Miért fontos a Shannon entrópia és hogyan alkalmazható a pénzügyi modellezésben?

Az információelmélet alapfogalmai, mint a Shannon-entrópia, a kölcsönös információ, és a Kullback-Leibler divergencia, központi szerepet játszanak a pénzügyi modellekben, különösen akkor, ha a modellezés célja a kockázatkezelés vagy a piaci viselkedés előrejelzése. Az alábbiakban a legfontosabb fogalmakat és azok pénzügyi alkalmazásait vizsgáljuk.

Shannon entrópiájának fogalma az információ mennyiségét méri egy valószínűségi eloszlás alapján, amely a legkülönfélébb rendszerek (mint például a piaci árak) viselkedését modellezheti. A klasszikus Shannon-entrópia a következőképpen van definiálva két változó, X és Y közötti közös entrópiaként:

H(X, Y) = - \sum_{x \in S_X} \sum_{y \in S_Y} p(x, y) \log(p(x, y))

Ez az egyenlet segít meghatározni, hogy két változó, például két pénzügyi eszköz ára milyen mértékben befolyásolja egymást. Az ilyen típusú elemzések alapvetőek a portfóliókezelésben, mivel az eszközök közötti kapcsolat megértése alapot adhat az optimális portfóliók megalkotásához.

A közös entrópia tulajdonságai közé tartozik, hogy mindig szimmetrikus (i.e., $H(X, Y) = H(Y, X)$ ), és mindig nem negatív. Ez azt jelenti, hogy soha nem lehet kevesebb, mint a két változó közötti maximális entrópia. Azonban ha az X és Y között függetlenség van, akkor a közös entrópia nulla értéket vehet fel, amit fontos figyelembe venni pénzügyi modellezéskor, amikor az eszközök függetlenségére alapozott predikciókat végzünk.

A feltételes entrópia a következő képlettel számolható:

H(X|Y) = H(X, Y) - H(Y)

Ez az érték azt mutatja meg, hogy mennyi információra van még szükség X előrejelzéséhez, ha már tudjuk Y értékét. Pénzügyi példák esetén, ha már ismerjük egy piac egyes jellemzőit (pl. kamatláb), akkor a feltételes entrópia segíthet meghatározni, hogy mennyire lehet előrejelezni más pénzügyi mutatókat (pl. részvényárak) ezen információk alapján.

Egy másik kulcsfontosságú fogalom a Kullback-Leibler (KL) divergencia, amely két eloszlás közötti különbséget méri:

D_{\text{KL}}(p \parallel q) = \sum_{x \in S_X} p(x) \log \left( \frac{p(x)}{q(x)} \right)

A KL-divergenciát gyakran használják arra, hogy felmérjék, mennyire tér el egy valószínűségi eloszlás (p) egy másiktól (q), és így hogyan mérhetjük a modellek közötti eltéréseket. A pénzügyi modellekben a KL-divergenciát gyakran alkalmazzák a szimulációk vagy a valószínűségi eloszlások kalibrálásakor, hogy a modellezett adatok és a tényleges piaci adatok közötti eltéréseket mérjék.

A kereszt-entrópia egy másik fontos mérőszám, amely két valószínűségi eloszlás közötti eltérés mérésére szolgál, hasonlóan a KL-divergenciához, de itt nem a valós eloszlás és a referencia eloszlás közötti különbséget, hanem két eloszlás közötti információveszteséget mérjük. A kereszt-entrópia a pénzügyi osztályozási problémákban is hasznos lehet, például amikor a különböző eszközök közötti kockázati besorolásokat vagy minősítéseket próbálunk kiértékelni egy hibás előrejelző modell segítségével.

A kölcsönös információ a két változó közötti információs kapcsolatot méri, és a következőképpen van meghatározva:

I(X;Y) = H(X) - H(X|Y)

Ez az érték azt mutatja meg, hogy mennyi bizonytalanságot csökkenthetünk Y ismerete által, ha már rendelkezünk X értékeivel. A kölcsönös információ fontos szerepet játszik az agglomeratív klaszterezési algoritmusokban és a jellemzők előválasztásában, mivel segít megtalálni azokat a változókat, amelyek a legnagyobb mértékben hozzájárulnak a piaci előrejelzésekhez.

A változó információ, mint mérőszám, a következőképpen van definiálva:

VI(X;Y) = H(X|Y) + H(Y|X)

Ez a mutató azt méri, hogy mennyi bizonytalanság marad az egyik változóban, ha már tudjuk a másik változót. A változó információ hasznos lehet például az összetett pénzügyi rendszerek elemzésében, ahol az egyik mutató ismerete csökkenti a másik mutatóra vonatkozó bizonytalanságot.

A folyamatos valószínűségi változók esetén az entrópia számítása bonyolultabbá válik, mivel az analitikai kifejezéseket nem mindig lehet közvetlenül alkalmazni. Ilyenkor a diszkrét osztályozás vagy a kvantálás segíthet az adatok megfelelő feldolgozásában. A kvantálás segítségével a folytonos változókat bináris (diszkrét) formába alakíthatjuk, és így alkalmazhatjuk az entrópia fogalmát és annak különböző típusait, például a különböző pénzügyi modellek és szimulációk számára.

A pénzügyi modellezés során fontos megérteni, hogy az információelméleti fogalmak, mint az entrópia, a kölcsönös információ és a KL-divergencia nem csupán matematikai eszközök, hanem alapvető mérőszámok, amelyek segítenek a pénzügyi rendszerek bonyolultságának és dinamikájának megértésében. A különböző mérőszámok közötti kapcsolatok és azok alkalmazásai segíthetnek a pontosabb és megbízhatóbb pénzügyi modellek kifejlesztésében, amelyek a kockázatok minimalizálását és a piaci viselkedés előrejelzését célozzák.

Miért fontos figyelembe venni a nemlineáris kapcsolatokat a gépi tanulásban?

A korreláció gyakran nem képes észlelni a változók között fennálló erős kapcsolatokat, ha azok nemlineárisak. Az ilyen típusú kapcsolatok esetében a normált kölcsönös információ sokkal hasznosabb eszközként szolgál, mivel képes felismerni azokat az információkat, amelyeket egy adott változó nyújt a másik előrejelzéséhez. Az alábbi példában a két Gauss-eloszlású véletlen változó között egy nemlineáris kapcsolatot vizsgálunk, és a scatter ploton jól látható, hogy a korrelációs érték közel nullához tart, miközben a kölcsönös információ még mindig jelentős mennyiségű információt hordoz.

Ez a jelenség jól szemlélteti, hogy a klasszikus korrelációs mértékek nem alkalmazhatók mindig a változók közötti valódi kapcsolatok pontos mérésére, különösen akkor, ha azok nemlineáris természetűek. Míg a korrelációs együttható a lineáris kapcsolatokat tükrözi, addig a kölcsönös információ (mutual information) és a változási információ (variation of information) képesek átfogóbb képet adni, mivel ezek az eszközök nem követelnek lineáris függőséget a változók között.

A példában szereplő normált kölcsönös információ nem éri el az 1-et, mivel ha ismerjük az egyik változót, nem tudjuk teljes mértékben meghatározni a másikat. Ezen kívül az egyes értékekhez több lehetséges x érték is tartozhat, ami további bizonytalanságot ad a modell előrejelzésében. Ezért rendkívül fontos megérteni, hogy a hagyományos módszerek, mint a korreláció, nem képesek teljes mértékben tükrözni a változók közötti komplex kapcsolatokat.

A változási információ mértéke előnyös, mert képes figyelembe venni a véletlen változók közötti egyedi információt, anélkül, hogy előre meghatározott függvényformát kellene alkalmazni. A normált változási információ tehát előnyös, mivel ez egy távolságmérték, amely nem szükségszerűen igényel előzetes feltételezéseket a változók közötti kapcsolat formájáról. Sok gépi tanulási algoritmus, amelyek nem alkalmaznak előre meghatározott függvényformát az adatokra, hatékonyabban használják az ilyen típusú információt, mivel ez az alapvető entropia-alapú jellemzők használatát segíti elő.

Fontos azonban megjegyezni, hogy a változási információ nem minden esetben a legjobb választás. A kölcsönös információ például akkor lehet előnyösebb, ha az adatok lineárisan összefüggnek, mivel könnyebben alkalmazható a hagyományos statisztikai módszerekkel. Ezen kívül, az adatok növekvő mennyiségével a különböző mérési eszközök közötti különbségek is változhatnak, és például a mintavételi méret növelésével a kölcsönös információ eredményei pontosabbá válhatnak.

A gyakorlatban mindkét mérőszám, a korreláció és a kölcsönös információ, különböző típusú problémákhoz alkalmazható, és érdemes megérteni, mikor és hogyan használhatók az egyes mértékek az adatok elemzésében.

A gépi tanulás alkalmazásakor az olyan fejlettebb eszközök, mint a változási információ, segítenek abban, hogy pontosabb előrejelzéseket és modelleket hozzunk létre, miközben képesek vagyunk figyelembe venni a nemlineáris függőségek szerepét. Mindezek mellett fontos, hogy a felhasználók tisztában legyenek az adatok típusával és a választott algoritmus határok közötti működésével.

Hogyan alakítja a gépi tanulás az eszközkezelő iparágat?

A gépi tanulás (ML) alkalmazása az eszközkezelés világában egyre inkább elterjedté válik, hiszen a technológia lehetőséget ad arra, hogy hatékonyabb eszközkezelési stratégiákat dolgozzunk ki, különösen az adatok és számítógépes erőforrások rohamos fejlődésével. Az ML által kínált lehetőségek széles spektrumot ölelnek fel, a portfólióépítéstől kezdve a piaci előrejelzésekig, és mindezt a hagyományos gazdasági elméletek újragondolásával és a pénzügyi modellek finomhangolásával.

A pénzügyi adatok jellemzően magas dimenziósak, ahol a vizsgált változók száma sok esetben meghaladja az adatpontok számát, ami megnehezíti a lineáris algebrai megoldások alkalmazását. Ezért az ML különösen fontos eszközzé válik a pénzügyi elemzésben. Az ilyen típusú adatok gyakran rendkívül szórták, azaz sok nullát tartalmaznak, ami lehetetlenné teszi a hagyományos korrelációs módszerek alkalmazását. Az ML képes arra, hogy az ilyen szórt adatokból is hasznos információt nyerjen ki, különösen az ügynökök hálózatainak, az ösztönzőknek és a csoportos viselkedés összefüggéseinek megértésében.

A legelterjedtebb alkalmazás a piaci árfolyamok előrejelzése, de az ML alkalmazása ennél sokkal szélesebb körű. Az eszközkezelők számára a gépi tanulás segítségével az érték meghatározása is átalakulhat. Míg néhány évvel ezelőtt a P/E (árfolyam/nyereség) mutató még viszonylag jól használható volt, mára ez már nem biztosítja a legjobb értékelést. A modern eszközkezelők képesek az ML segítségével az érték jellemzőit azonosítani, és azok kölcsönhatásait más tényezőkkel, mint például a momentum, a minőség vagy a méret. A faktorok időzítését és nagyságát a meta-címkézés (meta-labeling) technikáival is javíthatják, amely különösen hasznos lehet a portfóliókezelésben.

A magas frekvenciájú kereskedési cégek évek óta használják az ML-t a valós idejű tőzsdei adatok elemzésére, hogy felismerjék a tájékozott kereskedők által hagyott nyomokat. Ezeket az információkat arra használják, hogy rövid távú árfolyamelőrejelzéseket készítsenek, vagy hogy meghatározzák végrehajtási stratégiájuk agresszivitását. A hitelminősítő ügynökségek is aktívan alkalmazzák az ML-t, mivel ezek az algoritmusok képesek reprodukálni a hitelanalitikusok által generált értékeléseket. Az outlierek (kiugró értékek) felismerése is kulcsfontosságú alkalmazás, mivel a pénzügyi modellek érzékenyek még az apróbb kiugró értékek jelenlétére is.

A kvantitatív befektetők számára mindez rendkívül releváns. Az adatok soha nem voltak olyan bőségesek, mint most, és a számítógépek is elég erősek ahhoz, hogy az ML-t hatékonyan alkalmazzák. Az egyik izgalmas alkalmazás a makrogazdasági statisztikák valós idejű előrejelzése, amellyel a Massachusetts-i Munkás Piaci Projekt (Billion Prices Project) is példát mutatott. Az ML különösen hasznos lehet abban, hogy a hagyományos adatállományokban rejlő, eddig rejtett összefüggéseket felfedje. A cégek közötti gazdasági kapcsolatok például nem mindig írhatók le hatékonyan a hagyományos szektor-csoport-iparági besorolásokkal, mint például a GICS (Global Industry Classification Standard), de egy hálózati megközelítés segítségével sokkal gazdagabb és pontosabb képet kaphatunk a piacok dinamikájáról.

A portfólióépítés szintén az egyik legígéretesebb terület, amelyet az ML jelentős mértékben átalakíthat. Az eszközkezelési iparág évtizedek óta Markowitz hatékony határvonalának különféle variációival és finomításával dolgozik. Noha ezen megoldások sokszor jól működnek a mintában, gyakran gyengén teljesítenek azon kívül, mivel a konvex optimalizálásban rejlő számítási instabilitásokkal küzdenek. Az ML algoritmusok viszont képesek olyan robusztus portfóliókat alkotni, amelyek jól teljesítenek az új, ismeretlen adatokra is, köszönhetően annak, hogy képesek felismerni a ritka hierarchikus kapcsolatokat, amelyeket a hagyományos módszerek nem vesznek észre.

A pénzügyi szektor számára fontos figyelembe venni, hogy a gépi tanulás nem csupán egy eszköz a pénzügyi modellek feljavítására. A pénzügyi sorozatok modellezése nem olyan egyszerű, mint az autók vezetése vagy az arcok felismerése. A pénzügyi adatok jel-zaj aránya rendkívül alacsony, amelyet az arbitrázs erők és a nem-stacionárius rendszerek okoznak. A gépi tanulás képes felfedezni mintázatokat az adatokban, de fontos, hogy az algoritmusokat ne válasszuk el azoktól az gazdasági elméletektől, amelyek segítenek meghatározni, hogy mi az érvényes és mi nem az. A "jósló" megközelítés, amely az elméletek teljes elhanyagolásával működik, gyakran téves eredményekhez vezethet. Az ML nem helyettesíti a gazdasági elméleteket, hanem azok modernizálásában és finomításában játszik kulcsszerepet.

Ahogy a mezőgazdaságban is hatalmas változásokat hozott az önállóan vezetett traktorok, drónok és szenzorok alkalmazása, úgy a jövőben az eszközkezelők is hasonló módon fognak fejlődni az ML használatában. Az adatok egyre nagyobbak lesznek, és a számítógépek egyre erősebbek, így az eszközkezelők számára csak egy irány van: fejlődni és alkalmazkodni az új technológiai környezethez, máskülönben elbuknak.

A pénzügyi tudományos közösség számára a gépi tanulás új lehetőségeket kínál a kutatásban is. Az ML nemcsak a rejtett jelek felfedezésében segít, hanem lehetővé teszi a kutatási folyamat két szakaszra való bontását: az első a fontos változók keresése, függetlenül a funkcionális formától, a második pedig annak keresése, hogy mi a legmegfelelőbb formája azok összekapcsolásának. Az ML így közelebb hozhatja a pénzügyeket a kísérletezési lehetőségekhez, amelyek eddig lehetetlenek voltak.

A városok felemelkedése és az emberi civilizációk születése
Hogyan tálaljunk idézeteket, hogy ne terheljük túl az olvasót?
Miért érdemes a rendszer-helyreállító rendszereket speciálisan célozni?
Mi a Land Girl szerepe a háború alatt? A munka és az érzelmi küzdelmek összefonódása.