Quando Dobbiamo Cambiare Scelta per Sopravvivere? Analisi del Dilemma delle Porte Mortali

Il Monty Hall Problem è un'affascinante illustrazione di come la probabilità possa essere talvolta controintuitiva. Sebbene sia stato dibattuto, analizzato e confermato numerose volte, continua a suscitare curiosità e perplessità. Esso fornisce una lezione chiara: l'intuizione non è sempre affidabile quando si tratta di probabilità.

Immagina un gioco oscuro di destino e possibilità, che si svolge davanti a quattro porte colorate: rossa, gialla, blu e verde. Tre di queste porte conducono a una morte immediata, mentre l'ultima offre un cammino dorato verso fama e fortuna. Il destino di ogni porta viene determinato casualmente dal conduttore del gioco, che pesca quattro palline da una borsa—rossa, gialla, blu e verde. Questo processo casuale assegna il destino a ciascuna porta.

Il gioco, tuttavia, ha una svolta: il conduttore, che conosce il destino nascosto dietro ogni porta, apre una delle rimanenti porte. In questo caso, rivela che la porta gialla porta alla morte. Questo fa parte delle regole del gioco: il conduttore deve sempre aprire una porta dopo la scelta iniziale, mostrando una delle porte pericolose, ma lasciando la porta fortunata ancora chiusa.

Molti ritengono che, con una porta in meno nell'equazione, le probabilità di successo per la porta rossa siano aumentate. Dopo tutto, ora ci sono solo tre porte da considerare: rossa, blu e verde. Se si assume che ogni porta abbia la stessa probabilità di essere quella fortunata, allora la probabilità di ciascuna sarebbe di un terzo, ovvero il 33,33%. Ma questa ipotesi è errata.

Il conduttore non ha finito il suo gioco. Procede ad aprire un'altra porta, rivelando che la porta blu è anch'essa una trappola mortale. Ora, con solo due porte rimaste—la rossa e la verde—sembra che le probabilità siano migliorate ulteriormente. La possibilità che una delle due porte conduca alla fortuna dovrebbe essere ora pari al 50-50, giusto? Ma, in realtà, non è così. La decisione di continuare con la scelta originale o di cambiare porta è ben più complessa.

La chiave del gioco è questa: le azioni del conduttore, essendo basate sulla conoscenza, modificano le probabilità associate alle porte rimanenti. Prima che il conduttore aprisse la porta gialla, c'era il 75% di probabilità che la porta fortunata fosse una tra la gialla, la blu o la verde. Ma ora che la porta gialla è stata rivelata come pericolosa, il 75% di probabilità si distribuisce tra le porte rimanenti—la blu e la verde.

Quando il conduttore apre la porta blu, rivelando che anche questa porta è una trappola mortale, le probabilità si spostano di nuovo. Ora, l'unica porta rimanente contro la tua scelta iniziale è la porta verde. Le probabilità di successo per la porta verde sono aumentate in modo significativo, portando la tua probabilità di successo a un favorevole 75%, rispetto al 25% che avevi inizialmente con la porta rossa. Essenzialmente, la probabilità complessiva delle porte non inizialmente scelte (che era 3/4) ora si concentra sulla porta verde, poiché due delle tre porte potenzialmente sicure sono state eliminate.

Questo esempio mostra come la conoscenza, o la mancanza di essa, possa alterare drasticamente il risultato di un gioco di probabilità. Se il conduttore non sapesse cosa si cela dietro ogni porta e rivelasse una porta a caso, il gioco sarebbe puramente casuale e la probabilità di successo sarebbe del 50% per ciascuna delle due porte rimanenti. In tale scenario, un lancio di moneta sarebbe altrettanto efficace come una strategia razionale.

Tuttavia, la strategia del "Monty Hall Plus" mostra come l'informazione possa influire in modo fondamentale sulle probabilità. Quando una persona possiede la conoscenza del sistema e del contesto, le probabilità possono essere manipolate in modo tale da rendere il cambiamento di scelta la mossa più vantaggiosa.

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La Legge di Benford: Un'Anomalia nei Numeri Naturali e Sociali

Secondo la Legge di Benford, la probabilità che una sequenza di numeri inizi con una determinata cifra non è uniforme. Invece di distribuire equamente le probabilità tra le cifre da 1 a 9, come ci si potrebbe aspettare, il numero 1 appare come cifra iniziale circa il 30% delle volte. La cifra 2 segue con una probabilità del 17.6%, mentre il numero 9 compare solo nel 4.6% dei casi. Questo schema sorprendente si manifesta in un'ampia varietà di dati, dai numeri di popolazione delle città ai prezzi delle azioni, dalle lunghezze dei fiumi alle bollette elettriche.

La spiegazione di questo fenomeno risiede nei processi moltiplicativi che generano i numeri nella vita reale. Ad esempio, se si considerano le crescite percentuali, i numeri impiegano più tempo per passare dalla cifra iniziale 1 alla cifra 2 che non per passare dalla cifra 8 alla cifra 9. Quindi, i numeri rimangono più a lungo con un primo numero uguale a 1 rispetto a quelli che iniziano con numeri più alti. Questo spiega perché, ad esempio, se si parte con 1 euro e si cresce del 10% ogni giorno, la cifra iniziale rimarrà 1 per un periodo molto più lungo rispetto alla cifra 2, e così via.

Perché questa legge è importante? Una delle sue applicazioni più rilevanti è nel campo della rilevazione delle frodi. Quando i dati, come quelli fiscali o contabili, deviano significativamente dalla distribuzione prevista dalla Legge di Benford, ciò può essere un segnale di attività fraudolente. In particolare, i bilanci aziendali che non seguono questa distribuzione potrebbero suggerire manipolazioni o falsificazioni. La Legge di Benford, infatti, viene spesso utilizzata dai revisori contabili per individuare anomalie nei bilanci finanziari, poiché molte manipolazioni tendono a deviare dalla distribuzione naturale che la legge descrive.

Affinché la Legge di Benford sia applicabile, tuttavia, è necessario che i numeri siano omogenei e non artificialmente limitati. Ad esempio, i numeri associati a codici postali, numeri telefonici o prezzi fissi non seguono questa legge, poiché questi sistemi numerici sono artificiali e non generati da processi naturali. Un'altra condizione fondamentale per l'applicabilità della legge è che non vi siano cap limitanti o confini nelle sequenze numeriche, come accade nei numeri di serie o nei range di prezzo imposti nei supermercati.

Il fenomeno osservato da Benford fu originariamente scoperto nel 1881 dal matematico Simon Newcomb, che notò che le pagine dei logaritmi, spesso utilizzate per i calcoli, erano più consumate quando si trattava di numeri che iniziavano con 1. Questo comportamento fu ulteriormente confermato nel 1938 dal fisico Frank Benford, che applicò la legge a una vasta gamma di dataset, dai numeri statistici del baseball ai dati sulle lunghezze dei fiumi, osservando che circa il 30% di questi numeri iniziavano con il 1, mentre solo il 4.6% iniziavano con il 9.

Un altro aspetto notevole della Legge di Benford è la sua "invarianza di scala". Ciò significa che la legge si applica indipendentemente dall'unità di misura utilizzata. Sia che si stia misurando in metri, centimetri, piedi o chilometri, la distribuzione delle cifre rimarrà invariata. Questo rende la Legge di Benford una vera e propria legge universale per i numeri naturali, rispecchiando un principio matematico che attraversa le discipline scientifiche.

Il legame con la natura non si ferma qui. In effetti, la Legge di Benford si ritrova anche nella famosa sequenza di Fibonacci. Ogni numero di Fibonacci è la somma dei due numeri precedenti, e questa sequenza è strettamente legata al rapporto aureo, che appare frequentemente in natura, nell'arte e nel design. Quando i numeri di Fibonacci diventano sufficientemente grandi, i loro primi numeri obbediscono anch'essi alla Legge di Benford, dimostrando ancora una volta l'ordine e la bellezza nascosti nelle leggi matematiche che governano il nostro mondo.

Come la previsione dei mercati influenza le decisioni politiche e sociali

La previsione dei mercati e il loro impatto su decisioni politiche, economiche e sociali sono temi di crescente interesse tra studiosi e professionisti. L'approccio dei mercati predittivi è stato applicato in numerosi contesti, dalla politica alle elezioni, dalle previsioni economiche ai mercati sportivi, e la sua crescente popolarità riflette un desiderio più ampio di utilizzare i dati e le analisi probabilistiche per prendere decisioni più informate. Questi mercati, che consentono agli individui di scommettere su eventi futuri, fungono da strumenti per raccogliere e aggregare informazioni in modo che possano prevedere esiti con una sorprendente precisione.

Uno degli esempi più significativi di questa applicazione è rappresentato dal mercato predittivo delle elezioni presidenziali negli Stati Uniti. Numerosi studi hanno dimostrato che, anche quando i sondaggi tradizionali danno risultati contrastanti o poco chiari, i mercati predittivi riescono a stabilire con maggiore precisione il vincitore di una competizione elettorale. Questo successo è stato attribuito alla capacità dei mercati di "assorbire" rapidamente nuove informazioni e di reagire alle evoluzioni in tempo reale, come una reazione immediata alle dichiarazioni dei candidati o agli eventi politici.

Non solo nella politica, ma anche nei mercati finanziari, le previsioni basate sulle scommesse stanno trovando applicazioni sempre più ampie. Un esempio interessante riguarda l'analisi dei cosiddetti "anomalie del mercato", come il fenomeno delle "azioni sottovalutate" o "sovravalutate". I mercati predittivi, attraverso l'analisi collettiva dei partecipanti, sono in grado di identificare tendenze che i metodi tradizionali di analisi economica non riescono a cogliere. Questo fenomeno è legato all'idea che il comportamento collettivo può essere più preciso di un'analisi effettuata da esperti solitari.

La gestione delle informazioni è un altro aspetto cruciale. I mercati predittivi possono essere visti come una forma avanzata di raccolta e distribuzione dell'informazione. Oggi, con l'avvento dei social media, questi mercati stanno evolvendo ulteriormente, permettendo una comunicazione ancora più rapida e immediata di informazioni che alimentano la previsione. La connessione tra il comportamento degli utenti su piattaforme social e l'affidabilità delle previsioni si sta rivelando sempre più evidente. Ad esempio, la viralità di un certo argomento o evento nelle discussioni online può influenzare direttamente le scommesse dei partecipanti e modificare le previsioni in tempo reale, rendendo i mercati predittivi uno strumento ancora più dinamico e sensibile.

Inoltre, i mercati predittivi non sono semplicemente una questione di probabilità matematica. Essi implicano anche un'analisi psicologica e sociale, poiché gli individui non prendono decisioni in modo completamente razionale, ma sono influenzati da fattori emotivi, culturali e sociali. La teoria della decisione, che studia come le persone prendono decisioni sotto incertezza, offre importanti intuizioni su come i partecipanti ai mercati predittivi possano essere influenzati da dinamiche collettive, oltre che da dati oggettivi. L'inclusione di variabili comportamentali, come l'effetto della pressione sociale, è quindi fondamentale per interpretare correttamente le dinamiche che emergono nei mercati predittivi.

Come interpretare una probabilità in modo corretto: un approccio Bayesiano

La comprensione intuitiva comune tende a confondere due probabilità che, pur essendo apparentemente simili, sono molto differenti. Se un test diagnostico è accurato al 99%, questo significa che il 99% delle persone che possiedono il virus risulteranno positive al test. Tuttavia, questa affermazione non è equivalente a dire che il 99% delle persone che risultano positive al test siano effettivamente infette. Questo è un esempio del “paradosso dell'inverso” o “fallacia del procuratore”, dove la confusione tra probabilità condizionata e probabilità marginale è evidente. In effetti, queste due probabilità possono divergere in maniera significativa.

Per chiarire, si potrebbe pensare che con una probabilità di 99% di essere malati di influenza, il test sia perfettamente preciso. Ma questo confonde la probabilità di risultare positivi al test se si ha effettivamente l’influenza con la probabilità di avere l'influenza dato un risultato positivo—un errore molto comune che viene definito “fallacia inversa”. Allora, quale sarebbe la probabilità di essere realmente malati se si risulta positivi al test, dato che quest'ultimo è al 99% accurato? Per rispondere a questa domanda, possiamo utilizzare il teorema di Bayes.

Applicazione del teorema di Bayes

Il teorema di Bayes, come abbiamo visto, utilizza tre valori fondamentali:

1. La probabilità iniziale di avere l'influenza prima di fare il test, che nel nostro caso era stimata essere 1 su 100, ovvero 0,01.

2. La probabilità che il test dia un risultato positivo in caso di influenza, che sappiamo essere del 99% o 0,99, sulla base dell’accuratezza del test.

3. La probabilità che il test dia un risultato positivo nonostante non si abbia l'influenza, che è dell'1% o 0,01, anch’essa dovuta all'accuratezza del test.

Dove:

• $a$ è la probabilità iniziale (0,01),

• $b$ è la probabilità di un vero positivo (0,99),

• $c$ è la probabilità di un falso positivo (0,01).

Anche con un test così preciso, la probabilità che la persona abbia veramente l’influenza è pari al 50%. La logica dietro questo risultato controintuitivo si basa sul fatto che l’influenza è relativamente rara: solo 1 persona su 100 ha il virus. Mentre il test potrebbe essere preciso al 99%, dobbiamo considerare la bassa prevalenza della malattia tra chi si sottopone al test. Le probabilità di avere l'influenza prima del test e l'errore del test sono entrambe 1 su 100, e quindi la probabilità che una persona positiva sia veramente infetta è di 1 su 2. Questo fenomeno dipende dalla competizione tra la rarità del virus e l'accuratezza del test.

Il ruolo dei sintomi e delle probabilità iniziali

L’importanza delle probabilità iniziali e della rarità

La probabilità che il test risulti positivo dipende anche dalla rarità della malattia. Nel nostro esempio, l’influenza è relativamente rara (1 su 100), e questo influisce significativamente sulla probabilità che una persona positiva sia effettivamente malata. Le probabilità iniziali, che indicano quanto è rara la malattia, sono determinanti. La probabilità che il risultato positivo corrisponda effettivamente alla malattia è legata tanto alla rarità della condizione quanto all'affidabilità del test. È questo bilanciamento tra probabilità di base e accuratezza del test che determina il risultato finale.

Estensione dell'approccio Bayesiano a diversi ambiti

Sebbene abbiamo utilizzato l'esempio del test influenzale, i principi del teorema di Bayes si applicano ben oltre la medicina. In vari contesti, come in tribunale o nel mondo degli affari, quando si ricevono nuove evidenze è necessario aggiornare le proprie convinzioni. Ogni nuovo dato deve essere pesato rispetto al contesto generale e alle probabilità iniziali. Un singolo elemento di prova non dovrebbe mai essere preso come decisivo senza considerare il quadro complessivo. È fondamentale non lasciarsi ingannare da ciò che sembra intuitivo, ma riflettere sulla probabilità di base e su come i nuovi dati si inseriscano in essa.

Rarità e il problema del "beetle" di Bayes

Un esempio interessante che mette in luce l’importanza delle probabilità di base è il “problema del coleottero di Bayes”. Immagina di essere in una passeggiata in campagna e di vedere un coleottero con un motivo attraente. Questo motivo è molto comune (98%) in una specie rara di coleotteri, che costituisce solo lo 0,1% della popolazione di coleotteri. Allo stesso tempo, questo motivo appare anche nel 5% dei coleotteri comuni. Qual è la probabilità che il coleottero che hai trovato sia raro?

Anche se intuitivamente si potrebbe pensare che il motivo speciale sia indice di una specie rara, Bayes ci offre un approccio più logico per valutare le probabilità. Nonostante il motivo sia associato ai coleotteri rari, la loro bassa frequenza e la presenza del motivo sui coleotteri comuni influenzano notevolmente la probabilità. La probabilità che il coleottero osservato sia raro è sorprendentemente bassa, circa l’1,92%, nonostante il motivo speciale.

Conclusioni

Questa riflessione ci insegna che la probabilità di base, ovvero la rarità di un evento, può influenzare pesantemente la nostra interpretazione di un risultato. È importante che le probabilità siano sempre calcolate in modo accurato, senza cedere all’intuizione superficiale. La probabilità di eventi rari, come nel caso del coleottero o nel contesto medico, deve sempre essere esaminata attentamente alla luce delle informazioni contestuali.