Nel quadro teorico dei materiali ferromagnetoelastici isolanti, si considera una rappresentazione continua doppia: una per il reticolo elastico e una per il campo di spin magnetico. Questi due continui, sebbene formalmente distinti, interagiscono strettamente attraverso leggi di bilancio integrali e differenziali, che assicurano la coerenza meccanica ed elettromagnetica del sistema.

Le leggi di bilancio integrali, formulate per domini che rappresentano separatamente il reticolo e il campo di spin (e la loro combinazione), stabiliscono vincoli sulle grandezze fisiche fondamentali: conservazione della massa, del momento lineare, del momento angolare e dell’energia. In particolare, la condizione F⋅M=0F \cdot M = 0 e BL⋅M=0B_L \cdot M = 0 implica che la magnetizzazione sia ortogonale tanto alla forza interna FF quanto al campo magnetico longitudinale BLB_L, costituendo un vincolo geometrico fondamentale nella descrizione del sistema.

Per il continuo combinato, il momento lineare totale include i contributi dalla forza magnetica fMf_M e da quella meccanica ff, mentre la forza interna di spin fLf_L è opposta a quella magnetica: fL=−fMf_L = -f_M. Il momento angolare viene descritto separatamente per reticolo e spin, con i corrispondenti contributi torcenti derivanti dal tensore di scambio AA e dai momenti magnetici. Il momento angolare associato al continuo di spin non contribuisce all’energia cinetica per via della sua derivata materiale nulla, riflettendo l'inerzia trascurabile della dinamica di spin in questa formulazione.

Le leggi di bilancio differenziali derivano direttamente dalle forme integrali attraverso il teorema della divergenza. La legge di Gauss per il campo magnetico e la legge di conservazione della massa restano invarianti. La dinamica del reticolo viene regolata dall’equazione del moto con il tensore di Cauchy τij\tau_{ij}, integrato con le forze magnetiche. La simmetria del tensore degli sforzi è condizionata dalla coppia interna magnetica ciLc^L_i, la cui forma è collegata alla magnetizzazione e al campo magnetico mediante ciL=εijkMjBkLc^L_i = \varepsilon_{ijk} M_j B^L_k.

Il tensore di scambio AijA_{ij} è fondamentale nel trasferimento di momento angolare tra spin e reticolo. Esso è soggetto alla condizione di simmetria incrociata Alkμj,l=Aljμk,lA_{lk} \mu_{j,l} = A_{lj} \mu_{k,l} per garantire l’invarianza rotazionale. Inoltre, dalla relazione A⋅M=0A \cdot M = 0, segue che le componenti del tensore non proiettano energia lungo la direzione della magnetizzazione, coerentemente con la restrizione ortogonale imposta alle interazioni interne.

Il comportamento energetico del sistema è governato da un'equazione differenziale dell’energia interna ε\varepsilon, che include sia il lavoro meccanico che quello magnetico. Introdotto il potenziale entalpico per unità di massa χ\chi tramite la trasformata di Legendre, si ottiene una riformulazione della dinamica energetica che mette in evidenza il ruolo delle derivate spaziali della magnetizzazione e delle deformazioni del reticolo come variabili termodinamiche essenziali.

Dalle equazioni costitutive derivate, si deduce che il tensore degli sforzi τij\tau_{ij} e il tensore di scambio AijA_{ij} dipendono dalle derivate del potenziale entalpico χ\chi rispetto alle variabili deformazionali e magnetiche. In particolare, le espressioni per BLiB_L^i e AijA_{ij} mostrano una dipendenza complessa dalla struttura interna del materiale, riflessa nei prodotti scalari CKL,GLM,NLC_{KL}, G_{LM}, N_L tra i gradienti delle deformazioni e della magnetizzazione. Queste strutture interne consentono di ridurre la dipendenza funzionale del potenziale a quantità invarianti sotto rotazioni, garantendo l’oggettività del modello.

L’imposizione dei vincoli di saturazione magnetica mediante moltiplicatori di Lagrange λ\lambda e LML_M rafforza la compatibilità interna tra le equazioni costitutive e le condizioni fisiche del materiale. In particolare, tali moltiplicatori determinano l’allineamento tra il gradiente della magnetizzazione e la risposta del sistema sotto l’azione del campo magnetico. La presenza del prodotto μiμj,M\mu_i \mu_j,M in questi termini mostra l'importanza delle variazioni spaziali della magnetizzazione nel contribuire all’energia libera del sistema.

Infine, al contorno o nelle interfacce tra materiali diversi, le leggi integrali si traducono in condizioni di salto che determinano le discontinuità ammissibili nelle grandezze fisiche. A seconda della natura del vincolo imposto, si può prescrivere il campo di spostamento, il potenziale magnetico o il momento angolare associato allo spin.

Per comprendere a fondo questi risultati, è essenziale tenere presente la distinzione concettuale e operativa tra continuo elastico e continuo di spin. L’unione coerente delle loro dinamiche richiede una formalizzazione in cui gli accoppiamenti tra campi meccanici e magnetici non siano introdotti ad hoc, ma emergano naturalmente dalle leggi fondamentali di bilancio e dalle condizioni di simmetria. Inoltre, lo studio delle proprietà costitutive deve considerare la dipendenza del potenziale termodinamico da invarianti che rispettano la simmetria rotazionale e le condizioni di saturazione. L’interazione tra struttura interna e risposta macroscopica è quindi mediata da quantità tensoriali non banali, il cui comportamento determina la stabilità e la funzionalità del materiale.

Come si propagano le onde elastiche accoppiate ai modi magnetici nei materiali ferromagnetoelastici?

In un mezzo ferromagnetoelastico, la propagazione delle onde elastiche non può essere considerata isolatamente quando è presente un accoppiamento significativo tra il campo magnetico interno e la deformazione meccanica. Il sistema di equazioni che descrive questo fenomeno rivela l’emergere di modi d’onda accoppiati che coinvolgono simultaneamente spostamenti meccanici e variazioni del potenziale magnetico. Quando le condizioni al contorno impongono la presenza di una parete magnetica perfetta (ψ = 0), si osservano distribuzioni spaziali del campo u₃ e del potenziale ψ che rispecchiano l’effetto localizzato del carico applicato, con una rapida decrescita della risposta magnetica m al di fuori della regione di sollecitazione.

La rappresentazione modale delle soluzioni, tramite sviluppi in serie di funzioni trigonometriche, permette di determinare le componenti magnetiche m₁ e m₂ in funzione di coefficienti ignoti risolti numericamente. L'uso di domini rettangolari con condizioni miste ai bordi per m, e la prescrizione del potenziale magnetico nullo, consente di isolare i contributi significativi alle risposte statiche e dinamiche del sistema. Le costanti Umn, Ψmn, Vmn e Wmn emergono come parametri fondamentali nella rappresentazione del sistema e sono direttamente connessi all’intensità e alla distribuzione del carico applicato.

Nel caso di onde piane che si propagano lungo la direzione x₁, le soluzioni assunte sono armoniche nel tempo e nello spazio, con ampiezze complesse U, Ψ, V e W. Sostituendo queste soluzioni nelle equazioni accoppiate del sistema elastomagnetico, si ottiene una condizione di dispersione che lega il numero d’onda ξ e la frequenza ω. Questa relazione rivela la presenza di frequenze di taglio per le onde di spin, il cui valore minimo è determinato dalla struttura interna del materiale e dall’intensità del campo magnetico preesistente.

Il comportamento dispersivo delle onde accoppiate è dominato dal parametro di accoppiamento magnetoelastico e, in particolare, dalla costante e = 2b₄₄M₀. Quando b₄₄ = 0, l'accoppiamento svanisce e le curve di dispersione si separano in rami indipendenti: uno per le onde elastiche con velocità di propagazione √(c₄₄/ρ) e uno per le onde di spin con comportamento non lineare rispetto a ξ. Per onde lunghe (ξ → 0), le soluzioni mostrano uno sviluppo regolare attorno alle frequenze di taglio, con una variazione quadratica della frequenza rispetto al numero d’onda.

Nel caso di vibrazioni libere di un corpo rettangolare con pareti magnetiche perfette e vincoli meccanici totali, le frequenze proprie del sistema sono determinate da un'equazione caratteristica che include termini accoppiati elastici e magnetici. Per ogni coppia (m, n) di numeri interi, che identificano le modalità spaziali in x₁ e x₂, si risolve un sistema lineare omogeneo che restituisce le ampiezze delle componenti u₃, ψ, Π e Ω, a condizione che il determinante della matrice dei coefficienti si annulli. Le frequenze di risonanza ottenute riflettono l'influenza della struttura del materiale, dei parametri magnetici (come H₀, M₀, χ) e delle costanti elastiche.

Nel limite di accoppiamento nullo, le soluzioni si riducono a modi puramente elastici e puramente magnetici, ma in presenza di accoppiamento anche debole, i modi diventano ibridi, pur mantenendo una dominanza (essenzialmente elastici o magnetici). Una volta determinata la frequenza, le componenti del campo magnetico m₁ e m₂ sono ricavate da relazioni differenziali basate sui potenziali Π e Ω. Le espressioni risultanti evidenziano la struttura ondosa del campo magnetico, modulata nel tempo e nello spazio e sincronizzata con i modi di vibrazione del corpo.

La complessità delle equazioni sottolinea l’importanza di considerare gli effetti incrociati tra meccanica e magnetismo. In particolare, la presenza del parametro e modifica le frequenze naturali e introduce nuove modalità di propagazione. Questo implica che ogni analisi dinamica di un sistema ferromagnetoelastico non può prescindere dalla valutazione simultanea dei fenomeni meccanici e magnetici.

Per completare la comprensione del fenomeno, è importante tener conto che l'accoppiamento magnetoelastico non solo altera le caratteristiche di propagazione, ma può essere sfruttato per la manipolazione attiva delle onde mediante campi magnetici esterni. Inoltre, la sensibilità delle frequenze di taglio alle proprietà del materiale apre la possibilità di progettare strutture risonanti o filtri d’onda sintonizzabili. La dipendenza della risposta dinamica dai parametri geometrici e fisici suggerisce anche una direzione promettente per il controllo non distruttivo o per la realizzazione di metamateriali multifunzionali.

Qual è la struttura fondamentale delle equazioni di bilancio nella meccanica dei continui?

Nella meccanica dei continui, la descrizione dello stato interno di un corpo e della sua evoluzione richiede la formulazione di leggi di bilancio che riflettano le proprietà fondamentali della materia: conservazione della massa, della quantità di moto, del momento angolare e dell’energia. Tali leggi, formulate inizialmente in forma integrale su volumi di controllo arbitrari, assumono una forma differenziale quando i campi fisici considerati sono regolari e differenziabili. Le equazioni risultanti sono i vincoli fondamentali che qualsiasi comportamento costitutivo deve rispettare.

Partendo dalla formulazione integrale del bilancio della quantità di moto, attraverso l’uso del teorema della divergenza e considerando il tensore degli sforzi di Cauchy τ, si ottiene l’equazione differenziale ρv̇i = τji,j + ρfi. Questa esprime l’equilibrio delle forze interne ed esterne in ogni punto del corpo, dove v̇i è l'accelerazione, fi la forza di volume e τji,j la divergenza del tensore degli sforzi.

La simmetria del tensore τ, ovvero τkl = τlk, emerge dall’imposizione della conservazione del momento angolare. Infatti, l’integrazione del momento del bilancio di quantità di moto, accompagnata da una manipolazione attenta dei termini tensori e l'applicazione delle proprietà dell’epsilon di Levi-Civita, conduce alla condizione εijkτjk = 0, che implica necessariamente la simmetria di τ.

La conservazione dell’energia interna si traduce nell’equazione ρε̇ = τijvj,i, dove ε è l’energia interna per unità di massa e vj,i rappresenta il gradiente di velocità. Essa riflette il lavoro interno fatto dalle tensioni durante la deformazione e collega l’evoluzione dell’energia interna al campo degli sforzi.

Nel caso in cui il corpo contenga superfici di discontinuità, come interfacce tra due materiali, l’applicazione delle leggi integrali porta a condizioni di salto. In particolare, il bilancio della quantità di moto impone la continuità delle trazioni attraverso l’interfaccia: τij^(1)ni = τij^(2)ni. Tale condizione assicura che non vi siano accelerazioni infinite o comportamenti incompatibili alla frontiera tra i materiali.

Le equazioni differenziali precedenti sono formulate nel sistema di coordinate attuali yi. Tuttavia, per molti scopi pratici, è preferibile una formulazione rispetto alle coordinate materiali XK, nelle quali le deformazioni sono definite in modo naturale. A questo scopo vengono introdotti i tensori di Piola–Kirchhoff: il primo KLj, legato al tensore τ mediante la trasformazione KLj = J XL,i τij, e il secondo PKL, definito come PKL = J XKi XLj τij. Tali tensori sono due-punto, e rappresentano le forze interne nel riferimento materiale.

Riscrivendo le equazioni di bilancio in forma materiale, si ottiene: KLj,L + ρ0fj = ρ0v̇j, dove tutte le derivate spaziali sono ora rispetto a XK, la densità ρ0 è quella nel riferimento, e KLj,L rappresenta la divergenza materiale del primo tensore di Piola–Kirchhoff. Analogamente, la conservazione dell’energia interna diventa ρ0ε̇ = PKLĖKL, dove ĖKL è il tasso di deformazione greeniano, con E il tensore delle deformazioni.

Le relazioni costitutive completano il quadro determinando la risposta del materiale. Per i materiali elastici, si assume che l’energia interna ε sia funzione del tensore di deformazione E: ε = ε(EKL). Derivando rispetto a E e imponendo la coerenza energetica, si ottiene PKL = ρ0 ∂ε/∂EKL. La simmetria naturale di E implica che anche PKL sia simmetrico, garantendo automaticamente la simmetria del tensore degli sforzi di Cauchy tramite le relazioni di trasformazione.

Tali equazioni, combinate con condizioni al contorno — come il valore imposto della posizione sulla superficie Sy e delle trazioni sulla superficie ST — costituiscono un problema al contorno completo. Per problemi dinamici, si aggiungono le condizioni iniziali sul campo di posizione e velocità.

Infine, l’intera struttura può essere riformulata in termini variazionali mediante un funzionale lagrangiano Π, dove la densità L è data da L = (

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