A fénysebesség cc állandóságának figyelembevételével, a következő egyenletet kaphatjuk, amelyet az ismeretlenek, rr és tt megoldására alkalmazhatunk:

∣r∣=∣r∣−c22(t−t0) r−∣ri∣.|r| = |r| - \frac{c^2}{2}(t - t_0) \, r - |r_i|.

Ez a négy egyenlet a négy ismeretlen megoldásához vezet, azonban a rendszer magas pontossága miatt nagyon fontos a referencia-rendszer pontos meghatározása. A továbbiakban részletesen bemutatott referencia-rendszereket kell figyelembe venni. Az időjeleket az elektromágneses hullámok fázisának jelváltozásaival helyezhetjük el. Azok az események, amikor Fμν=0F_{\mu\nu} = 0, függetlenek a referencia-rendszertől. A következő referencia-rendszerek szerepelnek a számításokban: ECEF = földközpontú, földhöz rögzített, valamint ECI = földközpontú inercialis rendszer, mely a földhöz rögzítetthez képest nem forog.

A GPS-rendszer számításaihoz szükségesek a különböző referencia-rendszerek közötti transzformációk, például az ECEF és az ECI közötti. Tegyük fel, hogy az Erdő gravitációs terét most elhanyagoljuk, és egy inercialis rendszerben dolgozunk, ahol a Minkowski-metrikuszt az alábbi formában kapjuk meg:

ds2=−(cdt)2+dr2+r2dϕ2+dz2.ds^2 = -(cdt)^2 + dr^2 + r^2d\phi^2 + dz^2.

A transzformációk az ECEF koordinátákra a következő formában lesznek:

(t,r,z)=(t′,r′,z′), ϕ=ϕ′+ωEt′.(t, r, z) = (t', r', z'), \, \phi = \phi' + \omega_E t'.

Itt ωE=7.292115×10−5 rad/s\omega_E = 7.292115 \times 10^{ -5} \, \text{rad/s} az Erdei forgás szögsebessége. Az ECEF koordinátákban az egyenlet így módosul:

ds2=−(1−ωE2r′2c2)(cdt′)2+2ωEr′2cdϕ′dt′+dr2+r′2dϕ′2+dz′2.ds^2 = -(1 - \frac{\omega_E^2 r'^2}{c^2})(cdt')^2 + 2 \frac{\omega_E r'^2}{c} d\phi' dt' + dr^2 + r'^2 d\phi'^2 + dz'^2.

Ebben a forgó rendszerben az t′t' nem a mozgó megfigyelő megfelelő ideje, hanem az ECI megfigyelő ideje, és a fényjel hullámhossza különböző módon alakul. Az egyenlet és az ezen keresztül kapott fényimpulzus egyenletei egy új korrekciót is tartalmaznak, amely az Erdő forgásával kapcsolatos.

A fényjelek szinkronizálása a Föld egyenlítőjén például 207,4 ns időeltérést okoz a fényforrás és a célpont közötti szinkronizálásban. Ez a jelenség a Sagnac-hatás, amely figyelembe veszi a Föld forgását. A fényjel keletre irányuló küldésénél ugyanez a hiba jelentkezik, de az időeltérés ellentétes irányú lesz, ami a szinkronizálás hibájához vezet.

Ha megpróbáljuk a szinkronizálást egy hordozható óra használatával, ami az egyenlítőn halad, akkor sem kerülhető el a szinkronizálási hiba. Az óra mozgása sem tudja elkerülni ezt az eltérést, mivel a pontos idő az ECI rendszerben való szinkronizálástól függ, nem pedig az órák helyi mozgásától. Az óra megfelelő szinkronizálásához az ECI rendszer állandó hivatkozása szükséges, hogy biztosítsuk az önálló és következetes időkezelést.

A Föld gravitációs hatásai és a SI időegységek egy másik fontos tényezőt jelentenek, amelyet figyelembe kell venni a pontos időmérés során. Az Einstein-egyenletek lineáris megoldása, amely leírja a Föld gravitációs terét, megadja az alábbi metrikát:

ds2=−(1+2Vc2)(cdt)2+dr2+r2dθ2+r2sin⁡2θdϕ2,ds^2 = -\left(1 + \frac{2V}{c^2}\right)(cdt)^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\phi^2,

ahol VV a gravitációs potenciál és cc a fénysebesség. A gravitáció hatására az időt az atomórák másképp mérik, mint az ideális, végtelen távolságban lévő óra, mivel a Föld középpontjától való távolság hatással van a megfelelő idő mérésekor.

A GPS rendszerek által használt atomórák az ECEF rendszerben, a tengerszint felett elhelyezkedve, lassabban járnak, mint az ideális, a világűrben lévő órák. A pontos idő mérése és szinkronizálása érdekében az ECEF koordináták alapján kell figyelembe venni az összes szükséges korrekciót, és biztosítani kell, hogy a mérési eredmények azonos mértékben legyenek pontosak.

A szinkronizálás és az időmérés precíziós követelményei tehát szoros összefüggésben állnak a Föld forgásával és gravitációs hatásaival, és minden ilyen tényezőt figyelembe kell venni a GPS rendszerek pontos működéséhez.

Lehetséges-e mérni az abszolút gyorsulást az anyag tehetetlensége és a tér homogenitása alapján?

Az anyag tehetetlensége talán erősebb tulajdonság, mint a tér homogenitása, és akár egy üres világegyetemben is fennállhat, lehetővé téve az abszolút gyorsulás mérését. Mach elve kritikája azért egyszerűbb, mert soha nem lett pontos fizikai elméletté formálva; inkább egy kritikai megjegyzésekből és részben számításokra épülő javaslatok gyűjteménye. Azonban előfordul, hogy egy régi elmélet új megközelítése – még ha nem is kellően igazolt – fontos felfedezések kiindulópontjává válik. Ez történt Mach elvével is, amely Einstein munkájának kiindulópontját jelentette.

Newton elmélete egy súlyos empirikus problémával is szembesült: már a 19. század első felében ismert volt, hogy a bolygók nem pontosan elliptikus pályákon keringenek a Nap körül. Valójában a pályák úgynevezett „rozetták”, amelyek úgy képzelhetők el, hogy egy pont egy ellipszisen halad körbe, miközben az ellipszis lassan forog a fókusza körül. Newton elmélete szerint a bolygó pályája csak akkor pontos ellipszis, ha a Napnak csak egyetlen bolygója van. Mivel azonban a Nap több bolygóval rendelkezik, azok kölcsönösen gravitációsan befolyásolják egymást, és a pályák így torzulnak, ami magyarázza a megfigyelt jelenségeket.

Az 1859-ben Urbain J. LeVerrier vizsgálta a Merkúr perihelionjának elmozdulását, és azt találta, hogy a számított érték nem egyezik meg a megfigyelt adattal; az eltérés 43 ívmásodperc per évszázad volt, ami jóval meghaladta a mérési hibákat. A tudósok különféle magyarázatokat kerestek: feltételezték egy belső, Vulcan nevű bolygó létezését, a Merkúr és a bolygóközi por közötti gravitációs hatást, vagy a Nap lapultságát a forgása következtében. Mindegyik elképzelés megdőlt: Vulcant sosem látták, a por mennyisége nem volt elegendő, a Nap lapultságának pedig olyan következményei lettek volna, amelyek nem jelentkeztek.

Mindezek ellenére Newton elméletének helyességét senki nem vonta kétségbe. Az volt az általános vélekedés, hogy Mach kritikája formális korrekciókkal megoldható lesz, és a Merkúr perihelionjának anomáliája újabb megfigyelésekkel magyarázható. Senki nem gondolta, hogy egy másik gravitációs elmélet válthatja fel Newtonét, amely több mint kétszáz éve sorozatos sikereket aratott.

Az általános relativitáselmélet nem kísérleti vagy megfigyelési szükségletek alapján született, hanem spekuláció eredménye volt, és csak mintegy ötven évvel később vált széles körben tesztelhetővé a technológia fejlődésének köszönhetően.

Einstein relativitáselméletének kialakulása nem volt egyenes út; hibák és visszavont hipotézisek sora előzte meg. Miközben megtanulta a Riemann-féle geometriát, fokozatosan építette fel elméletét. Ezt az utat járva mások is megkérdőjelezték az új elmélet szükségességét vagy próbálták megelőzni Einsteint, sikertelenül. A relativitás megértése érdekében fontos megvizsgálni a Newtoni fizikát és annak korlátait.

A Newtoni világkép szerint a kölcsönhatásoktól mentes térben az anyagi testek vagy nyugalomban maradnak, vagy egyenletesen egyenes vonalú mozgást végeznek. A valóságban azonban a világegyetemet gravitációs mezők járják át, amelyek elkerülhetetlenek, így minden test görbült pályákon mozog a gravitációs kölcsönhatások miatt. Ez a görbület feltételezi a „egyenes” vonal definícióját, ám ha nincs valódi egyenes pálya, akkor ez ellentmondásos.

Az egyenes vonal megítélésében a fény sugara jó modell lehet, hiszen a rövid távú, földi szabványos egyenesek azért működnek, mert ott a gravitációs deformáció elhanyagolható. Ez a gondolat vezetett az általános relativitás geometriai szemléletéhez, ahol az inerciaerőket és a gravitációt egyformán kezeljük, azaz az gyorsulás és a gravitációs tér helyettesíthető egymással.

Ez a felismerés alapozta meg a gravitációs mező és az inercia kapcsolatát, amely az általános relativitás egyik alappillére lett. A gravitáció tehát nem csupán erő, hanem a téridő görbülete, amely meghatározza az anyag mozgását. Az ilyen megközelítés elvezetett Einstein új, geometriai gravitációelméletéhez, amely meghaladta Newton pontszerű, erő alapú leírását.

Fontos megérteni, hogy a relativitáselmélet nem csupán egy új matematikai keret, hanem egy teljesen más szemlélet a tér és az idő természetéről, amelyben a mérés és megfigyelés fogalmai is átalakulnak. A téridő görbülete nem látható „erőként”, hanem az anyag és energia eloszlásának közvetlen következménye, amely megváltoztatja a geodetikus pályákat – vagyis azokat az utakat, amelyeket a testek a lehető legkisebb erőkifejtéssel követnek.

Ez az új paradigma felkészít arra, hogy a világegyetem működését ne csupán mechanikai, hanem geometriai összefüggésekben értsük meg, ahol az abszolút mozgás helyett relatív gyorsulásokról és téridő-geometriáról beszélünk. A természet törvényeinek ezen új megközelítése előkészíti az utat a modern kozmológia, asztrofizika és kvantumgravitáció további fejlődéséhez.

Mi t jelentett George Gobel humora és hogyan alakította életét?
Hogyan csökkentsük a kertészkedési és otthoni karbantartási költségeket?
Milyen hatással vannak a vízmeghajtású motorok az üzemanyag-hatékonyságra és a környezetre?