Nel contesto delle teorie incrementali per i problemi non lineari, un aspetto fondamentale è la selezione di misure di stress e deformazione che siano coniugate in modo appropriato. Con il termine "coniugato", si intende che le misure di stress e deformazione selezionate, rispetto a una configurazione di riferimento specifica, possano rappresentare in modo coerente la misura dell'energia del solido nella configurazione attuale. L'uso di espressioni che non sono appropriatamente coniugate manca di una base fisica valida. Una metodologia sicura per selezionare coppie di stress e deformazione coniugate consiste nel derivare il principio degli spostamenti virtuali per il problema in questione.

Se la configurazione deformata attuale C2C_2 è scelta come riferimento, è stato dimostrato che il tensore di stress di Cauchy τij2\tau_{ij}^2 e il tensore di deformazione infinitesimale eij2e_{ij}^2 formano una coppia coniugata. Per la formulazione TL (Total Lagrangian), dove la configurazione di riferimento è C0C_0, possiamo selezionare il secondo tensore di stress di Kirchhoff Sij0S_{ij}^0 e il tensore di deformazione di Green-Lagrange εij0\varepsilon_{ij}^0 come coppia coniugata. Analogamente, nella formulazione UL (Updated Lagrangian), che si riferisce alla configurazione C1C_1, possiamo scegliere il tensore di stress di Kirchhoff aggiornato Sij1S_{ij}^1 e il tensore di incrementi di deformazione di Green aggiornato εij1\varepsilon_{ij}^1 come possibili coppie coniugate.

Questa selezione appropriata delle misure di stress e deformazione è cruciale anche nella derivazione dei coefficienti materiali per le leggi costitutive incrementali. Per esempio, per la formulazione TL, la legge costitutiva può essere espressa in termini di incrementi di stress Sij0S_{ij}^0 e di deformazione εij0\varepsilon_{ij}^0, mentre per la formulazione UL la legge costitutiva sarà espressa tramite incrementi di stress aggiornati Sij1S_{ij}^1 e incrementi di deformazione aggiornati εij1\varepsilon_{ij}^1.

In letteratura sono stati proposti numerosi leggi costitutive che coprono una vasta gamma di materiali, dai comportamenti elastici, viscoelastici fino ai comportamenti plastici. Lo scopo non è fare una panoramica completa delle leggi costitutive, ma concentrarsi sulla derivazione di procedure efficaci per l'incorporazione nell'analisi non lineare incrementale di strutture elastiche basate sulle formulazioni lagrangiane.

Quando si derivano le matrici per l'analisi non lineare incrementale tramite il metodo degli elementi finiti, è necessario esprimere le relazioni di stress e deformazione in una forma incrementale. Ad esempio, per la formulazione TL, la legge costitutiva può essere espressa in termini di incrementi di stress di Kirchhoff Sij0S_{ij}^0 e incrementi di deformazione di Green εij0\varepsilon_{ij}^0, come segue:

Sij0=Cijkl0εkl0S_{ij}^0 = C_{ijkl}^0 \varepsilon_{kl}^0

Dove Cijkl0C_{ijkl}^0 è il tensore costitutivo incrementale rispetto alla configurazione C0C_0. Parallelamente, per la formulazione UL, la legge costitutiva può essere espressa in termini di incrementi di stress di Kirchhoff aggiornati Sij1S_{ij}^1 e incrementi di deformazione di Green aggiornati εij1\varepsilon_{ij}^1:

Sij1=Cijkl1εkl1S_{ij}^1 = C_{ijkl}^1 \varepsilon_{kl}^1

Dove Cijkl1C_{ijkl}^1 è il tensore costitutivo incrementale rispetto alla configurazione C1C_1. In molte situazioni, non viene fatta una distinzione tra i coefficienti costitutivi Cijkl0C_{ijkl}^0 e Cijkl1C_{ijkl}^1, che sono considerati uguali nelle formulazioni totale e UL. Questo è valido solo per problemi a piccole deformazioni, dove le deformazioni di ciascun elemento della struttura sono considerate piccole in ogni passo incrementale. Tuttavia, nei problemi a grandi deformazioni, le curve carico-spostamento possono differire notevolmente, specialmente nella risposta post-buckling.

Per risolvere le differenze nelle configurazioni di riferimento tra le formulazioni totale e UL, è necessario applicare una trasformazione del quarto ordine, che consenta di convertire i coefficienti materiali da una formulazione all'altra. Le seguenti relazioni di trasformazione sono valide per i tensori costitutivi:

Cijkl0=ρ1ρ0∂x1∂x0∂x2∂x0∂x3∂x0Cpqrs1C_{ijkl}^0 = \frac{\rho_1}{\rho_0} \frac{\partial x_1}{\partial x_0} \frac{\partial x_2}{\partial x_0} \frac{\partial x_3}{\partial x_0} C_{pqrs}^1
Cijkl1=ρ0ρ1∂x0∂x1∂x0∂x2∂x0∂x3Cpqrs0C_{ijkl}^1 = \frac{\rho_0}{\rho_1} \frac{\partial x_0}{\partial x_1} \frac{\partial x_0}{\partial x_2} \frac{\partial x_0}{\partial x_3} C_{pqrs}^0

Queste trasformazioni consentono di ridurre la necessità di definire due set separati di coefficienti materiali, in quanto, conoscendo un set (ad esempio Cijkl0C_{ijkl}^0), è possibile ottenere l'altro set tramite trasformazione. Ciò garantisce che le proprietà materiali implicate dalle formulazioni totale e UL siano fisicamente identiche, a condizione che vengano utilizzati gli stessi passi incrementali in entrambe le formulazioni.

In alternativa, le leggi costitutive possono essere definite utilizzando i tensori di stress Piola-Kirchhoff Sij2S_{ij}^2 e le deformazioni di Green-Lagrange εij2\varepsilon_{ij}^2, che sono coniugati energeticamente. Queste leggi possono essere definite sperimentalmente o per postulato come:

Sij2=f(εij2)S_{ij}^2 = f(\varepsilon_{ij}^2)

Dove ff è una funzione monovalente. Dividendo il movimento del solido dalla configurazione C0C_0 a C2C_2 in un numero infinito di passi infinitesimali, si può derivare una legge differenziale per il materiale dalla configurazione C1C_1 alla configurazione C2C_2, come segue:

dSij2=f′(εij1)dεij2d S_{ij}^2 = f'(\varepsilon_{ij}^1) d \varepsilon_{ij}^2

Se il passo da C1C_1 a C2C_2 non è infinitesimale, ma di dimensioni finite, si possono sostituire le grandezze differenziali con gli incrementi di stress Sij0S_{ij}^0 e di deformazione εij0\varepsilon_{ij}^0, e riscrivere la legge come segue:

Sij0=f′(εij1)εij0S_{ij}^0 = f'(\varepsilon_{ij}^1) \varepsilon_{ij}^0

Questa relazione, confrontata con l'espressione per la formulazione TL, rivela che i coefficienti materiali Cijkl0C_{ijkl}^0 possono essere approssimativamente presi come il modulo tangente della curva stress-deformazione, f′(εij1)f'(\varepsilon_{ij}^1). Gli errori introdotti da questa approssimazione lineare possono essere rimossi attraverso una continuazione delle deformazioni.

Qual è il significato del Principio degli Spostamenti Virtuali nell’equilibrio dei solidi deformabili?

Nel contesto della meccanica dei solidi deformabili, l’equilibrio di un corpo nella configurazione deformata richiede che le tensioni interne, rappresentate dal tensore di Cauchy, soddisfino le equazioni di equilibrio in ogni punto del volume. Tali equazioni sono formulate in coordinate cartesiane e riflettono la necessità che la somma delle forze interne e delle forze di corpo sia nulla. La simmetria delle tensioni di Cauchy emerge naturalmente da queste condizioni di equilibrio, risultando in un tensore delle tensioni che è simmetrico rispetto agli indici.

La superficie del solido può essere suddivisa in due porzioni: una su cui sono prescritte le trazioni esterne, e l’altra su cui sono imposti gli spostamenti. Le prime rappresentano le condizioni al contorno di tipo naturale o meccanico, mentre le seconde quelle geometriche o rigide. Entrambe devono essere soddisfatte nella configurazione deformata affinché l’analisi sia esatta.

Un campo di tensioni che soddisfa le equazioni di equilibrio e le condizioni naturali al contorno è detto ammissibile staticamente. Analogamente, un campo di spostamenti che rispetta le condizioni rigide e possiede derivate prime continue all’interno del solido è detto ammissibile cinematicamente. Gli spostamenti virtuali sono variazioni infinitesimali rispetto alla configurazione d’equilibrio, e per definizione devono annullarsi sui bordi dove gli spostamenti reali sono prescritti.

Sotto l’ipotesi che i carichi rimangano invariati durante tali spostamenti virtuali, il lavoro virtuale esterno può essere espresso come la somma del contributo delle trazioni superficiali e delle forze di corpo. Utilizzando il teorema della divergenza, questo lavoro può essere trasformato in un integrale di volume, che include le tensioni moltiplicate per i gradienti degli spostamenti virtuali.

Scomponendo tali gradienti in una parte simmetrica (la deformazione virtuale) e una antisimmetrica (la rotazione virtuale), si osserva che il prodotto scalare tra il tensore delle tensioni, simmetrico, e la parte antisimmetrica del gradiente, si annulla. Ne consegue che il lavoro virtuale interno è interamente dovuto al prodotto tra le tensioni e le deformazioni virtuali.

Questa identità stabilisce il principio degli spostamenti virtuali: per ogni campo cinematicamente ammissibile di spostamenti virtuali, il lavoro interno deve essere uguale al lavoro esterno. Tale principio costituisce una condizione necessaria e sufficiente per garantire l’equilibrio del corpo solido con le condizioni al contorno assegnate. In altre parole, se il principio è soddisfatto per ogni variazione ammissibile, allora il campo di tensioni rispetta le equazioni di equilibrio e le condizioni naturali.

Una delle implicazioni fondamentali del principio è la coniugazione tra il tensore delle tensioni di Cauchy e il tensore delle deformazioni infinitesimali nel contesto del lavoro virtuale. Questo legame non solo conferma la coerenza della formulazione teorica, ma fornisce anche una base solida per lo sviluppo di metodi numerici.

Rispetto ad altri principi energetici, come il principio del minimo dell’energia potenziale, quello degli spostamenti virtuali offre una maggiore generalità. Non richiede infatti né l’assunzione di leggi costitutive elastiche né di carichi conservativi. La derivazione non impone alcuna restrizione sulla natura del materiale né sulla dipendenza del carico dal cammino. Questo lo rende uno strumento particolarmente potente nell’analisi di strutture soggette a grandi deformazioni o comportamenti materiali complessi.

Un ulteriore vantaggio risiede nella capacità del principio di incorporare effetti geometrici non lineari attraverso la considerazione di componenti non lineari delle deformazioni. Questo sarà formalizzato tramite le formulazioni lagrangiane incrementali, che permettono di esprimere l’equazione del lavoro virtuale riferendola a configurazioni note del corpo, come quella iniziale o l’ultima calcolata. Tali formulazioni costituiscono la base per la costruzione degli elementi finiti nelle analisi non lineari.

È importante comprendere che l’adozione del principio degli spostamenti virtuali non è solo una scelta tecnica o convenzionale. È una scelta metodologica che permette di trattare in modo coerente problemi complessi, mantenendo l’equilibrio come vincolo centrale e fornendo una struttura robusta per l'estensione a materiali non lineari, carichi dipendenti dal tempo, o configurazioni geometricamente instabili. Inoltre, la formulazione resta valida anche quando l’analisi si sposta dalla meccanica continua verso modelli computazionali discreti, come nel metodo degli elementi finiti.

Quali metodi diretti per la risoluzione dei sistemi lineari sono più efficaci nella meccanica strutturale?

Nell'ambito dell'analisi lineare delle strutture, la risoluzione dei sistemi di equazioni algebriche di elevata dimensione rappresenta un passaggio cruciale per la determinazione degli spostamenti e delle sollecitazioni. I metodi per affrontare tali sistemi si dividono principalmente in due categorie: i metodi diretti e i metodi iterativi. Nel contesto dei problemi lineari, i metodi iterativi, caratterizzati da un processo ripetuto di approssimazione che può richiedere numerose iterazioni, risultano meno indicati, specialmente quando si affrontano sistemi non lineari o instabili. Pertanto, in questa trattazione, si privilegiano i metodi diretti, con particolare attenzione alle tecniche di scomposizione della matrice di rigidezza.

Fra i metodi diretti, l'eliminazione di Gauss è storicamente il più diffuso per la risoluzione di sistemi simultanei, ma non sempre è la scelta ottimale per problemi strutturali complessi, soprattutto quando si tratta di matrici di rigidezza non positive-definite. È quindi essenziale considerare la natura della matrice di rigidezza: essa può essere positiva-definita (tutti gli autovalori positivi), positiva semidefinita (autovalori maggiori o uguali a zero) o indefinita (autovalori positivi, nulli o negativi). Questa classificazione è fondamentale nell'analisi di carichi critici e nel comportamento post-instabilità delle strutture.

Per strutture conservative, in cui il lavoro compiuto dalle forze esterne dipende esclusivamente dalle configurazioni iniziali e finali, la matrice di rigidezza è simmetrica. Ciò consente di applicare fattorizzazioni specifiche come la scomposizione di Cholesky, dove la matrice viene espressa come prodotto di una matrice triangolare inferiore, una matrice diagonale e la trasposta della matrice triangolare inferiore. Tuttavia, la versione classica di Cholesky richiede che la matrice sia positiva-definita, limitando la sua applicazione.

Per superare queste limitazioni, è stato sviluppato il metodo di Cholesky modificato o tripla fattorizzazione, che assegna l’unità agli elementi diagonali della matrice triangolare inferiore e modifica le formule di ricorrenza per permettere la scomposizione anche di matrici indefinite. Questo metodo evita problemi numerici legati alla radice quadrata di numeri negativi e permette di analizzare efficacemente sia sistemi stabili che instabili. Oltre al vantaggio computazionale, questa decomposizione ha ulteriori proprietà: il determinante della matrice di rigidezza coincide con il prodotto degli elementi diagonali della matrice D, e il numero di elementi negativi in D è pari al numero di autovalori negativi della matrice K, proprietà nota come sequenza di Sturm.

L’adozione di questa fattorizzazione consente di trasformare il sistema originale in una forma più agevole da risolvere attraverso sostituzioni in avanti e indietro, facilitando il calcolo degli spostamenti strutturali. Dopo aver determinato gli spostamenti globali, si possono ottenere quelli relativi agli elementi strutturali, permettendo la valutazione delle forze interne attraverso la moltiplicazione per le rispettive matrici di rigidezza degli elementi.

È importante notare che questi metodi sono alla base dell’analisi di strutture lineari, come telai e tralicci, e rappresentano un presupposto fondamentale per la comprensione e la successiva trattazione di fenomeni non lineari più complessi.

Oltre alla descrizione tecnica dei metodi di soluzione, è cruciale per il lettore comprendere come la natura della matrice di rigidezza influenzi la stabilità e la risposta strutturale, e come la scelta del metodo di fattorizzazione possa condizionare l’efficacia e la robustezza della soluzione numerica. La capacità di riconoscere e gestire matrici indefinite è fondamentale per l’analisi di situazioni critiche, quali il carico limite e il comportamento post-instabilità, dove le proprietà matematiche della matrice di rigidezza diventano indicatori diretti della sicurezza strutturale.

Inoltre, l’uso del metodo di Cholesky modificato permette di affrontare problematiche numeriche complesse senza compromettere la precisione della soluzione, aspetto particolarmente rilevante nelle applicazioni ingegneristiche pratiche dove l’affidabilità del modello computazionale è imprescindibile.

Il passaggio dalla risoluzione globale agli spostamenti e alle forze degli elementi individuali sottolinea l’importanza di una modellazione accurata della connettività geometrica e dei vincoli, poiché questi determinano le condizioni al contorno essenziali per una corretta interpretazione dei risultati.

La padronanza di queste tecniche e concetti è dunque imprescindibile per chiunque voglia approfondire l’analisi strutturale computazionale, poiché costituisce la base necessaria per affrontare con sicurezza le sfide poste dalla non linearità e dall’instabilità strutturale.

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