A Lac-repressor példáján keresztül bemutatható a kooperatív kötés mechanizmusa, amely alapvető szerepet játszik a gének szabályozásában. Ebben az esetben a Lac-repressor, melyet "R"-ként jelölünk, a molekula, amelyhez az allolaktóz I ligandok, jelölve mint "B", képesek kötődni. A Hill-egyenlet (3.82) segítségével a kötődés viselkedése leírható: a cABn kifejezés helyett cRIn és cTA helyett cTR értékeket alkalmazunk, ahol a ligandok helyett az allolaktóz I található (cB helyett cI). Ezáltal a cRIn kifejezés átírható a következő formára: cR = cTR − cR, és így egy új egyenletet kaphatunk:

cR=cTR1+cIKricR = \frac{cTR}{1 + \frac{cI}{Kri}}

Ez a hányados azt mutatja meg, hogy a represszorok hány százaléka nem kötötte meg az inhibitort, és még képesek a DNS-hez kötődni, hogy megállítsák a transzkripciót. A bal oldali ábra (3.35) ezt a hányadost szemlélteti. Látható, hogy a folyamat átmenetének élessége növekszik a magasabb n értékekkel, azaz a koncentrációs tartomány, amelyben a repressor képes kötődni a génhez, egyre szűkebb lesz. Ez különösen akkor figyelhető meg, amikor a repressor érzékenységét az −d(cA/cTA)/dcB-d(cA/cTA)/dcB kifejezés segítségével határozzuk meg, ahogyan azt a jobb oldali ábra mutatja.

A viselkedés változása a ligandumok számának növekedésekor, például egy ligandumról két ligandumban való átmenetkor, különösen figyelemre méltó. Az ábra (3.35) bemutatja a kötött represszorok arányát az összes receptor koncentrációjának függvényében (balra), valamint az úgynevezett érzékenységet a koncentrációváltozásokkal szemben (jobbra). Az alábbiakban ismertetett Kri értékek és más paraméterek figyelembevételével fontos figyelembe venni, hogy milyen mértékben változik a transzkripciós arány, amikor az allolaktóz koncentrációja eltérő.

A Lac gén transzkripciójának valósággal összefüggő szabályozása kémiai mikrobiológiai alkalmazásokban is szerepet kap. A kívánt fehérjét a LAC operátor mögé illesztve, az E. coli baktériumokat tápoldatban növesztve, majd bizonyos sűrűség elérése után allolaktózt (vagy IPTG-t) adunk hozzá. Ez aktiválja a represszort, és a baktériumok elkezdik termelni a kívánt fehérjét, feltéve, hogy az megfelelően képes önállóan hajtogatódni és nem igényel kísérőfehérjéket (chaperonokat).

A LAC gén transzkripciójának szabályozásában szerepet játszik az aktivátor molekulák kooperatív kötődése is. Ha a gén transzkripcióját az aktivátor molekulák jelenléte befolyásolja, akkor a transzkripciós arány kifejezése a következő módon alakul:

ktrans=kTPaktrans = kT Pa

Ahol Pa a valószínűség, hogy a gén szegmense a DNS-hez kötődött, és kT a természetes transzkripciós arány. Az aktivátor, amely CAP (cAMP aktivált fehérje) néven ismert, két cAMP molekula kötődése révén aktiválódik, és kooperatív módon kötődik a DNS-hez. Ilyen esetben a ligandumok kétoldalú kötődése (n=2) figyelhető meg. A CAP molekulák koncentrációját az alábbi kifejezés adja meg:

cC=cTC1+cIKcicC = \frac{cTC}{1 + \frac{cI}{Kci}}

Ezáltal az aktiválódott represszorok koncentrációja és a transzkripciós arány változik a cAMP koncentrációjának függvényében, mint azt az ábra (3.37) bemutatja. Az eredmények azt mutatják, hogy a kis koncentrációk is érzékelhetők, ha a megfelelő disszociációs állandókat választjuk, mint például Kri vagy Kci.

Az ilyen típusú kooperatív rendszerek, akár génexpresszióról, akár aktív receptorok működéséről van szó, jelentős biológiai jelentőséggel bírnak. A pontos modellezés és kvantitatív analízis elengedhetetlen ahhoz, hogy teljes mértékben megértsük, miként működnek ezek a biológiai rendszerek, és hogyan alkalmazhatóak a kutatásban és alkalmazott biotechnológiai folyamatokban.

Milyen hatással van a láncok kiterjedése és az entropikus erőválasz a háromdimenziós véletlenszerű láncok viselkedésére?

A szabad energiát leíró képletben, amely a következő alakot ölti: F=U−TS=U−kBTln⁡ν(b,N)F = U - T S = U - k_B T \ln \nu(b, N), beillesztjük a kifejezésbe a következő tagot: F=−fab+d(ab)2 const+kBT2Na2F = - f_{ab} + d (ab)^2 \, \text{const} + k_B T \frac{2}{N a^2}, ahol azokat a tagokat, amelyek nem függnek a bb-tól, konstansként kezeljük. Ha ezt követően a szabad energia minimumát keressük, és ∂F∂b=0\frac{\partial F}{\partial b} = 0 egyenletet alkalmazzuk, az alábbi eredményhez jutunk:

f=kBTdbNa.f = \frac{k_B T d b}{N a}.

Ez az egyenlet egy dimenzióban a korábban kismértékű elmozdulásokra vonatkozó megoldásunkat adja. Két és három dimenzióban azonban azt tapasztaljuk, hogy az erőválasz gyorsabban nő a dimenzióval, ahogy az a 4.14. ábra beszúrt részében is látható. Azonban ez az egyszerűsített megközelítés csak kis kiterjedésekre érvényes, mivel a Gauss-eloszlás rossz közelítést ad a nagyobb alkalmazott erővel rendelkező láncokra.

A szabadon forgó lánc modelleket, mint a Freely Jointed Chain modellt, azokban az esetekben használják, ahol a láncszemek szabadon orientálódhatnak a térben. Ez a modell ugyan hasonló a háromdimenziós véletlenszerű lánchoz, de elveszítjük a háromdimenziós rácsot, ami megnehezíti a konfigurációk számítását a ν\nu kifejezésben. Azonban van egy elegánsabb módja a probléma megoldásának, a kanonikus partíciós függvény segítségével, amelyet már a 2.64 egyenletben megtanultunk.

Mivel minden egyes láncszem függetlenül mozgatható a többitől, a partíciós függvényt az egyes láncszemek partíciós függvényének szorzataként írhatjuk fel:

Zg=Z1Z2…ZN=ZN.Z_g = Z_1 Z_2 \dots Z_N = Z^N.

Egy láncszem partíciós függvénye a következőképpen alakul:

Z=∫0πe−facos⁡ΘkBTsin⁡Θ dΘ,Z = \int_0^\pi e^{ -\frac{f a \cos \Theta}{k_B T}} \sin \Theta \, d\Theta,

amely analitikai úton oldható meg, ha x=cos⁡Θx = \cos \Theta helyettesítést alkalmazunk. Az integrál megoldása után a következő kifejezéshez jutunk:

Z=4πsinh⁡(fakBT).Z = 4\pi \sinh \left( \frac{f a}{k_B T} \right).

Ez lehetővé teszi számunkra, hogy közvetlenül kiszámoljuk a szabad energiát, amely a következőképpen fejezhető ki:

F=kBTln⁡Zg=kBTNln⁡(4πsinh⁡(fakBT)).F = k_B T \ln Z_g = k_B T N \ln \left( 4\pi \sinh \left( \frac{f a}{k_B T} \right) \right).

Ezután kis kiterjedések esetén újra megkapjuk a háromdimenziós véletlenszerű lánc rugóállandóját. Nagy kiterjedések esetén azonban ez a tisztán entropikus modell már nem ad megfelelő megoldást, ahogyan azt az 4.15. ábrán is látni lehet. Az ottani kísérleti adatok, amelyek egy kibontott aminosav-lánc erőválaszát mutatják, azt jelzik, hogy a háromdimenziós modell lineáris növekedést ad körülbelül 30 pN-ig, de ezen erő felett az elméleti és a kísérleti eredmények közötti eltérés jelentős.

A DNS kísérleti erőválasza is eltér ettől a tisztán entropikus modelltől, ami azt mutatja, hogy az entalpiás tényezőket, mint például az egyes láncszemek hajlító energiáját, figyelmen kívül hagytuk. Ezen energiafigyelembe vételéhez először a hajlékony gerendák szélsőséges esetét kell figyelembe venni, amelyek pontosan modellezhetik a viszonylag rövid mikrotubulusokat vagy aktin kötegeket, ha azok a hajlítási hosszúságukhoz képest viszonylag rövidek. Ezt követően az elméletet továbbfejlesztjük a Worm-Like-Chain modell kombinálásával, amelyet ma már sikeresen alkalmaznak.

A statisztikai entropia fogalmának bevezetése fontos szerepet játszott a fizikában, mivel időbeli iránytűként működik az irreverzibilis folyamatok meghatározásában. A mechanikai szempontból vizsgált rendszerek – mint például a gázmolekulák mozgása vagy a kozmológiai jelenségek – elméleti egyenletei időiránnyal szemben invariánsak. Azonban a statisztikai mechanikai megközelítés az entropia irányított növekedését, a rendszerek időbeli irreverzibilitását hangsúlyozza, ami kulcsfontosságú a több részecskés rendszerek jellemzésében. Az entropia növekedésének magyarázata az állapotok számának és az ezen állapotok közötti valószínűségi eloszlásnak a vizsgálatán alapul, ahogyan azt Boltzmann elmélete is kifejezi.

A statisztikai mechanikai és termodinamikai elméletek összekapcsolása során figyelembe kell venni az atomok mikroszkopikus szintű mozgását, ahogyan azt a kinetikus gázelmélet kifejti. Boltzmann munkássága lehetővé tette az entropia kvantitatív értelmezését, amely nemcsak makroszkopikus rendszerekben, hanem mikroszkopikus szinten is alkalmazható.

Hogyan írható le a membránok mechanikája a Hooke-törvény és a felületi nyúlás alapján?

Az elaszticitás elmélete rendkívül elegánsan írható le a deformációs tenzor segítségével, amelyből az energiafüggvény kvadratikus alakja azonnal következik. Egy háromdimenziós Hooke-anyag szabad energiája a deformáció másodfokú homogén függvényeként jelenik meg, amire Euler tétele is érvényes. Ennek megfelelően a feszültségkomponensek a deformációs tenzor parciális deriváltjai, így megkapjuk az anyag rugalmas tulajdonságainak teljes leírását.

Amikor vékony, kétdimenziós membránokat vizsgálunk, amelyek már előnyújtott állapotban vannak, a membrán egy lokális területe közelíthető egy kétdimenziós, rugalmas vékony héjként. Ebben a megközelítésben az izotróp területi nyúlás esetén a feszültség arányos a területváltozással, ami megfelel az izotróp rugalmas deformációk esetén várt lineáris összefüggésnek. A feszültség komponensei a deformációs tenzor egyes elemeiből a Hooke-törvény megfelelő kétdimenziós alakjával adódnak.

Tekintettel arra, hogy a membrán nagyon vékony, az olyan feszültségek, amelyek a vastagság mentén hatnak (mint a σ33), elhanyagolhatóak, így a vastagsági irányú deformáció homogén, és a vastagságra vonatkozó feszültség nulla. Ebből a feltételből származik az ε33 deformációs komponens kifejezése, amely függ az ε11 és ε22 komponensektől és a Poisson-aránytól. Ezek után a síkbeli Hooke-törvények explicit formái is megadhatóak, amelyek segítségével a nyúlási energia sűrűsége pontosan kiszámítható.

Különösen egyszerűsödik a helyi nyúlási energia kifejezése, ha a két irányú nyúlás egyenlő (ε11 = ε22). Ilyenkor a felületi nyúlás arányában írható fel a helyi energia, amely összhangban van azzal, hogy a membrán deformációs energiája kvadratikusan nő a relatív felületi nyúlással. Ennek alapján a teljes membrán globális nyúlási energiája a nyúlási energia sűrűségének integrálásával kapható meg, ahol a felületi kompressziós modulus Ka határozza meg a membrán rugalmasságát, amely a háromdimenziós Young-modulus és a membrán vastagságának függvénye, figyelembe véve a Poisson-arányt.

Az izotróp feszültség és a membrán felületváltozása közötti összefüggés, vagyis σ = Ka (ΔA / A0), kísérletileg is meghatározható, például lipid vezikulumok megfigyelésével, ahol a vezikulum belsejében és kívül alkalmazott nyomáskülönbség hatására a membrán kiterjedése változik. A membránfeszültség és a nyomáskülönbség kapcsolatát a Laplace–Young-törvény írja le, amely egy vékony, görbült membrán feszültségét köti össze a belső és külső nyomás különbségével, valamint a membrán görbületi sugarával.

A Laplace–Young-törvény értelmében a nyomáskülönbség Δp arányos a membránfeszültséggel és a görbületi sugárral, egészen pontosan: Δp = 2σ / R. Ez az egyenlet egyensúlyt fejez ki a mechanikai munka és a membrán megnyúlási energiája között, az elasztikus tartományban, még a vezikulum szétpattanása előtt. Ez a törvény nem csupán elméleti jelentőségű, hanem egyben a membrán mechanikai tulajdonságainak mérésére szolgáló alapvető kísérleti módszer is.

Fontos hangsúlyozni, hogy a membrán mechanikája egyensúlyi állapotokra vonatkozik, ahol a deformációk kicsik és a viselkedés lineáris. A valós membránok azonban komplex biológiai rendszerek, melyekben a nemlineáris viselkedés, a membrán szerkezeti heterogenitása, valamint a dinamikus környezeti változások is jelentős szerepet játszanak. Az itt bemutatott elméleti keret alapot ad a membránok statikus mechanikai tulajdonságainak értelmezéséhez, de a valós membránrendszerek dinamikus és nemlineáris viselkedésének megértéséhez további bonyolultabb modellek és kísérleti adatok szükségesek. Az is lényeges, hogy a membrán vastagsága és anyagszerkezete, valamint az alkalmazott feszültség iránya és nagysága jelentősen befolyásolja a membrán mechanikai válaszát.

Hogyan hat a demagógia a politikára és miért működik?
A jövő emberi társadalma: A Föld elhagyása és a világűrben való letelepedés morális kérdései
Miért fontos a karakterek "sötétjét" bemutatni és hogyan fejlesszük a valósághű párbeszédeket?