Comment la configuration d'une singularité cuspide influence les courbes de contact : Une analyse des isotopies et des ensembles saturés

Dans cette analyse, nous nous intéressons à la configuration des singularités cuspides et à leur effet sur les courbes de contact, un sujet fondamental en topologie et en dynamique des systèmes. La singularité cuspide $x_4$ joue un rôle crucial dans la compréhension de ces phénomènes. En traversant l'égalité de deux valeurs critiques, nous observons un changement important : au lieu de croiser cette égalité, nous passons par la suppression d'un point selle accompagné d'un centre. Cela modifie la structure des courbes de contact de manière significative.

Nous examinons ensuite la notion d'ensembles saturés, un outil précieux pour comprendre la dynamique des fonctions sous isotopies. L'ensemble saturé ascendant $Sz_0(x)$ d'un point $x \in S^2 \times [0,1]$ jusqu'à un certain niveau $z_0$, est défini comme le sous-ensemble minimal de $\{ f \leq z_0 \}$ contenant $x$ et satisfaisant certaines propriétés de stabilité et de régularité. Ces ensembles saturés permettent de décrire de manière rigoureuse l'évolution des courbes de contact sous l'effet des isotopies et de la dynamique de la fonction $f$.

Dans la Proposition 9.3.11, il est démontré qu'il existe une isotopie qui permet de faire évoluer un ensemble saturé $Sz_0(x)$ tout en conservant l'intégrité des points de contact et des arcs de gradient $L$. Cette isotopie est particulièrement utile pour gérer les transitions entre différentes configurations de singularités, telles que les paires de selles de type $X$, qui jouent un rôle majeur dans la dynamique de la fonction $f$ et dans la structure des courbes de contact.

Il est important de noter que la manipulation des singularités, en particulier des selles de type $X$, n'est pas simplement une question de transformation topologique. Ces manipulations révèlent des aspects profonds de la dynamique des systèmes et de la topologie des fonctions. Par exemple, lorsqu'un arc de selles traverse un certain niveau $z_0$, il peut produire des changements significatifs dans la structure de la fonction $f$, affectant ainsi les courbes de contact et leur comportement. La compréhension de ces phénomènes est cruciale pour saisir les subtilités des systèmes dynamiques impliquant des singularités cuspides et des isotopies.

Comment lever une application générique en une immersion équivariante lisse et les obstructions du double point

Dans l’étude des applications génériques entre variétés, une étape cruciale consiste à comprendre comment une application peut être relevée en une immersion ou un plongement lisse, tout en conservant certaines symétries équivariantes. On considère une application $f : N \to M$, souvent générique ou stable, et cherchons à la « lever » en une immersion $g : N \to M \times \mathbb{R}^k$ qui respecte une équivariance donnée.

Dans le cas lisse, on améliore la construction en considérant une variété à bord, où la régularité et la généricité de $f$ sont assurées sur toute la variété $N$, y compris sur son bord $\partial N$. Ceci permet d’étendre les constructions et d’éviter des complications liées au comportement en bordure. L’homotopie équivariante est alors construite à partir d’un relevé lisse $\check{\alpha}$ et d’une fonction auxiliaire $\kappa$, permettant de définir une application $\check{\varphi}$ à valeurs dans une boule avec bord, ainsi que son facteur de repliement ou « blowup » qui élimine les singularités au voisinage des points doubles.

Enfin, on s’appuie sur des arguments topologiques profonds concernant la trivialité stable des fibrés tangents et normaux associés à des doubles revêtements ou à des sous-variétés invariantes, pour justifier l’existence d’une application équivariante vers une sphère $S^{n-1}$. Cette équivariance est liée à l’obstruction de double point, codée dans certaines classes caractéristiques de Stiefel-Whitney, dont l’annulation est essentielle pour assurer l’existence d’un relèvement sans auto-intersection.

Au-delà de la construction explicite, il faut saisir que la technique repose sur l’étude des points doubles comme lieux d’obstruction, et sur leur élimination ou leur contrôle via des perturbations équivariantes soigneusement choisies. Cette démarche illustre la subtilité des interactions entre topologie différentielle, théorie des fibrés et homotopie équivariante, et souligne que la résolution du problème passe par un savant équilibre entre rigidité locale et souplesse homotopique globale.

La compréhension de ces résultats suppose une bonne maîtrise des outils de topologie différentielle, en particulier la théorie des immersions, des fibrés vectoriels, des classes de Stiefel-Whitney, ainsi que des techniques de perturbation dans les catégories différentiables et PL, avec prise en compte des actions de groupes et des espaces quotient.