Mi az entrópia szerepe a gépi tanulásban és a modellkiválasztásban?

Az entrópia fogalma központi szerepet játszik a gépi tanulásban, különösen a modellkiválasztás elméleti alapjainál. Eredetileg Claude Shannon vezette be 1948-ban, az információelmélet megalapozásaként, és azóta is az információ mennyiségének, illetve a bizonytalanság mértékének matematikai reprezentációjaként szolgál. Egy esemény entrópiája azt jelzi, hogy mennyi új információt hordoz az esemény bekövetkezése.

H(f) = −p log₂ p − (1 − p) log₂ (1 − p) ≤ 1 bit

Az entrópia maximuma akkor érhető el, ha p = 0.5, azaz ha a pénz teljesen kiegyensúlyozott. Ilyenkor minden dobás maximális információt hordoz, mivel semmit nem tudunk előre. Ha viszont a pénz teljesen elfogult, és például mindig fej jön ki, akkor minden dobás eredménye előre ismert, így az entrópia nullára csökken: nincs új információ.

A modellillesztés során fontos kérdés, hogy mennyire képes egy paraméterezett valószínűségi modell, például g(y|θ), visszaadni az adatok valódi eloszlását, f(y). Ennek mérésére szolgál a keresztentrópia fogalma:

H(f, g) = − ∑ f(y) log₂ g(y|θ) ≥ H(f)

A keresztentrópia mindig nagyobb vagy egyenlő az eredeti entrópiával, és minimális értéket akkor vesz fel, ha g = f, azaz a modell tökéletesen illeszkedik az adatok eloszlásához. Ha például p = 0.7 (a valóság), és p_θ = 0.68 (a modell becslése), akkor:

H(f, g) = −0.7 log₂ 0.68 − 0.3 log₂ 0.32 ≈ 0.8826

Ez az érték mutatja, hogy a modell mennyire „távol” van a valóságtól információs értelemben.

Ha most visszatérünk egy konkrét példához, amelyben két modellt hasonlítunk össze – az egyik a teljes adatot reprezentálja (g), a másik csak egyes jellemző aspektusokat (h) – akkor a keresztentrópia értéke alapján eldönthető, hogy melyik modell illeszkedik jobban. Például ha modell h minden megfigyelésnél 0.9-es valószínűséget ad a helyes kimenetelre, akkor a keresztentrópia értéke −log₂(0.9) ≈ 0.152 minden megfigyelésre, és ez összeadva adja a teljes negatív log-likelihood értéket. Ha viszont h = g, akkor minden megfigyelés pontosan 1.0 valószínűséggel jelenik meg a modellben, így −log₂(1.0) = 0, azaz nincs veszteség.

Ez a megközelítés nemcsak a bináris klasszifikációban érvényes, hanem tetszőleges diszkrét valószínűségi modellek esetén is. A keresztentrópia mint mérték precízen kvantifikálja a modell pontosságát – nemcsak azt, hogy helyes-e az előrejelzés, hanem azt is, mennyire magabiztos a modell a jóslatában. E tulajdonsága miatt a keresztentrópiát gyakran használják veszteségfüggvényként mélytanulási modellek betanítása során is.

Fontos megérteni, hogy az entrópia és a keresztentrópia nemcsak elméleti fogalmak, hanem gyakorlati eszközök is a modellek értékelésében és optimalizálásában. Az entrópia megmutatja, hogy mennyi a belső bizonytalanság egy adott eloszlásban. A keresztentrópia pedig azt méri, hogy egy becsült modell mennyire jól ragadja meg ezt az eloszlást. A különbség közöttük – az ún. Kullback–Leibler divergencia – pedig az információelméleti távolságot mutatja a valóság és a modell között. Ez a gondolat mélyebb rétegeket tár fel: a modellezés nem más, mint az ismeretlenség csökkentése, és minél pontosabb a modell, annál kevesebb a többletinformáció-veszteség, amely a valóságtól való eltérésből származik.

Milyen előrejelző modellek és módszerek alkalmazhatók pénzügyi idősort elemzésére?

A pénzügyi idősort modellező különböző módszerek és tesztek alapvetően különböző feltételezéseken és számítási technikákon alapulnak. Az egyik legfontosabb különbség az, hogy egyes modellek az időbeli adatok statisztikai tulajdonságait, míg mások a valószínűségi elméletet használják az adatok előrejelzésére és elemzésére. A rejtett Markov-modellek (HMM), a Kalman-szűrési algoritmusok és a részecskeszűrési eljárások mind olyan módszerek, amelyek nagyobb rugalmasságot kínálnak a nem-stacionárius pénzügyi idősorok modellezésében.

A rejtett Markov-modellek (HMM) például lehetővé teszik a különböző rejtett állapotok (mint a piaci trendek) modellezését. A piaci állapotok, mint például a medve- vagy bika-piaci fázisok, nem közvetlenül mérhetők, de a pénzügyi adatok alapján valószínűségekkel megjósolhatók. Az ilyen modellekben az állapotokat (például piaci fázisokat) nem lehet közvetlenül megfigyelni, csak az azokat befolyásoló megfigyeléseket (mint a részvényárfolyamok alakulása) láthatjuk. A rendszer folyamatosan alkalmazkodik az új megfigyelésekhez, és az egyes állapotok közötti valószínűségi átmenetek határozzák meg a jövőbeli viselkedést.

A HMM-ekben a megfigyelések és a rejtett állapotok közötti kapcsolatok a következőképpen ábrázolhatók: az egyes időpontokban a rendszer rejtett állapotot vesz fel, és ezen állapotok határozzák meg a következő megfigyelést. Az átmeneti valószínűségek és az emissziós valószínűségek közötti kapcsolat segít abban, hogy a modell az egyes állapotokat előre jelezze a következő időpontokra. Például egy medve-piacon a részvényárfolyamok valószínűleg csökkenni fognak, míg egy bika-piacon emelkedni.

A Baum-Welch algoritmus és a Viterbi algoritmus segítségével optimalizálhatjuk a modellt, hogy pontosabb előrejelzéseket kapjunk a rejtett állapotok áramlásáról. A Baum-Welch algoritmus iteratív módon becsli a legjobb valószínűségeket, míg a Viterbi algoritmus a legvalószínűbb állapotseqvenciát keresik. Ez a fajta valószínűségi modellezés lehetőséget ad arra, hogy a pénzügyi piacon zajló rejtett, nem látható dinamikákat is figyelembe vegyük.

Az idősorok modellezésének másik nagy kihívása a nem-stacionaritás. A legtöbb klasszikus pénzügyi modell, például az ARIMA vagy GARCH modellek, feltételezik, hogy az adatok stacionáriusak, azaz statisztikai jellemzőik az idő előrehaladtával nem változnak. Azonban a valós pénzügyi piacok gyakran nem stacionáriusak, és az ilyen modellek nem mindig képesek pontosan előre jelezni az áringadozásokat vagy a volatilitást. Itt jönnek be a Kalman-szűrők és a részecskeszűrési algoritmusok, amelyek képesek alkalmazkodni a dinamikusan változó adatstruktúrákhoz, és így jobban kezelhetők a valós piaci környezetek.

A részecskeszűrés egy másik erőteljes módszer, amely a Kalman-szűrőhöz hasonlóan képes dinamikusan modellezni az időbeli változásokat, de a részecskeszűrés több lehetséges állapotot is figyelembe vesz. A részecskeszűrés alkalmazása során a modell "részecskéket" hoz létre, amelyek az egyes lehetséges állapotok valószínűségi eloszlásait reprezentálják, és folyamatosan frissítik őket, ahogy az új adatok érkeznek. Ez különösen fontos lehet akkor, amikor a pénzügyi idősorok nagyon bonyolultak és nem követhetők egyszerű lineáris modellekkel.

A pénzügyi idősort modellezve és a különböző algoritmusokat alkalmazva nemcsak a múltbeli adatok megértésére van lehetőség, hanem a jövőbeli piaci viselkedés előrejelzésére is. Azonban fontos figyelembe venni, hogy bár ezek a modellek hatékonyan kezelhetik az időbeli dinamikát és a valószínűségi változásokat, soha nem garantálják a tökéletes előrejelzést. A piaci környezetek dinamikája, valamint a globális és helyi gazdasági tényezők gyakran olyan hatásokkal bírnak, amelyek kívül esnek a modellek előrejelzési képességein.

Ezért nemcsak a modellek matematikai és statisztikai alapjait kell jól megérteni, hanem a piaci környezetek folyamatos változásait is figyelembe kell venni, hogy a pénzügyi döntések a legnagyobb valószínűséggel helyesek legyenek.

Hogyan alkalmazhatók a legkisebb négyzetek politikai iterációs módszerei (LSPI) pénzügyi környezetben?

A minimális kockázatú és maximalizált jutalom elérésének kérdése közvetlenül összefonódik az optimalizálás fogalmával. Az optimális hosszú távú átlagos jutalom, melyet a politika követése során kapunk, egyfajta célt jelent a különböző tanulási algoritmusok számára. A probléma minimizálása, vagyis a "megbánás" csökkentése lényegében a teljes jutalom maximalizálásának kérdését jelenti. Az online tanulás, különösen, amikor Markov döntési folyamatok (MDP) alkalmazásával végezzük, érdekes lehet pénzügyi alkalmazások esetén, mint például intranapi kereskedés, ahol a politika folyamatosan változik az új adatok alapján.

Egy jellemző eljárás az off-line és online tanulás kombinációja, amely az élmény-visszajátszásra épít. Ezt a kombinációt gyakran stabilabb és hatékonyabb megoldások eredményezik, mint a tisztán online tanulás.

A legkisebb négyzetek politikai iterációja (LSPI) egy modellek nélküli, off-policy módszer, amely a politikát folyamatosan javítja az adatok alapján. Ez a módszer a minták felhasználásával próbálja meghatározni az optimális politikát. Az LSPI főként olyan esetekben alkalmazható, ahol az állapot-akció értékelésekre van szükség, és a minták újrahasznosításával javíthatók a modellek. Az LSPI az iterációk során egy lineáris architektúrát használ, amely az akció-érték függvényt lineárisan bővíti egy alapszolgáltatás-készlet segítségével.

A LSPI módszer alapja az, hogy a megoldandó probléma minden időpontban egy adott politkára (π) vonatkozó akció-érték függvényt számít ki. Ehhez először egy alapfüggvény-készletet választunk ki, amelynek elég kifejezőnek kell lennie ahhoz, hogy a valós optimális akció-érték függvények nagyjából benne legyenek. A politika frissítése minden iteráció során megtörténik, miközben a súlyokat, azaz a W értékeket a megfelelő akció-értékek kiszámításához hozzáigazítják.

A módszert folyamatosan alkalmazzák, amíg el nem érik a konvergenciát, azaz a politikai és értékváltozások már nem vezetnek érdemi változásokhoz. Ezt követően az LSPI képes megjósolni a legjobb döntést, és a legjobb akciót biztosítani minden egyes időpontban. A módszert akkor is alkalmazhatjuk, amikor az állapot és akciótér folyamatos.

Pénzügyi kontextusban, például a portfóliók optimalizálásánál, az LSPI módszert alkalmazhatjuk a kockázat és hozam optimalizálására. Az alábbi példa mutatja be, hogy hogyan használhatjuk ezt a módszert egy egyszerűbb pénzügyi problémában. Tegyük fel, hogy egy befektető az időszakok során egy kockázatos eszközbe és egy kockázatmentes banki betétbe kíván befektetni. Az LSPI alkalmazásával meghatározható, hogy a legjobb allokációk miként változnak az idő során, és hogyan javítható a hozam, miközben minimalizáljuk a kockázatot.

Az LSPI algoritmus lényege tehát abban rejlik, hogy iteratív módon képes optimalizálni a politikát, miközben a politika és a kapcsolódó akciók értékelése mindig a legjobb döntés meghozatalát célozza. Az ilyen típusú tanulás különösen hasznos a pénzügyi alkalmazásokban, ahol a döntéshozatal gyakran bonyolult, és valós időben történik.

A fontos megjegyzés, hogy az LSPI különböző típusú probléma-összefüggésekben alkalmazható, mint például a folyamatos állapot- és akciótérrel rendelkező rendszerek, de egy-egy adott piaci helyzetben vagy az alkalmazott modell finomságaitól függően a módszer más típusú optimalizálási technikákkal is kombinálható. Azonban mindig fontos figyelni arra, hogy a politika és a döntési folyamatok folyamatosan változhatnak a különböző időpontokban, ezért az algoritmus iteratív természetét teljes mértékben ki kell használni.