Dans les modèles de Lemaître-Tolman (L-T), il existe des situations particulières où la structure de l’espace-temps présente des singularités qui défient notre compréhension classique des phénomènes gravitationnels. L'une de ces singularités est la "shell crossing", qui apparaît lorsque des flux de matière se croisent en raison de l’évolution de la distribution de la densité dans le modèle. Bien que cela puisse sembler une rupture grave de la continuité de l’espace-temps, il existe des moyens de contourner ce problème, ou du moins de mieux comprendre son impact.

Un aspect central du modèle L-T est sa capacité à décrire des configurations cosmologiques dynamiques où la densité de matière varie en fonction de la position et du temps. Dans de nombreux cas, les singularités de type shell crossing sont considérées comme une rupture moins sérieuse par rapport à des événements cosmiques plus extrêmes, comme le Big Bang. En effet, ces singularités sont souvent interprétées comme des artefacts dus à des gradients de pression nuls dans certains modèles de L-T. Cette situation pourrait être modifiée si des modèles avec des gradients de pression non nuls étaient développés, offrant ainsi une densité de matière plus élevée, mais finie, à cet endroit.

L'une des caractéristiques remarquables du modèle L-T est la possibilité de prolonger l’espace-temps à travers une singularité de shell crossing, comme cela a été observé par Newman en 1986. Dans ce contexte, les coordonnées de Gautreau (1984), utilisées dans les modèles L-T, permettent cette extension. Ces coordonnées sont définies par (τ, R, θ, φ), où τ est le temps et R est lié à la distance radiale, respectant certaines équations différentielles qui régissent le comportement de la métrique de l’espace-temps. Il est important de noter que cette extension ne résout pas complètement la singularité, mais permet à l’espace-temps de se prolonger de manière continue bien que non différentiable à cet endroit précis.

Cependant, même si la métrique peut être étendue à travers la singularité, les dérivées des composants métriques comme g₀₀, g₀₁ et g₁₁ deviennent singulières au niveau de la shell crossing. Cette non-différentiabilité suggère que, bien que la géométrie de l’espace-temps soit continue, la structure de la courbure et des dérivées du champ de vitesse qui en découle connaît une discontinuité finie à l'endroit de la singularité. Cela conduit à des anomalies dans la déviation géodésique, où les lignes de flux peuvent se croiser sans pour autant se confondre, mais continuent à se propager après cette intersection.

Visuellement, dans un modèle avec E = 0, on peut observer ce phénomène dans des diagrammes spatiaux, où les lignes de flux de matière se superposent dans la région derrière la singularité de shell crossing. Ce type de singularité est particulièrement intéressant dans les discussions sur la "censure cosmologique" (CCH), qui stipule que les singularités doivent être dissimulées derrière des horizons pour éviter des effets imprévisibles. Toutefois, comme l’indiquent les contre-exemples historiques à cette hypothèse, le comportement des singularités dans les modèles L-T peut remettre en question les formulations classiques de la CCH, qui exclut les singularités "nues" qui pourraient libérer matière et rayonnement de manière incontrôlable.

L’un des aspects essentiels à comprendre pour le lecteur est que bien que les modèles L-T permettent une extension de l’espace-temps à travers la singularité de shell crossing, cela ne résout pas toutes les anomalies géométriques ou physiques associées. En particulier, la discontinuité dans le champ de vitesse et la déviation géodésique reste un défi pour une compréhension plus profonde des dynamiques de l’univers aux moments critiques, comme lors du Big Bang ou de la contraction de l'univers (Big Crunch). Les extensions proposées, comme celles basées sur les coordonnées de Gautreau, apportent un éclairage supplémentaire, mais la singularité persiste sous une forme plus complexe, exigeant une étude plus approfondie des propriétés non triviales de la matière et de la gravité dans de tels contextes.

Qu'est-ce qu'une ligne géodésique et comment se manifeste la courbure d'une variété ?

Une ligne géodésique est une courbe GG dont le vecteur tangent vα=dxαdτv^{\alpha} = \frac{dx^{\alpha}}{d\tau}, après avoir été transporté parallèlement le long de la courbe de xα(τ0)∈Gx^{\alpha}(\tau_0) \in G à xα(τ)∈Gx^{\alpha}(\tau) \in G, reste colinéaire au vecteur tangent défini en chaque point de la courbe. Autrement dit, le vecteur tangent à la géodésique se prolonge de manière cohérente au fil du temps, exprimé par l’équation :

∣vα∣∥(τ)∣=λ(τ)vα(τ).| v^{\alpha} | \parallel (\tau) | = \lambda (\tau)v^{\alpha} (\tau).

Dans le cas d'une ligne droite dans un espace euclidien, l'intégrale associée est nulle et si l'on choisit la longueur de l'arc comme paramètre τ\tau, alors λ(τ)=1\lambda(\tau) = 1. Une ligne géodésique représente ainsi une généralisation de la notion de droite dans tout espace avec une connexion affine. Ce concept permet de relier des points de l'espace, en utilisant la géométrie de la variété, à travers le transport parallèle des vecteurs et la définition de la courbure locale. En définissant la dérivée du vecteur tangent par rapport au paramètre τ\tau, on obtient :

d2xαdτ2+Γσραdxσdτdxρdτ=0,\frac{d^2 x^{\alpha}}{d\tau^2} + \Gamma^{\alpha}_{\sigma \rho} \frac{dx^{\sigma}}{d\tau} \frac{dx^{\rho}}{d\tau} = 0,

où Γσρα\Gamma^{\alpha}_{\sigma \rho} représente les coefficients de connexion affines qui gouvernent la courbure de l’espace. Cette équation est la forme fondamentale de l'équation géodésique qui décrit comment les géodésiques se comportent sous l'influence de la courbure locale.

Dans le cadre de la géométrie différentielle, on peut modifier le paramètre τ\tau pour obtenir une nouvelle paramétrisation qui simplifie l’analyse. Par exemple, en remplaçant τ\tau par un paramètre affine ss, tel que s(τ)=∫dtλ(t)s(\tau) = \int \frac{dt}{\lambda(t)}, l'équation géodésique devient plus simple :

d2xαds2+Γσραdxσdsdxρds=0.\frac{d^2 x^{\alpha}}{ds^2} + \Gamma^{\alpha}_{\sigma \rho} \frac{dx^{\sigma}}{ds} \frac{dx^{\rho}}{ds} = 0.

Dans cette nouvelle forme, le vecteur tangent transporté parallèlement le long de la géodésique est non seulement colinéaire au vecteur tangent local, mais il coïncide avec lui. Ce paramètre affine ss existe pour toute fonction λ(τ)≠0\lambda(\tau) \neq 0, et est défini jusqu’aux transformations linéaires s′=as+bs' = a s + b, où aa et bb sont des constantes. L’affinité de ce paramètre permet de garantir que chaque point de l’espace possède une géodésique unique qui y passe et qui est tangent à un vecteur donné. Cela nous amène à la démonstration d'un théorème fondamental en géométrie différentielle :

Théorème 5.1 : Dans une variété MnM^n avec une connexion affine, pour chaque point xx et chaque vecteur vv tangent à MnM^n en xx, il existe une ligne géodésique passant par xx qui est tangent à vv.

Cependant, deux points d'une variété avec connexion affine ne peuvent pas toujours être reliés par une géodésique unique. Par exemple, dans une variété non connectée, comme l'hyperboloïde à deux feuilles, il est impossible de tracer une géodésique reliant deux points. En revanche, dans des espaces comme la surface d’un cylindre, où les géodésiques sont représentées par des droites, des cercles ou des hélices, il existe une infinité de géodésiques reliant deux points, selon l’orientation et la direction choisies pour la courbe.

Les géodésiques sont donc intimement liées à la structure géométrique de la variété considérée, et elles permettent de décrire de manière précise la courbure de l'espace dans lequel elles résident. Le facteur qui influence leur comportement est la connexion affine, qui détermine comment les vecteurs sont transportés parallèlement tout au long du trajet géodésique.

Dans le cadre de la courbure d'une variété, il convient de noter que seule la partie symétrique de la connexion affine contribue à l’équation géodésique. En outre, la courbure peut être caractérisée par le tenseur de courbure, BαβγδB_{\alpha \beta \gamma \delta}, qui quantifie l’écart entre les dérivées covariantes successives de vecteurs, et donc l’effet de la courbure sur le comportement des géodésiques. Ce tenseur est défini comme :

Bαβγδ=−Γαβγ,δ+Γαβδ,γ+ΓασγΓσδβ−ΓασδΓσγβ.B_{\alpha \beta \gamma \delta} = -\Gamma_{\alpha \beta \gamma, \delta} + \Gamma_{\alpha \beta \delta, \gamma} + \Gamma_{\alpha \sigma \gamma} \Gamma_{\sigma \delta \beta} - \Gamma_{\alpha \sigma \delta} \Gamma_{\sigma \gamma \beta}.

Il permet de décrire la variation du vecteur tangent au fil du transport parallèle, fournissant ainsi une mesure de la courbure locale de la variété. Ce concept est crucial dans les espaces courbes, où les géodésiques ne sont plus des lignes droites, mais des courbes qui épousent la géométrie intrinsèque de l’espace.

L’équation géodésique et le tenseur de courbure sont donc des outils essentiels pour comprendre non seulement la structure géométrique des variétés, mais aussi la manière dont les trajectoires dans ces espaces évoluent sous l'influence de la courbure locale.

Comment les extensions de la métrique de Kerr modifient notre compréhension des horizons et des régions temporelles

Les extensions de la métrique de Kerr, telles que présentées dans les diagrammes de Kruskal, révèlent des aspects fascinants du comportement des horizons dans l'espace-temps. Nous avons vu comment, en élargissant certaines régions le long des champs nulles (ℓ et k), des copies supplémentaires de régions similaires à celles de l'espace-temps de Schwarzschild apparaissent. Cette construction nous permet de mieux comprendre le passage à travers des horizons, en particulier dans des contextes où les champs nulles sont définis et où la notion de temps et de causalité devient plus complexe.

Dans un premier temps, l'extension de la région r>r+r > r+ le long du champ ℓ\ell dans le cadre E′E' produit les régions −1 et −2, tandis que l'extension dans le cadre EE le long du champ kk donne les régions 1 et 2. Cela nous permet de concevoir un ensemble de « copies » de régions qui ne se superposent pas nécessairement dans le même espace-temps, mais qui sont connectées par des transformations appropriées. Ces extensions, comme celles illustrées dans la Fig. 21.13 à gauche, mettent en évidence une situation où, à travers les horizons r=r+r = r+ et r=r−r = r-, deux chemins différents peuvent mener à des situations apparemment équivalentes mais dans des configurations d'espace-temps distinctes.

L'ajout de nouvelles copies, telles que les régions 0′′0'' et −2′′-2'', n'est possible que grâce à la modification de certaines relations de coordonnées. Les champs ℓ\ell et kk ne sont pas seulement des éléments géométriques, mais des vecteurs qui, dans certaines situations, peuvent pointer dans des directions opposées en fonction de la région considérée. Par exemple, alors que kk est normalement ingoing, dans la région −1-1, un changement de signe permet de traiter le champ comme sortant, ce qui modifie la nature des horizons rencontrés.

Cela conduit à une idée essentielle : bien que la structure de l'espace-temps semble relativement simple dans les régimes non-horizontaux, à l'approche des horizons, cette simplicité disparaît au profit d'une topologie plus complexe, où de multiples copies de régions identiques apparaissent. L'extension des régions comme +1′′+1'' et +2′′+2'' suit un principe analogue à celui des extensions de Kruskal dans l'espace-temps de Schwarzschild. Toutefois, contrairement à Schwarzschild, où les champs nulles sont tangents à des surfaces formant une géométrie de type "carte", dans le cas de Kerr, les champs kk et ℓ\ell ne se contentent pas de former de telles surfaces, rendant la compréhension et la gestion de ces régions plus délicates.

Le point crucial qui émerge ici est la nécessité de choisir des coordonnées adaptées qui permettent de couvrir simultanément ces nouvelles régions et de faire des identifications claires entre les différentes copies. Ce défi est particulièrement visible lorsque l'on cherche à démontrer que +1+1 et +1′′+1'' sont en réalité des représentations de la même région de l'espace-temps. Dans ce contexte, il devient impératif de recourir à des transformations de coordonnées spécifiques, telles que les coordonnées uu et vv, qui permettent d’étudier la structure de l’espace-temps de manière plus cohérente.

Cela dit, ces extensions ne sont pas exemptes de difficultés. En effet, la métrique de Kerr dans le formalisme de (u,v)(u, v) révèle des singularités qui, bien que non physiques, doivent être éliminées pour permettre une extension de la solution dans l'ensemble de l'espace-temps. Par exemple, les singularités apparentes à r=r+r = r+ peuvent être éliminées par un choix de fonction appropriée, comme dans la relation F(u±v)=(u±v)2F(u \pm v) = (u \pm v)^2, mais il reste une singularité à traiter à r=r−r = r-, ce qui nécessite une approche différente pour chaque cas.

Finalement, la nature des horizons dans le cas de la métrique de Kerr révèle des subtilités géométriques et topologiques qui sont fondamentales pour une compréhension approfondie de la dynamique des trous noirs en relativité générale. Ces horizons ne sont pas de simples « frontières » ou « limites » ; ils sont des entités dynamiques, où la structure de l'espace-temps se déploie de manière non triviale. La capacité à manipuler ces extensions et à comprendre la continuité et la causalité dans ce cadre est essentielle pour quiconque souhaite explorer plus avant la physique des trous noirs et des espaces-temps courbes.

Les lecteurs doivent garder à l'esprit que ces concepts vont bien au-delà de la simple manipulation des coordonnées et des champs dans un espace-temps donné. Ils posent des questions profondes sur la nature de l'espace-temps, la causalité, et la manière dont les différentes régions peuvent interagir ou coexister sans contradictions. La compréhension des extensions de Kerr et de leur rôle dans la structure de l'espace-temps des trous noirs est un domaine complexe, mais il est au cœur des recherches modernes en relativité générale et en astrophysique théorique.

Quel est l'impact de la précession de l'axe du gyroscope sur l'évolution de l'univers ?

La précession de l'axe du gyroscope, phénomène fondamental en mécanique céleste et relativité, reflète l’interaction subtile mais profonde entre la rotation d'un objet et le champ gravitationnel qui l'entoure. À la base, il s'agit de l'effet par lequel l'axe de rotation d'un gyroscope (ou d'un objet en rotation) se déplace sous l’influence de forces externes. Dans un cadre cosmologique plus large, cet effet permet de mieux comprendre les propriétés des corps célestes en rotation, ainsi que les caractéristiques de l’espace-temps autour de ces corps.

Ce phénomène trouve une résonance particulière dans l’étude de la relativité générale, notamment dans les solutions exactes des métriques comme celle de Schwarzschild, où la dynamique des objets en orbite autour d'un trou noir ou d’une étoile à neutrons peut être influencée par ce phénomène. La précession ne se limite pas à une simple courbure de trajectoire ; elle offre des aperçus précieux sur la structure de l’espace-temps lui-même. Dans le cas des trous noirs, par exemple, la précession de l'axe du gyroscope peut être un outil précieux pour observer des effets gravitationnels extrêmes comme la déviation de la lumière ou le décalage des orbites des planètes et des étoiles.

La relativité générale décrit la gravité comme une courbure de l'espace-temps provoquée par la présence de masse et d’énergie. La précession s’intègre dans cette conception, montrant que même un mouvement apparemment simple, comme celui d’un gyroscope, peut induire des changements dans la géométrie de l’espace-temps. Les géodésiques, ou les trajectoires suivies par les objets sous l’effet de la gravité, ne sont pas seulement modifiées par les masses en présence, mais aussi par la rotation et la dynamique de ces objets.

De manière plus générale, la notion de précession devient essentielle pour la compréhension des comportements des systèmes dans des conditions extrêmes. Par exemple, dans l’univers à grande échelle, les champs gravitationnels supermassifs, comme ceux autour des trous noirs ou dans les environnements de galaxies en rotation, génèrent des effets de précession qui influencent la trajectoire des objets à travers l'espace-temps. Ce phénomène peut aussi être observé dans les oscillations de certains systèmes de particules, notamment dans des modèles relativistes de fluides ou de champ magnétique.

L’une des conséquences les plus remarquables de la précession de l’axe du gyroscope est son application aux tests de la relativité générale. Les expériences de précession, telles que celles réalisées avec des gyroscopes atomiques dans les satellites, permettent de tester directement les prédictions d’Einstein concernant la déformation de l’espace-temps par la gravité. Ces tests sont cruciaux pour affiner notre compréhension de l’univers, en particulier lorsqu'il s'agit d’étudier des objets comme les trous noirs ou les étoiles à neutrons, où les effets relativistes sont extrêmement prononcés.

Il est également intéressant de noter que, bien que le phénomène soit bien compris dans le cadre de la mécanique classique, son extension à la relativité générale ouvre des perspectives inédites. La précession dans ce contexte n'est pas simplement le résultat d'une interaction mécanique, mais plutôt un phénomène émergent des propriétés de l'espace-temps lui-même, influencé par la masse, la rotation et la courbure gravitationnelle.

Dans un contexte plus théorique, les travaux sur la géométrie de l'espace-temps, tels que ceux de Schwarzschild ou de Weyl, montrent comment la précession peut être un outil pour explorer des aspects plus profonds de la structure de l'univers, en particulier dans des modèles cosmiques où la symétrie et la géométrie sont influencées par la présence de masses en rotation. Ce phénomène met en lumière l'interconnexion entre la rotation, la gravité et la géométrie de l'univers.

Enfin, il est essentiel de considérer l'impact de la précession sur notre vision des trajectoires lumineuses dans des environnements fortement courbés. Le déviement des rayons lumineux, en particulier dans des champs gravitationnels puissants, peut être lié directement à l’effet de précession, affectant la manière dont nous observons l'univers distant. Les observateurs situés dans de tels environnements pourraient percevoir des déformations de l’espace-temps qui ne seraient autrement invisibles dans des situations plus ordinaires.

Il est important de comprendre que la précession n’est pas un phénomène isolé. Elle fait partie d’un ensemble d’effets qui modifient la façon dont l’espace-temps se comporte sous l’influence de masses et d’énergies. Cela nous amène à réfléchir non seulement à la dynamique des objets célestes, mais aussi à la nature même de l’espace-temps et de la gravité dans des contextes extrêmes.

Quelles sont les différentes représentations du métrique de Robertson–Walker et leurs propriétés fondamentales ?

Les métriques de Robertson–Walker (R–W) possèdent plusieurs formes distinctes qui apparaissent fréquemment dans la littérature, chacune adaptée à des contextes géométriques ou physiques particuliers. La forme la plus classique exprime l’intervalle invariant par :

ds2=dt2−R2(t)(dr2+f2(r)dϑ2+sin⁡2ϑ dφ2)ds^2 = dt^2 - R^2(t) \left( dr^2 + f^2(r) d\vartheta^2 + \sin^2 \vartheta\, d\varphi^2 \right)
où la fonction f(r)f(r) dépend du paramètre de courbure kk selon que celui-ci soit positif, nul ou négatif. Cette dépendance peut être unifiée dans l’expression sin⁡(kr)/k\sin(\sqrt{k}r)/\sqrt{k}, avec les limites adéquates en fonction du signe de kk. Ainsi, la métrique décrit une variété spatiale à courbure constante, sphérique, euclidienne ou hyperbolique, se développant temporellement selon la fonction d’échelle R(t)R(t).

Les coordonnées utilisées dans ces représentations ont un domaine défini par la nature de kk. Par exemple, lorsque k>0k > 0, elles ne couvrent souvent qu’une moitié de la 3-sphère spatiale à temps constant, rendant la considération des régions proches de l’équateur géométrique moins directe. D’autres formes, moins courantes, émergent en imposant des symétries supplémentaires, comme deux champs de Killing commutants, conduisant à une métrique indépendante de certaines coordonnées spatiales tout en conservant la courbure spatiale constante.

Une forme alternative intéressante est issue de la symétrie plane. Lorsque le paramètre constant CC s’annule, la métrique devient plate (i.e., k=0k=0), tandis qu’un C≠0C \neq 0 correspond à une courbure négative. Il est notable que la métrique R–W pour k>0k > 0 ne peut être compatible avec une symétrie plane, ce qui limite les possibilités géométriques dans ce cadre.

Une autre approche provient de la représentation Goode–Wainwright (G–W) des modèles de Szekeres. Ces formes, plus complexes, intègrent des fonctions arbitraires dépendant d’une coordonnée spatiale zz, tout en assurant que les tranches spatiales à temps constant soient des espaces à courbure constante. Elles partagent avec les métriques R–W les propriétés remarquables que les lignes de temps sont des géodésiques sans cisaillement et que le scalaire d’expansion dépend uniquement du temps, ce qui caractérise profondément ces espaces-temps cosmologiques.

Il est également essentiel de souligner que la composante de rotation du vecteur vitesse 4-dimensionnel associé à la matière est nulle dans ces modèles. Cette condition permet l’existence de coordonnées dites comobiles-synchrones, où le tenseur métrique ne comporte pas de termes mêlant espace et temps. La construction de telles coordonnées repose sur l’annulation du tenseur de rotation, qui garantit la possibilité de synchroniser les horloges des observateurs comobiles sans ambiguïté.

Le choix de ces différentes représentations dépend donc autant des symétries que l’on souhaite exploiter que des propriétés physiques étudiées, mais elles décrivent toutes un même cadre fondamental : un univers homogène et isotrope spatialement, en expansion ou contraction temporelle selon la fonction d’échelle R(t)R(t).

Au-delà de la simple description mathématique, il importe de comprendre que ces diverses formes métriques sont des outils essentiels pour modéliser des phénomènes cosmologiques variés, notamment l’évolution de l’univers selon les paramètres de courbure et les contenus énergétiques. La maîtrise des transformations entre ces formes et la compréhension des domaines de validité des coordonnées employées facilitent l’interprétation physique des modèles et leur application dans des calculs concrets, tels que la propagation des ondes lumineuses, la dynamique des fluides cosmologiques ou encore l’analyse des singularités.

Par ailleurs, la caractérisation des géodésiques sans cisaillement et l’étude du scalaire d’expansion fournissent une base solide pour comprendre la dynamique locale et globale de ces univers. Ces concepts sont aussi fondamentaux pour la construction de modèles plus sophistiqués incorporant des inhomogénéités, des anisotropies ou des couplages avec d’autres champs physiques.

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