La dimension des variétés affines et les cartes rationnelles dominantes

Une carte rationnelle dominante ϕ : A 99K B est une fonction rationnelle qui relie deux variétés algébriques A et B. Lorsque φ : K(B) → K(A) est un homomorphisme non nul d'algèbres K, et que y₁, ..., yₘ désignent les fonctions coordonnées sur B, la suite de fonctions rationnelles f₁ = φ(y₁), ..., fₘ = φ(yₘ) définit une carte rationnelle ϕ : A 99K B. Cette carte est dominante, car le morphisme φ : K(B) → K(A) est injectif, et la composition K[B] ↪→ K(B) → K(A) est également injective. L'application φ agit alors sur le corps des fonctions K(A) de la même manière que sur K(B), ce qui implique que ϕ∗ = φ.

En effet, un résultat fondamental en géométrie algébrique nous dit que si φ : K(B) → K(A) est un homomorphisme injectif entre corps de fonctions, alors la carte rationnelle ϕ : A 99K B définie par φ est dominante. Cela signifie que la carte ϕ n'amenant pas de points "perdus", elle préserve en quelque sorte la structure géométrique des variétés. Ce résultat est mis en évidence dans le théorème 5.2.4, qui établit une équivalence entre deux catégories importantes : celle des variétés affines sur un corps algébriquement clos K avec des cartes rationnelles dominantes en tant que morphismes, et celle des extensions finies de K avec des injections d'algèbres K en tant que morphismes. La correspondance est donnée par A ↦ K(A) et ϕ : A 99K B ↦ ϕ∗ : K(B) ↪→ K(A).

Ce théorème indique que chaque extension finie du corps K peut être vue comme K(A) pour une certaine variété affine A. Plus précisément, si L = K(g₁, ..., gₙ) est une extension finie de K, les générateurs g₁, ..., gₙ peuvent être utilisés pour construire une variété affine A = V(J), où J est un idéal premier associé à cette extension. Ainsi, une extension de corps finit est réalisée à partir de la fonction des variétés algébriques. Ce résultat est en parfaite cohérence avec l'idée que les variétés algébriques sont des objets géométriques associés à des corps de fonctions, et que la structure géométrique peut être étudiée en termes de propriétés algébriques de ces corps.

Cependant, il est important de noter que cette construction n'est pas unique. Différents ensembles de générateurs peuvent mener à des variétés différentes. Par exemple, pour A = V(xy − 1) ⊂ A², on obtient L = K(A) = K(x, y), mais ces générateurs renvoient à la même variété, car y = 1/x, ce qui montre que la correspondance entre la variété affine et l'extension de corps peut être redéfinie selon les générateurs choisis.

Une carte rationnelle ϕ : A 99K B est dite birationnelle si il existe une carte rationnelle ψ : B 99K A telle que ψ ◦ ϕ = idA, ce qui signifie que sur une certaine partie ouverte non vide de A, la composition ψ ◦ ϕ agit comme l'identité. Ce fait se manifeste par un isomorphisme entre les corps de fonctions K(A) et K(B), soit ϕ∗ : K(B) → K(A) qui est un isomorphisme, et l'inverse ψ∗ = (ϕ∗)⁻¹. L'exemple classique est celui de la projection ϕ : V(xy − 1) → A¹, qui est une carte rationnelle dominante mais non bijective. La carte inverse ψ : A¹ 99K V(xy − 1) est donnée par x ↦ (x, 1/x), ce qui rétablit la bijection entre A¹ et la variété V(xy − 1).

La notion de dimension d'une variété affine est liée à son corps de fonctions. Si A est un ensemble algébrique irréductible, sa dimension est définie comme la transcendance de son corps de fonctions K(A) sur K. Cela peut être vu comme une mesure de "l'étendue" de la variété, et il est important de comprendre que la dimension est liée au nombre d'éléments algébriquement indépendants nécessaires pour générer le corps des fonctions. Cette idée est cruciale pour la classification des variétés algébriques, car elle permet de distinguer entre variétés de différentes complexités géométriques. En particulier, la dimension d'un ensemble algébrique A est définie comme la plus grande dimension parmi ses sous-variétés irréductibles.

Les concepts qui se dégagent de cette analyse sont essentiels pour une meilleure compréhension des relations entre géométrie algébrique et théorie des corps de fonctions. En effet, les cartes rationnelles dominantes servent à étudier les transformations géométriques entre variétés, et la dimension d'une variété affine nous donne des informations fondamentales sur sa structure algébrique et géométrique. Au-delà de cette première définition, il est important de noter que la dimension joue un rôle central dans la classification des variétés algébriques, en particulier dans le cadre des extensions de corps et de l’étude des relations entre les variétés via des morphismes rationnels.

Comment comprendre les fonctions rationnelles et les projections linéaires dans la géométrie algébrique

Les fonctions rationnelles peuvent présenter un pôle en un point $p$ ou bien toutes les fonctions rationnelles peuvent disparaître en $p$ . Soit $\nu = \min \{v_p(f_j) \mid j = 0, \ldots, n\}$ , et $t \in m_p \subset \mathbb{C}$ un générateur. Dans ce contexte, l'expression $(t - \nu f_0 : \cdots : t - \nu f_n)$ est bien définie en $p \in \mathbb{C}$ et coïncide avec $\varphi'$ , où $t$ n'a ni zéro ni pôle. Cette observation permet d’illustrer la manière dont les fonctions rationnelles se comportent sous certaines transformations géométriques.

Il est important de noter que cette proposition ne s'applique pas dans le cas d'une source de dimension supérieure. Par exemple, le morphisme $\mathbb{A}^2 \setminus \{o\} \to \mathbb{P}^1, p \mapsto (x(p) : y(p))$ n'admet pas d'extension à $\mathbb{A}^2$ . En revanche, la fermeture du graphe correspond à l'éclatement du point $o \in \mathbb{A}^2$ , une construction importante que l'on retrouve dans le cadre des variétés projectives de dimension plus élevée.

La projection linéaire joue un rôle central dans la géométrie algébrique, notamment lorsqu'il s'agit de réduire les variétés projectives. Soit $A \subset \mathbb{P}^n$ une variété projective. Si $\ell_0, \ldots, \ell_r \in K[x_0, \ldots, x_n]$ sont des formes linéaires indépendantes, alors $L = V(\ell_0, \ldots, \ell_r)$ est un sous-espace linéaire de dimension $n - r - 1$ , et la projection linéaire $\pi_L : A \to \mathbb{P}^r, a \mapsto (\ell_0(a) : \cdots : \ell_r(a))$ est une projection linéaire. Si l'intersection de $A$ avec $L$ est vide, il existe des équations homogènes $f_i \in I(A)$ , les idéaux de $A$ , qui satisfont à $f_i \equiv x_d^i \mod (\ell_{n-r}, \ldots, \ell_n)$ pour chaque $i$ . Ce résultat permet de réduire les dimensions d’une variété à travers des projections linéaires.

L'idée de la normalisation de Noether, qui consiste à projeter une variété sur un espace projectif de dimension plus faible, est cruciale pour l'étude des variétés projectives. En effet, si une variété $A \subset \mathbb{P}^n$ de dimension $r$ possède un sous-espace linéaire $L \subset \mathbb{P}^n$ de dimension $n - r - 1$ tel que $A \cap L = \emptyset$ , alors la dimension de $A$ est nécessairement inférieure ou égale à $r$ .

Un corollaire fondamental dans ce cadre est que, si $A$ est une variété projective d'une dimension $r$ , toute sous-varité de $\mathbb{P}^n$ de dimension $\dim L \geq n - r$ va nécessairement intersecter $A$ . Ce corollaire souligne la manière dont la géométrie projective impose des contraintes sur les intersections de variétés dans un espace projectif.

En outre, un résultat important de la géométrie algébrique concerne l'intersection de variétés projectives de dimensions complémentaires. Le théorème de la borne dimensionnelle stipule que pour deux ensembles algébriques projectifs $X, Y \subset \mathbb{P}^n$ , la dimension de leur intersection vérifie $\dim(X \cap Y) \geq \dim X + \dim Y - n$ . Ce résultat révèle que, dans le cas de variétés ayant des dimensions complémentaires, l'intersection est toujours non vide, ce qui a des implications profondes sur la structure géométrique de ces variétés.

Enfin, les courbes rationnelles normales, comme celles définies par l'immersion de Veronèse, jouent un rôle clé dans l'étude des variétés projectives. Par exemple, le morphisme $\rho_{n,d} : \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^N$ , où $N = \binom{n+d}{d} - 1$ , est une immersion de Veronèse qui est un isomorphisme sur son image. Cela permet de connecter des objets géométriques complexes à travers des embeddings naturels dans des espaces projectifs de dimensions plus élevées, offrant ainsi une vision plus profonde des propriétés intrinsèques des variétés.

Pour comprendre pleinement ces concepts, il est essentiel de maîtriser les notions d'idéaux homogènes, de projections linéaires, et de morphismes d'immersions dans des espaces projectifs. Une compréhension des projections linéaires et des intersections de variétés projectives est cruciale pour aborder des questions complexes liées aux dimensions des variétés algébriques et à leur comportement sous transformation.

Comment comprendre et décrire la structure d'un schéma de Hilbert dans la géométrie algébrique ?

Un espace sous-variété de codimension $p(d)$ est un point dans le Grassmannien. Pour obtenir les équations du schéma de Hilbert, il est essentiel de noter qu’un sous-espace $W$ appartient à l’image si et seulement si l’idéal $(W)$ , généré par $W$ , a des valeurs de fonction de Hilbert $h(W)(d') = n + d' - p(d')$ , avec $d' \geq d$ . En représentant $W$ par une matrice de coefficients $(n + d) \times (n - p(d))$ , il devient évident que, pour $d' = d + 1$ , cette condition donne l’équation : une matrice de rang exactement $n + d + 1$ , définissant ainsi les équations du schéma de Hilbert. Ce résultat reste ouvert à une explication plus approfondie sur la raison pour laquelle le rang de tout $W$ satisfaisant ces équations ne peut pas être plus petit, et pourquoi ces équations définissent correctement le schéma de Hilbert du point de vue conceptuel.

Lorsqu’on analyse le schéma de Hilbert d’un sous-espace dans $P^3$ , comme le fait la courbe normale rationnelle dans $P^3$ , les termes de leaders de l’idéal jouent un rôle fondamental. Si l’idéal $I$ est saturé et que son idéal de termes principaux dans l’ordre lexicographique est $Lt(I) = (x_0^2, x_0 x_1, x_1^2)$ , on peut décrire les équations de $I$ sous la forme d’un système complexe de coefficients $a_1, a_2, \ldots, a_7$ , qui expriment l’interdépendance des termes en $x_0, x_1, x_2, x_3$ dans des relations algébriques. La computation par Buchberger fournit alors un ensemble de 10 équations pour ces coefficients. Cette approche conduit à une représentation du schéma de Hilbert comme un espace affine, spécifiquement un $A^{12}$ , où la densité de l’orbite de la courbe rationnelle normale est évidente. La dimension de $PGL(4,K)$ diminue de façon intéressante par rapport à $PGL(2,K)$ , ce qui donne une composante de dimension 12, tandis qu’une autre composante de dimension 15 décrit des schémas plus complexes, comme l’union d’une courbe cubique plane et un point disjoint.

L’intersection de ces deux composantes peut être explorée à travers l’étude d’une partie ouverte du schéma de Hilbert, où les idéaux saturés satisfont une condition particulière sur les termes principaux. En observant cette intersection, on découvre des schémas impliquant des courbes nodales et des points intégrés, ce qui correspond à une géométrie plus fine de l’espace de Hilbert.

Le rôle des idéaux de termes principaux devient alors un outil puissant pour décrire le mouvement d’un idéal sous les actions d’un groupe un paramètre. Considérons l’action d’une sous-groupe un paramètre de matrices diagonales sur un idéal homogène saturé $I$ . Cette action transforme $I$ et permet d’observer comment les termes principaux évoluent, menant à une définition plus claire du schéma de Hilbert comme un sous-schéma du Grassmannien. Ce processus d’analyse peut être formulé de manière élégante à travers des systèmes de familles un paramètre, où la limite des idéaux dans $\text{Hilbp}(P^n)$ permet de comprendre les variations géométriques des sous-variétés dans $P^n$ .

Les exemples comme celui de la courbe normale rationnelle dans $P^3$ illustrent la complexité des relations entre les coefficients des idéaux et permettent d’appliquer des méthodes computationnelles comme les bases de Gröbner pour décrire la structure du schéma de Hilbert. La clé de ces représentations réside dans la façon dont les équations sur les coefficients définissent géométriquement les sous-variétés dans $P^3$ .

Ce niveau d’abstraction permet de comprendre comment les propriétés géométriques d’une variété sont liées à l’algèbre des idéaux qui les définissent. Cela offre une vision profonde de la manière dont les schémas de Hilbert peuvent servir à décrire des phénomènes géométriques complexes, tout en fournissant un cadre pour des calculs précis à l’aide de l’algèbre computable.

En plus de ces aspects algébriques, il est crucial de noter que les schémas de Hilbert ne sont pas seulement des objets algébriques mais aussi géométriques, permettant d’interroger les structures profondes des variétés et des sous-variétés dans l’espace projectif. En approfondissant cette analyse, il devient possible d’explorer de nouvelles relations entre les idéaux et les propriétés topologiques des variétés dans $P^n$ , tout en cherchant à comprendre leur structure à travers les dimensions de la composante affine du schéma.

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