Nella descrizione dei regimi stazionari di un flusso controcorrente all'interno di un canale cilindrico, si osservano tre principali transizioni: il regime laminare, il regime di transizione e il regime turbolento sviluppato. Questi regimi sono regolati dalla velocità di controflusso, Vns, e da parametri quali il numero di Reynolds e la geometria del canale. In particolare, si possono identificare: un regime laminare con L = 0 a basse velocità di controflusso, una zona di transizione che avviene a una velocità critica V H c1, dove il flusso passa dal regime laminare al regime turbolento TI, e un regime turbolento ben sviluppato TII che si instaura con l’aumento di Vns.

La transizione dal regime laminare (L = 0) al regime turbolento TI nei canali cilindrici è stata studiata sperimentalmente e avviene quando il numero di Reynolds, definito come Rey = Vnsd, supera una certa soglia, che può variare in base alla temperatura. Ad esempio, per temperature di 1.5K, 1.6K e 1.7K, i valori critici di Reynolds sono rispettivamente circa 127, 112 e 96. Questi numeri di Reynolds critici sono associati a un cambiamento drastico nel comportamento del flusso e sono stati documentati da numerosi studi. Tuttavia, per alcune velocità di controflusso, il regime laminare può rimanere metastabile piuttosto che instabile, suggerendo la presenza di un intervallo di metastabilità.

Un importante risultato sperimentale è stato ottenuto da Tough e collaboratori, i quali hanno osservato una discontinuità del parametro L1/2 durante il passaggio dal regime TI al regime TII, con valori distintivi per ciascun regime turbolento. La metastabilità del regime laminare implica che esiste una certa velocità critica Vns che separa il regime stabile da quello metastabile, e questo fenomeno è cruciale per comprendere le dinamiche di transizione del flusso.

In questo contesto, l'equazione evolutiva di Vinen (5.1.7) predice che il numero di Reynolds critico per la transizione laminare-turbolento è zero, cioè L = 0 per qualsiasi valore di Vns maggiore di zero. Tuttavia, questa previsione non è sempre corretta in pratica, e per ottenere una soglia finita per la transizione è necessario modificare il termine di produzione nel modello, come descritto nell'equazione (5.2.12), che introduce una distorsione al comportamento del flusso vicino alle pareti del canale.

Per comprendere meglio la transizione dal regime laminare al regime turbolento TI, si può utilizzare un modello leggermente più complesso come l'equazione (5.2.13). In questa formulazione, si introduce un termine quadratico in Vns che caratterizza l'instabilità del flusso e descrive come la densità di linee di vortice cambia in relazione alla velocità di controflusso. Le soluzioni di questa equazione indicano che la transizione avviene quando il numero di Reynolds supera il valore critico Reyc1, che corrisponde a una velocità critica Vns = Vc1. Quando si raggiunge questa velocità, si verifica una discontinuità da L = 0 a L1/2 c1, un cambiamento che segna l’ingresso nel regime turbolento TI.

Il passaggio dal regime TI al regime TII avviene a una seconda velocità critica Vns = Vc2, che è legata a un altro valore critico di Reynolds, Reyc2. La transizione tra questi due regimi è descritta mediante un modello in cui il parametro α0, che caratterizza la pendenza della soluzione stazionaria, cambia in modo discontinuo tra i due regimi. Questo cambiamento riflette un cambiamento nelle proprietà del flusso turbolento: nel regime TI, le linee di vortice sono fortemente pinzate alle pareti, mentre nel regime TII il flusso diventa isotropico e omogeneo.

L'interazione tra il flusso e le pareti gioca un ruolo cruciale in entrambe le transizioni, poiché la vicinanza delle pareti influisce sulle dinamiche di generazione e disgregazione dei vortici. In particolare, quando le linee di vortice si avvicinano alla parete, esse possono essere bloccate, alterando significativamente il comportamento turbolento. La presenza di questa interazione tra vortici e parete è un fattore chiave per comprendere la distribuzione della turbolenza all’interno del canale.

Inoltre, è importante notare che la transizione dal regime TI al regime TII non è solo una funzione della velocità di controflusso, ma anche della geometria del canale. I canali più stretti tendono a favorire il passaggio a regimi turbolenti a numeri di Reynolds più bassi, in quanto la geometria influisce sulla dissipazione e sulla produzione di vortici. Gli esperimenti che utilizzano tubi quadrati in vetro hanno confermato che il comportamento turbolento osservato nei tubi cilindrici si riproduce anche in altre geometrie, sebbene il diametro idraulico dei canali giochi un ruolo fondamentale nel determinare le caratteristiche del flusso turbolento.

Il comportamento metastabile del regime laminare e la transizione tra i regimi turbolenti sono fenomeni complessi che richiedono un’approfondita comprensione dei parametri coinvolti, come la velocità di controflusso, la geometria del canale, e la densità di linee di vortice. L'approfondimento della teoria e la sperimentazione accurata in queste condizioni sono fondamentali per prevedere e controllare il comportamento di flussi superfluidi in configurazioni pratiche, come in esperimenti di fisica quantistica o applicazioni ingegneristiche.

Modello a Due Fluidi per Helio II Superfluido: Derivazione e Implicazioni

Il modello a due fluidi è un concetto fondamentale nella fisica dell'eliostato superfluido, e rappresenta una delle descrizioni più significative del comportamento di Helio II in condizioni di superfluidità. In breve, il modello assume che Helio II sia composto da due componenti separate: una frazione superfluida e una frazione normale. La frazione superfluida è rappresentata dalla condensa di Bose, mentre la frazione normale è costituita da atomi che non sono in uno stato di bassa energia, ma interagiscono con la condensa. Il modello a due fluidi è nato come estensione della descrizione microscopica del comportamento di Helio II, in cui le particelle di elio non interagiscono in modo semplice, ma piuttosto in una combinazione di condensato e particelle eccitate.

Nel contesto dell'eliostato, la frazione superfluida è un'entità complessa che non si limita al condensato a temperatura zero, ma include anche una quantità di atomi che, pur non essendo nel livello energetico più basso, seguono ancora il movimento del condensato. La realizzazione sperimentale di questo modello ha mostrato che circa il 9% degli atomi di elio sono nello stato più basso, con la restante parte che forma la frazione normale. Questo approccio offre una visione più realistica del comportamento di Helio II in condizioni di superfluidità, sebbene, dal punto di vista concettuale, possieda delle incongruenze, come il fatto che la frazione superfluida possa avere una entropia non nulla, sebbene molto piccola.

La densità di massa della componente superfluida, denotata come ρs\rho_s, è legata alla funzione d'onda complessa ψ(x,t)\psi(x,t) dalla relazione ∣ψ(x,t)∣2=ρs|\psi(x,t)|^2 = \rho_s, mentre la velocità della componente superfluida è espressa da vs=1m∇ϕv_s = \frac{1}{m} \nabla \phi, con ϕ\phi che rappresenta la fase della funzione d'onda. In questo modello, la densità totale di massa ρ\rho e la densità di momento ρv\rho v sono date dalla somma delle componenti superfluida e normale, rispettivamente ρ=ρs+ρn\rho = \rho_s + \rho_n e ρv=ρnvn+ρsvs\rho v = \rho_n v_n + \rho_s v_s.

Un aspetto cruciale del modello a due fluidi è che la conservazione della massa totale, del momento totale e dell'energia totale è mantenuta, e le equazioni di bilancio per ogni componente sono formulate come equazioni di evoluzione per la fase e per il flusso termico. La limitazione di questo modello, però, risiede nel fatto che la lunghezza di coerenza della funzione d'onda, ξ=ℏ2mV0n\xi = \sqrt{\frac{\hbar}{2mV_0 n}}, deve essere maggiore della distanza interatomica dd. Questo implica che l'uso del gas di Bose debolmente interagente come modello per Helio II non è completamente realista, ma serve come base per comprendere alcuni aspetti macroscopici della superfluidità.

Un altro modello, chiamato "modello a fluido esteso a un singolo fluido", si sviluppa dalla stessa base microscopica. Questo approccio si ispira al punto di vista di Landau, che vede il liquido di elio come uno stato fondamentale in cui le quasi-particelle si muovono e trasportano energia. In questa visione, le fluttuazioni del sistema sono descritte da un campo che rappresenta il moto delle quasi-particelle, e la velocità di contraflusso viene associata alla media delle velocità di queste quasi-particelle. Le equazioni di evoluzione per il flusso termico in questo modello possono essere scritte come equazioni di rilassamento nel regime lineare e come equazioni non-lineari che dipendono dalla teoria cinetica dei gas non ideali nel regime non-lineare.

In entrambi i modelli (quello a due fluidi e quello esteso a un singolo fluido), la fase del sistema gioca un ruolo cruciale, e l'irrotazionalità del moto del condensato è una delle caratteristiche principali del comportamento superfluido. Tuttavia, quando la fase della funzione d'onda presenta discontinuità, come nei vortici quantizzati, la condizione di irrotazionalità viene violata. La quantizzazione della circolazione nei vortici è una delle manifestazioni più evidenti della natura quantistica della superfluidità, e si esprime matematicamente come ∮∇ϕ⋅dl=2kπ\oint \nabla \phi \cdot dl = 2k\pi, dove kk è un intero. La circolazione quantizzata implica che la lunghezza del vortice e il numero di quanta di circolazione siano quantizzati, un aspetto fondamentale che distingue il comportamento superfluido da quello di un fluido normale.

Il modello a due fluidi e il modello a fluido esteso a un singolo fluido non sono interscambiabili in modo semplice, poiché la quantità ϵqp∣ψ∣2\epsilon_{qp} |\psi|^2 non è costante tra i due modelli. Tuttavia, le loro previsioni coincidono in una serie di situazioni fisiche, in particolare in scenari in cui l'evoluzione macroscopica del sistema può essere descritta senza dover fare riferimento alla microstruttura atomica dettagliata.

Oltre a queste descrizioni formali, è importante notare che la comprensione del comportamento superfluido di Helio II richiede anche un'analisi della dinamica delle vortici, che sono soluzioni delle equazioni che descrivono il sistema. Questi vortici sono entità fisiche che si formano come difetti lineari nello stato fondamentale e rappresentano una manifestazione macroscopica della quantizzazione della fase. La loro comprensione è cruciale per interpretare fenomeni come il flusso senza attrito e l'assenza di viscosità che caratterizzano il comportamento superfluido di Helio II.

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