Quelles implications physiques et géométriques les horizons apparents ont-ils dans les modèles cosmologiques inhomogènes ?

La notion d’horizon apparent occupe une position centrale dans l’étude des modèles relativistes inhomogènes, notamment dans les solutions de Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) où la dynamique gravitationnelle s'écarte de l'homogénéité stricte imposée par les modèles de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). L'horizon apparent, défini comme l'hypersurface où les rayons lumineux dirigés vers l'extérieur cessent de s'éloigner, revêt un caractère profondément géométrique, directement lié à la courbure de l’espace-temps et à la distribution de la matière. Dans ces configurations, l'horizon apparent n’est plus une entité fixe ou universelle : il dépend de la coordonnée radiale, du profil de densité et de la fonction de temps du Big Bang locale, révélant les structures fines de l’univers.

La multiplicité des définitions possibles des horizons — passé, futur, apparent, événementiel — exige une distinction rigoureuse, notamment en contexte inhomogène où leurs trajectoires ne coïncident pas nécessairement. L’horizon apparent, par contraste avec l’horizon d’événement, est une entité locale et quasi-instantanée, calculée à partir de conditions différentielles sur le gradient du rayon aréal. Sa détermination repose sur la condition que le vecteur gradient du rayon lumineux soit nul ou change de signature. Ce critère le rend particulièrement adapté pour décrire les propriétés locales du flux de lumière, indépendamment de la structure globale de l’univers.

Dans les modèles LTB, l’apparition de l’horizon apparent est corrélée avec des effets d’accélération apparente de l’expansion cosmique. Ce phénomène, parfois interprété comme dû à l’énergie noire dans les modèles homogènes, peut être mimé dans les modèles inhomogènes par la présence d’un vide central, conduisant à une distorsion des signaux lumineux reçus par un observateur situé dans une sous-densité. Cette accélération effective est alors une illusion géométrique engendrée par la dynamique du rayon lumineux dans une métrique inhomogène, et l’horizon apparent joue ici un rôle déterminant : il définit la frontière au-delà de laquelle l’interprétation de l’observation cosmologique devient ambiguë.

L’horizon apparent peut également s’effondrer ou se former au cours du temps, suivant le profil de densité et l’évolution temporelle de la solution. Dans les configurations où une singularité nue peut émerger — telles que certaines solutions auto-similaires du type Tolman — la position relative de l’horizon apparent et de la singularité devient cruciale. Si la singularité précède la formation de l’horizon, elle devient visible, en contradiction avec la conjecture de censure cosmique faible. Ainsi, l’étude des horizons apparents n’est pas simplement un exercice de géométrie différentielle, mais constitue un test fondamental de la validité des principes de la relativité générale elle-même.

D’un point de vue mathématique, la détermination précise de l’horizon apparent dans une métrique LTB implique la résolution d’équations polynomiales du second ordre en termes de la fonction de masse effective et du rayon aréal. La complexité de ces expressions reflète la non-linéarité intrinsèque du couplage entre matière et géométrie. Ces expressions sont sensibles aux variations locales des conditions initiales, conférant une richesse phénoménologique aux modèles inhomogènes, notamment en ce qui concerne les observations à grand redshift, l’effet de lentille gravitationnelle et la dérive du redshift.

Il est crucial de noter que l’introduction d’un horizon apparent implique également une redéfinition des notions de distance observables. La distance angulaire, la distance de luminosité, ou la distance comobile doivent être recalculées en tenant compte de la position dynamique de l’horizon. Cela entraîne des corrections non négligeables aux mesures cosmologiques inférées à partir des supernovae, du fond diffus cosmologique ou de la distribution des galaxies.

Ce que le lecteur doit encore intégrer, c’est que l’horizon apparent, contrairement à une frontière causale stricte, n’est pas

Comment les distributions de densité évoluent-elles dans l'univers à différentes époques?

L'étude des modèles Lemaître–Tolman (L–T) permet d'analyser l'évolution de la densité et de la vitesse d'expansion dans un univers en expansion ou en contraction. Ces modèles sphériques, bien que simples en apparence, englobent des dynamiques complexes liées à la gravitation et à l'énergie dans un cadre cosmologique.

La première étape dans l'analyse consiste à utiliser la masse $M$ comme coordonnée radiale, en définissant les distributions de densité à deux instants distincts $t_1$ et $t_2$ , avec $t_2 > t_1$ . La densité à un instant $t_i$ et pour une masse $M$ est donnée par la relation $\rho_i(M) = \rho(t_i,M) = \frac{\epsilon(t_i,M)}{c^2}$ , où $\epsilon(t_i,M)$ est l'énergie au temps $t_i$ et $c$ est la vitesse de la lumière. À partir de cette définition, on peut calculer les rayons $R(t_i,M)$ en utilisant une relation dynamique qui relie la densité à l'expansion ou à la contraction de la matière.

On suppose que l'expansion a eu lieu entre les instants $t_1$ et $t_2$ , ce qui est cohérent avec les études de formation des structures dans l'univers. Cependant, des scénarios analogues peuvent également être explorés dans des contextes de matière en effondrement, bien que l'accent ici soit mis sur l'expansion. Ce processus est bien décrit par les équations d'évolution, dont la forme dépend de l'énergie totale $E$ , qui peut être positive ou négative.

Pour les cas où $E > 0$ , l'évolution est analysée en utilisant des fonctions hyperboliques, et l'intégration de ces relations donne une expression pour la fonction $\eta_i$ , qui relie le temps cosmologique au temps de référence $t_B(M)$ . Cela permet de relier l'évolution de la densité à la dynamique des rayons $R$ , en tenant compte des paramètres initiaux comme la distribution de masse à l'instant $t_1$ . La solution du modèle est unique si certaines conditions sur les paramètres sont remplies. Ces conditions sont spécifiées par des inégalités, comme celle qui relie le temps $t_2 - t_1$ à des expressions fonctionnelles des rayons $R_1$ et $R_2$ .

Lorsque l'énergie $E < 0$ , la situation devient plus compliquée. En effet, l'inverse de la fonction cosinus, dans la plage $[0, \pi]$ et $[\pi, 2\pi]$ , implique que le modèle L–T évoluant entre deux états donnés doit être examiné de manière distincte selon que l'état final est en expansion ou en recollapse. Pour un état final en expansion, une nouvelle série d'équations doit être résolue pour déterminer l'évolution des variables dans le modèle L–T. Ces équations sont également accompagnées de conditions supplémentaires sur les paramètres pour garantir l'existence et l'unicité des solutions.

Il est important de noter que l'existence d'une solution dans ces modèles n'est pas garantie sans vérifier certaines inégalités qui dépendent de l'amplitude de l'expansion et des conditions initiales. Ces inégalités, comme celles qui comparent $t_2 - t_1$ aux rayons $R_1$ et $R_2$ , fournissent un cadre précis pour déterminer si une évolution cosmologique donnée est possible dans le cadre du modèle L–T. De plus, il est crucial d'examiner les conditions pour éviter des phénomènes comme les croisements de coquilles (shell crossings), qui peuvent survenir si les conditions initiales ne sont pas correctement définies. Ces croisement de coquilles sont des singularités dans l’évolution du modèle, et il est donc nécessaire de les détecter et de les éliminer pour obtenir un modèle physique réaliste.

L’évolution de la densité par rapport à la vitesse d'expansion est également une question centrale. En définissant une nouvelle variable $b_1(M) = \frac{R,t(t_1,M)}{M^{1/3}}$ , qui donne la vitesse d'expansion à l'instant initial normalisée par la masse, il devient possible d’explorer la dynamique de l'univers à partir d'un point de vue plus détaillé. Les équations de l’évolution de cette vitesse sont semblables à celles pour la densité, mais avec des ajustements importants pour tenir compte des propriétés spécifiques de la vitesse d’expansion et des inhomogénéités spatiales.

Dans ce contexte, deux signes pour l’énergie $E$ (positive ou négative) doivent être examinés séparément. Pour $E > 0$ , les solutions peuvent être trouvées en résolvant une nouvelle série d’équations qui incluent des fonctions trigonométriques inverses et des termes d’expansion. De manière similaire, pour $E < 0$ , les cas où l’état final est en expansion ou en contraction doivent également être traités séparément, avec des solutions uniques obtenues sous des conditions spécifiques liées aux inégalités sur le temps $t_2 - t_1$ .

Dans tous les cas, le but est de déterminer l'évolution des densités et des vitesses d'expansion entre deux instants, en s'assurant que les conditions physiques (comme les croissements de coquilles) sont respectées et que l’évolution cosmologique suivie par le modèle est bien définie et réaliste.

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