordinate ellittiche o l'approssimazione di sistemi equivalenti non lineari sono strumenti cruciali per semplificare questi calcoli.

Per un sistema come quello descritto nelle equazioni (5.19), in cui le forze non lineari e il rumore bianco gaussiano sono presenti, l'analisi della PDF stazionaria e delle medie quadrate delle variabili può essere eseguita utilizzando il metodo dell'averaging stocastico. I risultati di simulazioni Monte Carlo mostrano che questo metodo fornisce previsioni estremamente precise, in particolare quando il rumore è di piccola entità e le non linearità non sono troppo forti.

In sintesi, la distribuzione stazionaria di un sistema quasi-non-integrabile Hamiltoniano sotto l'influenza di rumore stocastico può essere calcolata con grande precisione utilizzando il metodo dell'averaging stocastico, che permette di trattare efficacemente anche sistemi non lineari complessi. Sebbene l'applicazione di questo metodo a sistemi con più gradi di libertà comporti ancora alcune difficoltà, i progressi recenti suggeriscono che tali sfide possano essere superate attraverso trasformazioni appropriate delle coordinate e l'uso di tecniche di integrazione numerica avanzate.

Come l'averaging stocastico può modellare i sistemi Hamiltoniani quasi-integrabili: un'analisi delle equazioni mediate

Nei sistemi Hamiltoniani, la questione della separazione delle scale temporali e l’analisi delle dinamiche stocastiche assume un'importanza cruciale, in particolare nei casi quasi-integrabili. Questi sistemi, pur non essendo completamente integrabili, presentano una struttura tale che alcune loro componenti evolvono molto lentamente rispetto ad altre. Per tali sistemi, l’adozione dell’approccio di "averaging stocastico" permette una comprensione profonda della loro dinamica, specialmente quando si confrontano vari gradi di libertà (DOF) e fenomeni di risonanza.

Nel contesto di sistemi Hamiltoniani quasi-integrabili, ci si trova spesso a trattare con sistemi di equazioni differenziali stocastiche che descrivono sia variabili lente, come le azioni I1,I2,…,Ir−1I_1, I_2, \ldots, I_{r-1} e l'energia HrH_r, che variabili veloci, come le coordinate Qr,…,QnQ_r, \ldots, Q_n e i momenti Pr+1,…,PnP_{r+1}, \ldots, P_n. Le equazioni che governano queste variabili veloci sono influenzate da rumori esterni rappresentati da processi stocastici come il processo di Wiener dBk(t)dB_k(t). L’averaging stocastico, in questo contesto, implica la media nel tempo delle variabili lente, permettendo di ridurre la complessità e focalizzarsi sui fenomeni più rilevanti.

Nella configurazione senza risonanza interna, che si verifica quando l'interazione tra i vari gradi di libertà non genera risonanze tra le frequenze del sistema, le variabili lente I1,…,Ir−1I_1, \ldots, I_{r-1} e HrH_r evolvono lentamente nel tempo. Queste variabili seguono una dinamica descritta da un processo di Markov, mentre le variabili veloci mostrano un comportamento decisamente più frenetico. In tale scenario, il processo stocastico che descrive l'evoluzione delle variabili lente può essere rappresentato tramite un sistema di equazioni mediate, ottenute tramite l'integrazione temporale delle equazioni originali.

Per ottenere una descrizione chiusa di queste dinamiche, è necessario eseguire un troncamento delle equazioni mediate, eliminando i termini di ordine superiore in ε\varepsilon, il parametro che misura la pertinenza del sistema alle scale temporali veloci. Questo porta alla formulazione delle equazioni mediate per I1,…,Ir−1I_1, \ldots, I_{r-1} e HrH_r, che sono prive di termini ad alta frequenza e possono quindi essere trattate con metodi di analisi stocastica più gestibili.

Un aspetto fondamentale che emerge da queste trattazioni è la connessione tra l’ergodicità e la geometria del sistema. In un sottosistema Hamiltoniano integrabile di r−1r-1 gradi di libertà, la dinamica si sviluppa su un toro r−1r-1-dimensionale, mentre nel sottosistema non integrabile l'evoluzione avviene su una superficie costante di HrH_r di dimensione 2n−2r+12n - 2r + 1. Questa differenza è cruciale, poiché implica che il comportamento stocastico di variabili come I1,…,Ir−1I_1, \ldots, I_{r-1} e HrH_r possa essere trattato come un processo Markoviano, mentre le variabili veloci evolvono in modo indipendente e secondo leggi di probabilità più complesse.

È importante comprendere che, nonostante la separazione delle scale temporali, la natura non-lineare dei sistemi Hamiltoniani quasi-integrabili può portare a fenomeni di risonanza esterna, che potrebbero alterare le previsioni fatte tramite averaging. La trattazione media, infatti, è particolarmente potente quando le dinamiche veloci non interagiscono fortemente con quelle lente. Tuttavia, in presenza di risonanze esterne, è necessario un approccio più sofisticato che consideri queste interazioni.

Inoltre, la formulazione delle equazioni mediate dipende dalla regolarità e dalle proprietà del rumore presente nel sistema. La presenza di rumori bianchi, ad esempio, implica che la soluzione stocastica possa essere modellata tramite un’equazione di Fokker-Planck (FPK), che descrive l’evoluzione della funzione di densità di probabilità del sistema nel tempo. Le equazioni mediate di SIDEs e FPK, in tal caso, forniscono una descrizione molto precisa della dinamica stocastica del sistema.

Nel contesto più generale, il risultato finale di questa analisi consiste nell'identificazione di una riduzione delle dimensioni del sistema attraverso la media stocastica, che consente una trattazione computazionale più efficiente dei sistemi quasi-integrabili. Sebbene la media stocastica offra vantaggi computazionali, è essenziale ricordare che questo approccio è valido solo in assenza di forti interazioni non-lineari o di risonanze interne, che potrebbero richiedere tecniche di analisi ulteriori.

La comprensione di questi metodi è fondamentale non solo per lo studio di sistemi fisici complessi, ma anche per applicazioni in ingegneria, finanza e scienze computazionali, dove l'analisi stocastica gioca un ruolo cruciale nella modellazione e nella previsione di dinamiche di sistemi complessi.

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