A következő határérték-probléma megoldásának létezését szeretnénk bizonyítani a Laplace-egyenletre:

−Δu=0,az Ω tartomaˊnyban,u=g,a ∂Ω hataˊron.\begin{aligned} -\Delta u &= 0, \quad \text{az } \Omega \text{ tartományban,} \\ u &= g, \quad \text{a }\partial \Omega \text{ határon.}
\end{aligned}

Itt Ω⊂Rn\Omega \subset \mathbb{R}^n egy sima, korlátos nyílt halmaz, és gg egy adott sima függvény. A 1.5.1 tétel alapján (más néven Dirichlet-elv), tudjuk, hogy a probléma megoldása egy olyan függvény keresésére redukálódik, amely minimalizálja a következő funkcionált:

inf⁡u∈C2(Ω),u=g a ∂Ω hataˊron∫Ω∣∇u∣2 dx.\inf_{u \in C^2(\Omega), u = g \text{ a } \partial \Omega \text{ határon}} \int_{\Omega} |\nabla u|^2 \, dx.

Ez tehát azt jelenti, hogy egy minimális megoldót kell találnunk, és ehhez egy megfelelő funkcionált kell vizsgálnunk. Hogyan bizonyíthatjuk a minimizátor létezését? Az első évfolyamos matematika analízis kurzusok egyik klasszikus eredménye, a Weierstrass-tétel, segíthet egy lehetséges stratégia felvázolásában. Azonban a Weierstrass-tétel közvetlen alkalmazása nem lehetséges a szokásos formájában, mivel az a véges dimenziós, kompakt halmazokon definiált folytonos függvényekre vonatkozik. Ezzel szemben a mi funkcionálunk végtelen dimenziós térben van definiálva, nevezetesen a következő térben:

C2(Ω,g)={u∈C2(Ω):u=g a ∂Ω hataˊron}.C^2(\Omega, g) = \left\{ u \in C^2(\Omega) : u = g \text{ a } \partial \Omega \text{ határon} \right\}.

Ezért meg kell próbálnunk egy olyan módszert találni, amely alkalmazható a végtelen dimenziós térre. Az első lépés az, hogy minimizáló sorozatot választunk, azaz egy olyan sorozatot, amely kielégíti az alábbi feltételt:

F(un)≤m+1,minden n∈N,F(u_n) \leq m + 1, \quad \text{minden } n \in \mathbb{N},

ahol m=inf⁡u∈C2(Ω),u=g a ∂Ω hataˊron∫Ω∣∇u∣2 dxm = \inf_{u \in C^2(\Omega), u = g \text{ a } \partial \Omega \text{ határon}} \int_{\Omega} |\nabla u|^2 \, dx, és így a minimizáló sorozat létezése következik a definícióból.

A Weierstrass-tétel második lépése az, hogy egy kompakt halmazban lévő sorozat konvergál, legalább egy alosorozaton. Azonban az általunk vizsgált térben, Ω\Omega esetében, ez a lépés nem igaz, mivel a C2(Ω,g)C^2(\Omega, g) tér nem sorozat-kompakt. Például vegyük Ω=[−1,1]\Omega = [-1,1], g=1g = 1 és az alábbi sorozatot:

un(t)=1+1n(1+t2−1),n∈N∖{0}.u_n(t) = 1 + \frac{1}{n} \left( \sqrt{1 + t^2} - 1 \right), \quad n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}.