Comment les applications entre variétés définissent des transformations de champs de vecteurs et de formes

Les applications entre variétés différentiables jouent un rôle crucial dans le contexte de la géométrie différentielle et de la physique théorique. Elles permettent de relier des objets géométriques définis sur des variétés différentes, facilitant ainsi la compréhension des transformations entre ces espaces. Cette section explore la manière dont une application $F: M^n \rightarrow P^m$ entre deux variétés différentiables détermine des transformations de champs de vecteurs, de fonctions et de formes, ainsi que les propriétés associées aux densités de tenseurs.

Lorsqu’une application $F: M^n \rightarrow P^m$ est définie entre deux variétés différentiables $M^n$ et $P^m$ , elle introduit des transformations naturelles de plusieurs objets géométriques. Si $f: P^m \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction définie sur $P^m$ , alors en prenant l'image de $f$ à travers $F$ , on obtient une nouvelle fonction sur $M^n$ , notée $f \circ F$ . Cette opération se fait de manière naturelle, et on peut définir une notation associée à cette transformation de fonction, désignée par $F^*_0 f$ . Ce mappage, aussi appelé pullback, renvoie la fonction $f$ sur $M^n$ , permettant ainsi de relier les fonctions définies sur $P^m$ à celles définies sur $M^n$ .

Un autre aspect fondamental des applications entre variétés est leur capacité à transformer des champs de vecteurs. Supposons que $v^\alpha$ soit un champ de vecteurs contravariant sur $M^n$ . Ce champ définit une famille de courbes $x^\alpha(\tau)$ tangentes aux vecteurs de ce champ. Si ces courbes se trouvent dans le domaine de l'application $F$ , alors les images de ces courbes dans $P^m$ , notées $y^a(\tau) = F^a(x^\alpha(\tau))$ , sont aussi paramétrées par le même paramètre $\tau$ . Grâce à cette paramétrisation, on peut dériver les coordonnées $y^a(\tau)$ par rapport à $\tau$ , obtenant ainsi un nouveau champ de vecteurs sur $P^m$ , noté $w^a$ . Le mappage associé, appelé pushforward, relie les champs de vecteurs sur $M^n$ à ceux sur $P^m$ , et est noté $F_*^1 v$ .

Ce processus de transformation des champs de vecteurs est décrit par la relation :

\frac{d}{d\tau} F^a(x) = F^a_{,\alpha} \frac{d x^\alpha}{d\tau},

qui est analogue à la loi de transformation des vecteurs contravariants. De cette manière, l’application $F$ entre les variétés détermine un mappage de champs de vecteurs de $M^n$ à $P^m$ , ce qui permet de comprendre comment les vecteurs se transforment sous des changements de coordonnées ou de variété.

La transformation des formes covariantes suit un schéma similaire. Une forme covariante $\omega_a$ définie sur $P^m$ peut être "rapatriée" sur $M^n$ via le pullback, et cela peut être exprimé comme suit :

(F^*_1 \omega)(v) = \omega(F_*^1 v),

où $v$ est un champ de vecteurs sur $M^n$ . Cette transformation, qui fait intervenir les dérivées directionnelles, est analogique à la transformation des champs de vecteurs, mais cette fois-ci, elle concerne les formes définies sur les variétés. La relation d'indexation associée à ce pullback s’écrit :

(F^*_1 \omega)^\alpha = \omega_a F^{a}_{,\alpha}.

Ainsi, le mappage $F$ entre variétés permet non seulement de transformer des champs de vecteurs, mais aussi des formes, montrant l'interconnexion entre ces objets géométriques dans un cadre de transformations différentiables.

Lorsqu’on considère des tenseurs de rang plus élevé, il est possible de généraliser ces opérations à des tenseurs de rang quelconque, ce qui permet de transporter des objets géométriques entre différentes variétés. Cependant, cette transformation n'est valide que pour des transformations non-singulières. Dans le cas de variétés où $n \neq m$ , ou si $F$ n’est pas inversible, certains objets géométriques ne peuvent pas être transformés dans toutes les directions.

Un aspect particulier des transformations entre variétés concerne les densités de tenseurs. Si la dimension de la variété $M^n$ dépasse celle de $P^m$ , certaines courbes sur $M^n$ peuvent être envoyées sur un point de $P^m$ , ce qui rend la transformation des champs de vecteurs nulle dans ces cas. De plus, les tenseurs de densité sont liés à des opérations antisymétriques sur les indices. Si l’on travaille avec une fonction antisymétrique $\epsilon_{\alpha_1 \dots \alpha_n}$ , on observe que cette fonction est non nulle uniquement pour des permutations particulières des indices, et elle est définie par un nombre qui reflète la parité de la permutation. En fait, cette fonction antisymétrique est appelée symbole de Levi-Civita.

Ce dernier symbole, $\epsilon_{\alpha_1 \dots \alpha_n}$ , est fondamental pour la définition des volumes sur une variété et pour la compréhension des propriétés invariantes sous les permutations des indices. Lorsque ce symbole est utilisé dans des expressions comme le produit d’un déterminant ou des calculs impliquant des tenseurs de densité, il permet de quantifier l’invariance et les transformations géométriques associées à ces opérations.

Il est important de noter que les transformations des tenseurs, des formes et des champs de vecteurs sont essentielles pour une analyse cohérente des phénomènes physiques dans un cadre différentiellement invariant. Les objets géométriques doivent être traités avec une rigueur particulière lors des transformations de variétés, car ces objets sont étroitement liés aux propriétés globales et locales des espaces concernés.

Le champ électrique peut-il empêcher l’effondrement gravitationnel ultime ?

Dans le cadre des modèles cosmologiques avec symétrie sphérique, la présence de la charge électrique modifie profondément l’évolution de la matière, en particulier lorsqu’il s’agit de poussière autogravitante. En l’absence de constante cosmologique, l’équation qui gouverne l’évolution du rayon de courbure $R(t, r)$ prend la forme d’un trinôme en $R$ , dont les racines déterminent les points de retournement du mouvement radial. Le comportement de la solution dépend alors du signe de l’énergie spécifique $E(r)$ et de la relation entre la masse gravitationnelle $M(r)$ , la charge électrique $Q(r)$ , et leur densité radiale $Q_{,N}$ . Ce cadre permet d’envisager, dans certains cas, une évolution exempte de singularité de type Big Crunch.

Lorsque $E < 0$ , la fonction $W(R)$ décrivant l’évolution présente deux racines réelles si et seulement si l’inégalité $M^2 \geq 2E Q^2 \left(Q_{,N}^2 - G/c^4\right)$ est satisfaite. Si de plus $Q_{,N}^2 < G/c^4$ et $M > 0$ , alors ces deux racines sont positives et définissent une zone d’oscillation pour $R$ , empêchant ainsi l’effondrement vers une singularité. Cela signifie que la présence de la charge électrique crée une barrière de potentiel qui bloque l’évolution de la poussière avant que $R$ n’atteigne zéro, empêchant ainsi la formation d’une singularité.

Dans le cas limite où les deux racines de $W(R)$ coïncident, le modèle devient statique. Si, en plus, la fonction $\Gamma(r_b)$ s’annule, alors $E(r_b) = -1/2$ , et la solution extérieure correspond à la métrique extrême de Reissner–Nordström, caractérisée par l’égalité $e^2 = m^2$ . Cette configuration représente un équilibre fin entre la répulsion électrostatique et l’attraction gravitationnelle, ce qui interdit toute dynamique future.

Quand $E = 0$ , le scénario est plus simple : l’effondrement est arrêté et inversé une seule fois si et seulement si $M > 0$ et $Q_{,N}^2 < G/c^4$ . Le rayon atteint un minimum $R_{\min}$ , donné par l’expression $R_{\min} = Q^2 (G/c^4 - Q_{,N}^2) / (2M)$ . Il est remarquable que ce point de rebond se situe à l’intérieur de l’horizon interne de la solution de Reissner–Nordström correspondante. Ainsi, même si l’effondrement est évité, le système reste confiné dans une région classiquement inaccessible.

Dans le cas $E > 0$ , l’évolution est en principe non bornée et peut inclure une singularité si les conditions nécessaires à l’existence de racines ne sont pas remplies. Si $W(R)$ n’a pas de racines, alors $W(R) > 0$ partout, y compris en $R = 0$ , ce qui autorise une contraction vers une singularité. Si au contraire $W(R)$ possède deux racines réelles et que l’une d’elles est strictement positive, une solution non singulière devient possible. Cette fois encore, la condition $Q_{,N}^2 < G/c^4$ se révèle essentielle.

On observe donc que, pour toutes les valeurs de $E$ , la condition $Q_{,N}^2 < G/c^4$ est nécessaire pour échapper à la singularité. Ce critère fixe une limite supérieure sur la densité radiale de la charge électrique. Il ne s’agit pas seulement d’une contrainte formelle : physiquement, cela signifie qu’il ne suffit pas d’avoir une charge électrique présente dans le système pour qu’elle joue un rôle régulateur ; il faut également qu’elle soit suffisamment homogène en $r$ pour que sa contribution répulsive soit efficace dans l’ensemble du volume.

Le point crucial réside dans le fait que la charge agit comme une force répulsive répartie dans la poussière, opposant la contraction induite par la gravité. À mesure que le rayon diminue, la contribution électrostatique dans l’équation d’évolution augmente plus rapidement que la contribution gravitationnelle. Ce comportement donne lieu à des solutions oscillatoires, voire stationnaires, à l’opposé des solutions typiques de Friedmann ou Lemaître–Tolman (L–T), où l’effondrement jusqu’à la singularité est inévitable en l’absence de constante cosmologique ou de pression.

Ce cadre théorique, bien qu’idéalement formulé pour des symétries sphériques, révèle des aspects profonds sur la structure de l’espace-temps. La métrique de Reissner–Nordström, utilisée ici comme métrique extérieure, permet une identification claire des constantes d’intégration du modèle intérieur, telles que la masse et la charge totales, en les liant à des paramètres géométriques. La condition de raccordement au bord $r = r_b$ , selon laquelle les fonctions $R(t, r)$ et $\mathcal{R}(t, r)$ doivent coïncider, entraîne des contraintes supplémentaires sur la continuité des dérivées, qui se traduisent in fine par des relations précises entre les grandeurs physiques. En particulier, on obtient ( Q_

L’horizon apparent absolu dans les géométries quasi-sphériques de Szekeres : une illusion topologique du dernier recours lumineux ?

Il est remarquable que dans certaines configurations des solutions de Szekeres, des observateurs se trouvant déjà à l’intérieur de l’horizon apparent (AH) ne soient pas encore dans l’horizon apparent absolu (AAH). Toutefois, malgré cette distinction spatiale, aucun signal lumineux ne peut franchir l’AH de l’intérieur vers l’extérieur. Cela suggère une frontière effective à la communication lumineuse qui précède la définition stricte de l’AAH. Cette frontière est mieux comprise à travers l’étude des « rayons presque radiaux » (NRR), définis comme ceux pour lesquels les composantes transverses du vecteur nul $k^\alpha$ sont nulles ( $k^x = k^y = 0$ ). Bien que non géodésiques, ces rayons constituent la direction privilégiée pour mesurer la progression effective de la lumière vers l’extérieur.

L’analyse du comportement de la lumière dans ces géométries inhomogènes révèle que la croissance du rayon aréal $\Phi$ le long d’un NRR atteint un maximum à l’AAH, défini comme le lieu où la dérivée totale $D\Phi_n/dz$ s’annule. Cette condition, obtenue à partir des équations dynamiques, s’écrit :

D\Phi_n/dz = \Phi_{,t} \frac{dt_n}{dz} + \Phi_{,z} = \ell \sqrt{\frac{2M}{\Phi} - k} \cdot j\chi + \Phi_{,z} = 0,

ce qui implique $\ell j = -1$ . Ainsi, dans une phase de collapse, les rayons sortants (i.e., $j = +1$ ) doivent être associés à $\ell = -1$ pour atteindre l’AAH (et inversement dans une phase d’expansion). Le paramètre $\mathcal{D} = \sqrt{1 - k} - \sqrt{2M/\Phi - k}$ joue un rôle central, contrôlant l’existence et la nature de l’AAH.

Ce lieu géométrique, lorsqu’il existe, se manifeste dans le plan $(x, y)$ comme une courbe particulière, dont la forme (cercle, point, ou rien) dépend du signe du discriminant $\Delta_y$ , fonction des dérivées spatiales des fonctions d’intégration $P(z), Q(z), S(z)$ et de $\Phi(z)$ . Lorsque $\Delta_y > 0$ , l’intersection de l’AAH avec une hypersurface $(t, z) = \text{constante}$ est un cercle, centré en un point donné par les dérivées spatiales, avec un rayon exprimé en fonction de ces mêmes paramètres. Dans le cas particulier où le quotient $S_{,z}/S = \mathcal{D} \Phi_{,z}/\Phi$ , ce cercle dégénère en ligne droite, artefact dû à la projection stéréographique des sphères.

La topologie de ces intersections est d’autant plus fascinante qu’elle ne reflète pas de manière intuitive la dynamique des rayons lumineux. Deux cercles distincts, tels que celui de l’AAH et celui défini par $\mathcal{E}_{,z} = 0$ , peuvent apparaître comme imbriqués ou non selon le point de projection sur la sphère. La rotation du système montre que la configuration projetée sur le plan peut évoluer continûment entre ces deux topologies, sans que la structure tridimensionnelle sous-jacente change fondamentalement.

Il est essentiel de souligner que la surface définie par $\Phi = 2M$ , qui correspond à l’horizon apparent classique dans la solution de Szekeres autour de l’origine, ne coïncide pas en général avec l’AAH, sauf si $\mathcal{E}_{,z} = 0$ . Ce décalage géométrique confirme que l’AAH ne peut pas être interprété simplement comme une généralisation de l’AH dans des spacetimes inhomogènes. Il s’agit d’un objet plus subtil, dont la définition dépend fortement de la direction de propagation et de l’hypothèse implicite selon laquelle les rayons étudiés proviennent d’un même centre.

Ce que cette analyse met en lumière, c’est la fragilité de nos intuitions sur les horizons dans les modèles relativistes non symétriques. Les géométries de Szekeres, en rompant la symétrie sphérique tout en conservant une structure cohérente de collapse gravitationnel, offrent un laboratoire unique pour explorer les nuances du comportement lumineux dans des univers sans isotropie locale. La distinction entre horizon apparent, horizon absolu et la nature des rayons qui les atteignent ou non, révèle une complexité topologique et physique qui transcende la simple géométrie sphérique.

Il est important pour le lecteur de comprendre que, dans ces contextes, les rayons lumineux non géodésiques ne sont pas des artefacts mathématiques dépourvus de sens physique. Ils modélisent des trajets lumineux contraints ou déviés, comme à travers des fibres optiques ou des guides de lumière, mais ils traduisent aussi l’idée limite de direction maximale de propagation possible, ce qui les rend pertinents dans l’analyse de la visibilité effective dans des régions courbées de l’espace-temps. Par ailleurs, la séparation entre AH et AAH souligne que même en relativité générale classique, la notion de « frontière du visible » peut revêtir plusieurs formes, selon l’angle d’approche — littéralement.

La Complétude Géodésique et l'Extension Maximale de la Géométrie Kerr

Dans le cadre de l’étude des espaces-temps de Kerr étendus, il est crucial de comprendre les propriétés géodésiques des différents secteurs de la métrique. En particulier, la question de la complétude géodésique se pose dans un contexte où des transformations de coordonnées sont nécessaires pour éliminer les singularités apparentes et permettre la continuation des géodésiques.

En commençant par examiner les régions proches de $r = 0$ , on observe que, bien que la singularité centrale (le disque $r = 0, \theta = \frac{\pi}{2}$ ) soit infranchissable pour certaines géodésiques nulles et timelike, la possibilité de continuer certaines géodésiques jusqu’à des valeurs infinies de leur paramètre affine est conservée dans l’espace-temps étendu de Kerr. Cela reste vrai même si des géodésiques entrent en contact avec les horizons $r = r_{\pm}$ . Les transformations de coordonnées utilisées dans la métrique de Kerr permettent d’éliminer les singularités au niveau de ces horizons, de sorte que les géodésiques ingoing peuvent être poursuivies sans restrictions majeures.

Dans le cadre des géodésiques spatiotemporelles, un paramètre important est la fonction $\Delta r$ , qui définit les horizons $r_{\pm}$ . Lorsque cette fonction est nulle, nous nous trouvons sur un horizon, ce qui pose la question de la nature des géodésiques passant par ces zones. En utilisant des coordonnées adaptées aux champs de vecteurs nulles $k$ et $\ell$ , les singularités sont annulées. Ces transformations permettent de maintenir la continuité des géodésiques sur ces horizons, qu’elles soient dirigées vers l’intérieur ou l’extérieur du trou noir.

Cependant, les géodésiques nulles qui suivent exactement les horizons, c’est-à-dire celles pour lesquelles $r = r_{\pm} = \text{constant}$ , nécessitent un traitement particulier. Sur de telles trajectoires, les coordonnées $t$ et $\phi$ restent finies et peuvent être poursuivies à l’infini, ce qui garantit la complétude de ces géodésiques spécifiques. Cette caractéristique est essentielle car elle démontre que, même dans des régions qui pourraient sembler singulières, les géodésiques ne rencontrent pas de singularités lorsque correctement transformées par des coordonnées appropriées.

Il est intéressant de noter que la transformation des coordonnées décrite ci-dessus est conçue pour traiter les géodésiques ingoing, mais peut facilement être adaptée pour les géodésiques outgoing en ajustant les champs de coordonnées associés. Ainsi, on peut conclure que toutes les géodésiques qui ne rencontrent pas la singularité au centre ( $\Sigma = 0$ ) peuvent être poursuivies indéfiniment dans l’espace-temps étendu de Kerr. Cela implique une complétude géodésique dans un sens large, malgré les singularités apparentes dans la géométrie.

L’analyse de la géométrie de Kerr ne s’arrête pas à cette simple notion de continuité des géodésiques. Il est important de comprendre que l’extension maximale de la métrique permet de réconcilier plusieurs régions isométriques et de gérer les connexions entre ces régions à travers des identifications judicieuses, permettant ainsi de représenter l’ensemble de l’espace-temps d’une manière cohérente et mathématiquement acceptable.

L’approfondissement de la structure géométrique de Kerr, notamment par l’introduction de coordonnées nulles $p$ et $q$ , montre comment un système de coordonnées peut être utilisé pour gérer les singularités dans une géométrie complexe. Ces coordonnées permettent de simplifier la représentation de l’espace-temps et facilitent la visualisation des propriétés de continuité des géodésiques tout en maintenant la métrique non-singulière sauf en $\Sigma = 0$ , la singularité centrale. En appliquant ces transformations, on obtient une géométrie de Kerr non-singulière, excepté dans cette région de $\Sigma = 0$ , ce qui ouvre la voie à une compréhension plus profonde de la structure du trou noir et de ses propriétés.

Ainsi, bien que la géométrie de Kerr présente des défis importants en matière de singularité et de géodésiques, ces défis peuvent être surmontés par des choix judicieux de coordonnées et par une analyse rigoureuse des géodésiques traversant les horizons. La continuité des géodésiques, notamment celles ne frappant pas la singularité centrale, dans un espace-temps étendu de Kerr est ainsi assurée, fournissant une description complète de l’espace-temps sans lacunes majeures.

Comment les principes variationnels conduisent aux équations d'Einstein et à leurs limites

Lorsque l'on considère que 𝒱 ℋd4x doit être un scalaire, il est nécessaire que ℋ soit une densité scalaire de poids -1, car l'élément de volume d4x est une densité scalaire de poids +1. La densité scalaire la plus simple de poids -1 est -g. Ainsi, ℋ = -gH, où H est un scalaire propre. Cette relation simplifie l'expression de l'action dans le cadre de la relativité générale, où l'interaction gravitationnelle est décrite par une densité d'énergie-momenta représentée par H. La forme d’H et sa dépendance par rapport à la métrique gμν jouent un rôle crucial dans la dérivation des équations de champ.

Les équations d'Euler–Lagrange ont un ordre qui est deux fois celui du dérivé d'ordre le plus élevé dans l'intégrale d'action. Cela implique que H devrait être une fonction de gμν et de ses dérivées premières, gμν,λ. Cependant, il n'est pas possible de former un scalaire non trivial en combinant algébriquement gμν et gμν,λ, car les symboles de Christoffel ne sont pas des tenseurs. Les dérivées secondes de gμν, si elles sont présentes dans H, ne contribueront pas aux équations d'Euler-Lagrange, à condition qu'elles puissent être collectées dans une divergence d'une expression qui disparaît à la frontière du volume d'intégration.

Une telle collecte est possible si gμν,ρσ entre dans H de manière linéaire, c'est-à-dire contractée uniquement avec des termes qui ne contiennent pas gμν,ρσ. Les expressions linéaires dans le tenseur de Riemann sont de cette forme. Les seules expressions qui peuvent être construites à partir du tenseur de Riemann et être linéaires en gμν,ρσ sont Rρβρδ = Rβδ = -Rρβδρ et gαβRαβ ∫ = R. Ainsi, H = gαβRαβ = R, ce qui permet de conclure que √Wg = -gRd4x.

Cette expression correspond à l'action pour le côté gauche des équations de champ. L'intégrale complète de l'action devrait être ∫W = Wg + Ld4x, où L = 0 en l'absence de matière. Lorsqu'on calcule la variation de l'action δWg/δgαβ, il est utile de noter certaines équations auxiliaires, comme celles de variation de g, où la variation du déterminant de la métrique donne des relations complexes entre les différentes composantes de g. Ces équations jouent un rôle essentiel dans la compréhension de la façon dont les perturbations de la métrique influencent l'évolution du champ gravitationnel.

Dans cette approche, il est crucial de comprendre que les variations des symboles de Christoffel ne sont pas triviales. Les termes non-tensoriels dans les variations de gμν se compensent, permettant ainsi de maintenir la consistance tensorielle des équations. L'intégrale de ces variations fournit les relations fondamentales nécessaires pour dériver les équations de champ, y compris la dépendance de la métrique et de ses variations dans l'espace-temps.

La méthode de Hilbert, qui repose sur ce principe variationnel, permet de dériver les équations d'Einstein de manière générale. Cependant, lorsqu'on utilise une métrique moins générale, comme dans le cas des modèles de type Bianchi, les équations qui en résultent peuvent ne pas correspondre aux équations d'Einstein en raison de leur homogénéité spatiale. Cela démontre la complexité des principes variationnels dans des géométries spécifiques, et en particulier, dans des modèles où les symétries jouent un rôle central.

Il existe aussi des cas où le principe variationnel ne conduit pas à des équations de champ correctes, comme le montre l'exemple des modèles de Bianchi. Dans ces situations, les termes de frontière doivent être considérés sérieusement, car ils peuvent ne pas disparaître et affecter le résultat final.

Enfin, une approche alternative, connue sous le nom de principe variationnel de Palatini, permet de traiter séparément le tenseur de métrique et les coefficients de connexion. Cette approche est plus générale et peut aboutir à des résultats différents pour les équations de champ, en particulier dans les situations où la connexion n'est pas triviale. Cette approche souligne la richesse des principes variationnels en relativité générale et ouvre la voie à des extensions plus complexes de la théorie gravitationnelle.

Il est également essentiel de saisir que la notion d'espace-temps "asymptotiquement plat" et les "coordonnées asymptotiquement cartésiennes" jouent un rôle crucial dans la transition entre la relativité générale et les théories plus classiques comme la théorie de Newton et la relativité restreinte. En effet, dans la limite où la gravité devient négligeable à de grandes distances des sources, le tenseur métrique de la relativité générale doit tendre vers la métrique plate de la relativité restreinte. Cela constitue un cadre pour examiner la "limite newtonienne" de la relativité générale, où les équations de mouvement des particules dans un champ gravitationnel s'alignent avec celles de la mécanique newtonienne.

Dans ce contexte, les équations de geodesiques et les équations de mouvement newtoniennes sont dérivées à partir de principes variationnels similaires, ce qui souligne l'unité sous-jacente de la description gravitationnelle dans différents régimes. En effet, le passage à la limite de vitesse infinie (c → ∞) dans la relativité générale réduit la théorie à la mécanique classique, et les équations du mouvement gravitationnel deviennent identiques à celles de Newton.

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