A Paddington Basin Rolling Bridge Londonban egy különleges híd, mely háromszög alakú szegmensekből áll, és rendkívül jól modellezhető a VisuMatica program segítségével. Az M1.2 modell (lásd: Folding segment to circle INVOLUTE, Colored Triangles.grh fájl) kongruens derékszögű háromszögekből épül fel, és két paramétertől függ: k, ami a háromszögek számát jelöli, és t, amely a hajtogatás mértékét írja le, 0 és 1 közötti értékekkel. Az analógia könnyen megtalálható a poligonális láncok esetében, amelyek a 1.1-es modellben egy szegmensek felé konvergálnak. Azonban fontos észrevenni néhány különbséget.

Az egyik, hogy a lánc x-tengelyre vetített hossza (10. ábra) nem függ k-tól. A háromszögek alapjainak összege (S) nem változik a hajtogatás során, de k-tól függ. Ha t = 0, a k értékének növelésével a háromszögek által elfoglalt x-tengelybeli szakasz hossza nő. Ez korlátozott, de közelít a kör hosszához. Így, ha k → ∞, akkor S → kör hossza. Hasonlóan a 1.1-es modellhez, a háromszögek oldalaiból formálódó poligonális lánc hossza 2S, és ez a kör hosszára konvergál. Az alsó sor a 11. ábrán bemutatja, hogy mindkét poligonális lánc körre konvergál. Így a következő határértéket kifejezően:

lim⁡k→∞S=lim⁡k→∞2S=2×lim⁡k→∞S⇒lim⁡k→∞S=0.\lim_{k \to \infty} S = \lim_{k \to \infty} 2S = 2 \times \lim_{k \to \infty} S \Rightarrow \lim_{k \to \infty} S = 0.

A fenti szofizmus hamisságának magyarázata egy fontos feladatot kínál: tekintsük a görbe hosszát úgy, hogy egy szakasz hosszának tekintjük, amit a görbe "egyenesítésével" nyerünk, és magát a görbét úgy, mint amit a lineáris szakasz "hajlítása" eredményezett. Az M1.3 modell (Folding segment to circle INVOLUTE with Segments.grh fájl) szemlélteti a "valódi" hajlítási folyamatot, és segít megérteni a S és a körhossz közötti különbséget és kapcsolatot. A modellben szereplő paraméterek: c, amely a szegmensek számát szabályozza, és k, amely a hajlított ív szögét határozza meg.

A k értékének változtatásával a vízszintes x-tengely szakaszát hajlítjuk a görbére. A már hajlított szakasz — a körív — szivárványszínűvé válik, és előképe, az x-tengely egy szakasza is ugyanazt a színt kapja. Az involútív görbe kiemeli a megfelelést, miközben a körív és a szegmens megfelelő pontjai azonos színt kapnak. Az M1.4 modell (Approximation 2 circle WRONG length.grh fájl) numerikusan illusztrálja a fentebb tárgyalt értékeket.

A modellben a zöld szabályos sokszög oldalainak számát c jelöli, és a k paraméterek a hajlítás során végbemenő változásokat ábrázolják. Ha c értékét növeljük (például c = 10 és c = 100), akkor megfigyelhetjük, hogyan változnak az összesített hosszak, és pontos tendenciákat találhatunk a körhosszra való konvergálás során.

A geometriai folyamatok, amelyeket a modell bemutat, lehetővé teszik számunkra, hogy jobban megértsük a görbék és azok hosszának fogalmát, valamint azokat a konvergenciákat, amelyek a görbék meghatározásakor jelentkeznek. Ezen kívül lehetőség van arra, hogy az egyes szegmensek és az ív hossza közötti viszonyokat vizsgáljuk, illetve a pontok közötti összefüggéseket és azok változásait nyomon kövessük.

A térkitöltő görbék az egyik legérdekesebb példa arra, hogyan növekvő összegű szegmensek vagy láncolatok végtelen hosszúságú görbét alkothatnak. Az M1.5 modell (Polygonal chain Infinite.grh fájl) egy egyszerű példát ad egy ilyen láncra, amelynek hossza növekvő módon, de lassan közelíti az infinitohoz. A görbe pink színű függőleges szegmensekből áll, amelyek a zöld szögletes összekötő szegmensek által kapcsolódnak egymáshoz. A paraméterek növelésével a teljes hossz egyre jobban növekszik, és az összegük végül végtelen hosszúságú lesz.

Ezen kívül a Hilbert görbe egy híres példa a térkitöltő görbékre, amelyek végtelen hosszúságúak. Hilbert alapelve, hogy egy intervallumot folyamatosan leképezhetünk egy négyzetre, így a tér teljesen kitöltődhet. Az M1.6 modell (Hilbert colored MAPPING.grh fájl) szemlélteti ezt a folyamatot, ahol a szivárvány színű vízszintes szakasz modellezi az intervallumot, és a négyzetet a gridvonalak mutatják be. A színek a megfelelést jelölik, így az intervallum egy-egy pontja és a négyzetben lévő megfelelő pontok azonos színűek.

Végül, bár a Hilbert görbe hosszának növekedése gyorsan történik, az nem korlátos, és végtelen hosszúságú lesz. Azonban az ilyen típusú görbék minden egyes lépésnél kitöltik a négyzetet, és úgy tűnik, mintha a görbe a 10. lépés után már teljesen kitöltötte volna a négyzetet. Mindezek ellenére minden rectifikálható görbe zérushalmaz, azaz egy végtelenül kicsi területű sokszögben elhelyezhető.

Hogyan Működik a Bifurkációs Diagram a Diszkrét Dinamikai Rendszerekben?

A VisuMatica különböző módon ábrázolja a bifurkációs diagramokat: teljes és kicsi nézetekben is elérhetőek (lásd a Stair-step diagram with Bifurcation diagram.grh fájlt). Az ábra bal oldalán látható kis nézet a bifurkációs diagramot ábrázolja a lépcsős diagrammal együtt, ahol az abszcissza tengely az a értékét [0, 4] között mutatja, az ordináta pedig a megfelelő orbitális sorozat értékeit (xn). Az a = 3,62 értéknél, amelyet az narancssárga szaggatott vonal jelöl, a megoldás két elkülönült szegmensen belül kaotikusan viselkedik. A jobb oldali képen az narancssárga vonalak össze vannak illesztve, amelyek különböző orbitákhoz illeszkednek, megerősítve a korábbi megfigyeléseinket a rendszerek viselkedésére vonatkozóan.

A bifurkációs diagramok “tisztaságát” hogyan érhetjük el? Korábban már láttuk, hogy a fix és ciklikus megoldások nem jöttek létre azonnal. A sorozatok kezdő értékei szétszórják a diagramot. Az alapértelmezett viselkedés tehát az, hogy a diagram csak azokat az orbitákat mutatja, amelyek figyelembe veszik az első zajos elemeket. A VisuMatica csak akkor ábrázolja az xn-t, ha n ∈ [1, 000, 10, 000] között van. Ez biztosítja, hogy a diagramok tisztábbak legyenek, de természetesen nem garantálják a teljes pontosságot. Az újabb megfigyelés, amely a 3,9 körüli fehér térséget emeli ki, a VisuMatica rajzolási mechanizmusának hibáját is jelzi, de érdemes ellenőrizni.

A [3,5, 4] intervallumra történő szűkítés és a két színű színséma alkalmazása újabb érdekes eredményeket ad. Az így kapott bifurkációs diagram (ld. Bifurcation diagram Zoomed Out.grh) azt mutatja, hogy ebben az intervallumban kaotikus és rendezett viselkedés váltakozik. Az érdekes felfedezés, hogy itt a fehér függőleges vonalak vonzó pontokat tartalmaznak (például, amikor a = 3,835 esetén három pontú vonzó), míg a színezett függőleges vonalak a kaotikus viselkedést tükrözik. Az a paraméter egy kis változtatása drámai módon képes megváltoztatni a dinamikai rendszer viselkedését.

A [-2,5, 4,5] tartományban való vizsgálat (ld. Bifurcation diagram Zoomed Out.grh) további érdekes lehetőségeket mutat a dinamikai rendszer viselkedésében. Ezen a tartományon belül figyelhetők meg a következő lehetőségek:

  • Az orbiták eltérnek (például, ha a > 4).

  • Az orbiták egyetlen értékre konvergálnak, ha −0,9 < a < 0,9 és 1 < a < 2,9.

  • Az orbiták ciklikusan ingadoznak egy érvényes értékkészlet között.

  • Az orbiták kaotikusan viselkednek.

A a ≈ −1,67 narancssárga vonal egy érdekes intervallumot különít el, ahol az orbiták értékei folyamatosan váltakoznak pozitív és negatív értékek között. Ez a viselkedés jól megfigyelhető a diagramon, amely a két színű mintázatot mutatja. A hasonló “ugráló” viselkedés figyelhető meg a 3,62 körüli értéknél is. A bifurkációs diagram egy hatékony eszköze a diszkrét dinamikai rendszerek viselkedésének tanulmányozásában, mivel összegyűjti az általános viselkedési információkat.

Az N-színezési mintázat megfelelő kiválasztása segíthet a sorrendek vizualizálásában, különösen azokra az orbitákra vonatkozóan, amelyek rendre követhetők. Érdemes összehasonlítani a három különböző diagram típus előnyeit és hátrányait, mint a lépcsős diagramok, az időbeli sorozatok és az N-színezett bifurkációs diagramok. Mindegyik egyedi módon képes hozzájárulni a viselkedés vizualizálásához, így a megfelelő választás fontos szerepet játszik az eredmények értelmezésében.

A diszkrét dinamikai rendszerek vizsgálatában nemcsak a numerikus megoldások és a grafikus ábrázolások, hanem a szoros kapcsolatban lévő fraktálok és azok tulajdonságai is kiemelt szerepet kapnak. A Mandelbrot halmaz és a hozzá kapcsolódó Julia halmazok például lehetővé teszik a komplex kvadratikus polinomok viselkedésének mélyebb megértését. A VisuMatica szoftver segít a fraktálok rekurzív természetének vizualizálásában, miközben lehetőséget biztosít a konkrét orbiták és azok lokális viselkedésének megfigyelésére.

A program egy kattintásnyi távolságra teszi elérhetővé a Mandelbrot halmaz minden részletét, miközben a Julia halmazok folyamatos dinamikus változásait is nyomon követhetjük a képernyőn. Ezen keresztül könnyen felfedezhetjük a periodikus viselkedésű primér burokokat, és megérthetjük, hogyan kapcsolódik a c paraméter az orbitális ciklusok periódusához.

A pénz története: Hogyan alakult ki a modern gazdaság alapja?
Hogyan fejlődnek a vízisportok: A sportágak és a biztonságos vízi környezet alapjai
Hogyan készítsünk ínycsiklandó halas tacót mangó salsával?
Hogyan írjuk meg a szakirodalmi áttekintést és az azt követő kutatási kérdéseket?