Dans ce chapitre, nous explorons les bases de Gröbner, un outil essentiel de l’algèbre commutative et de la géométrie algébrique, qui permet de résoudre des problèmes liés aux idéaux et aux variétés algébriques. Ces bases, en tant qu'outils algébriques de réduction, trouvent des applications pratiques dans les théorèmes classiques de la géométrie algébrique, comme le théorème de Bézout ou encore la résolution de singularités de courbes algébriques.

Le théorème de Bézout est l'un des résultats fondamentaux de la géométrie algébrique, stipulant que le nombre d’intersections de deux courbes algébriques plane, sous certaines conditions, est donné par le produit de leurs degrés. Ce théorème peut être formulé dans plusieurs contextes, et son application par la méthode des résultats permet de trouver des paramétrisations rationnelles pour des courbes planes avec suffisamment de singularités. En combinant la théorie des résultats et les bases de Gröbner, il devient possible de donner une démonstration constructive de ce théorème pour des courbes algébriques spécifiques.

Une approche plus avancée du théorème de Bézout est appliquée à l’intersection d'une variété projective et d’un hypersurface. Le calcul de la fonction de Hilbert permet de démontrer ce théorème de manière plus générale. Dans ce cadre, les bases de Gröbner jouent un rôle clé en fournissant des outils de calcul efficaces, particulièrement lorsqu'il s'agit de traiter des idéaux homogènes dans des corps de fonctions. La base de Gröbner permet également de démontrer que, pour un idéal homogène I⊂Z[x0,…,xn]I \subset Z[x_0, \dots, x_n], la fonction de Hilbert des idéaux IQ⊂Q[x0,…,xn]I_Q \subset Q[x_0, \dots, x_n] et Ip⊂Z/p[x0,…,xn]I_p \subset Z/p[x_0, \dots, x_n] coïncide pour presque tous les premiers pp, ce qui facilite les expériences algébriques sur des corps finis.

L'étude des anneaux locaux et des séries formelles de puissances, abordée dans ce chapitre, nous permet d’appliquer le théorème de division de Grauert aux séries formelles dans l’anneau k[[x1,…,xn]]k[[x_1, \dots, x_n]]. Ce cadre théorique mène à des applications telles que le calcul des multiplicités d’intersection de courbes planes en un point, en utilisant la méthode des bases de Gröbner pour calculer la dimension de Krull de ces anneaux. En outre, l’introduction de l'algorithme de division de Mora offre une solution efficace pour les applications dans les anneaux locaux de variétés affines.

Une des applications les plus intéressantes des techniques abordées dans ce chapitre est le calcul de la complétion de l’anneau local O^A,p\hat{O}_{A,p}, du cône tangent grmOA,pgr_m O_{A,p}, et de l’espace tangent TpAT_pA d'un ensemble algébrique affine AA en un point pp. Ces constructions sont fondamentales pour l’étude locale des variétés algébriques et permettent de décrire les propriétés géométriques locales d’une variété à l’aide d’outils algébriques puissants.

En étudiant les anneaux de valuation discrète et en appliquant ces résultats à la géométrie projective, nous abordons également la définition et les propriétés des produits de Segre, des morphismes, et des variétés projectives. Ces concepts ouvrent la voie à des théorèmes de dimension pour les variétés projectives et à des résultats sur les intersections de variétés projectives, où l’utilisation des bases de Gröbner permet de résoudre efficacement les systèmes d’équations associés à ces intersections. Par exemple, la notion d’embedment de Veronese et la démonstration que chaque ensemble algébrique quasi-projectif peut être recouvert par des ensembles algébriques affines est un résultat crucial qui repose sur des calculs effectués avec des bases de Gröbner.

Le dernier point fondamental abordé dans ce chapitre est l’étude des familles de variétés, avec une attention particulière portée à la formule de Riemann-Roch et aux systèmes linéaires de courbes planes. L’étude de la scheme Hilbertienne permet d'analyser des variétés algébriques sous un angle nouveau. Par exemple, en calculant les strates de la Hilbert scheme des idéaux, les bases de Gröbner offrent une approche computationnelle pour explorer des objets géométriques complexes comme les courbes cubiques tordues et les unions de courbes planes avec un point.

Il est essentiel de souligner que, bien que les bases de Gröbner offrent une méthode algorithmique puissante, la véritable compréhension des structures algébriques sous-jacentes ne peut se réduire à des calculs purs. La géométrie algébrique demande une compréhension fine des relations entre les objets algébriques et géométriques, et les techniques algébriques doivent être interprétées en fonction de la géométrie sous-jacente. Ce lien entre l’algèbre et la géométrie, qui se manifeste par des théorèmes comme celui de Bézout ou la résolution des singularités de courbes, doit être abordé avec une approche équilibrée, alliant théorie pure et calculs pratiques.

Quelles sont les relations géométriques et algébriques entre les courbes et leurs singularités ?

Les notions de singularités, de points doubles et de points cuspides jouent un rôle essentiel dans la géométrie des courbes algébriques. Dans le cadre de l’étude des courbes algébriques, certaines quantités et relations géométriques revêtent une importance capitale pour comprendre la structure de la courbe et ses propriétés topologiques et géométriques. Soit CC une courbe algébrique plane, l’étude des points singuliers de cette courbe permet de lier ses propriétés géométriques et son comportement local autour de ces points.

Les notations standard pour la description de ces singularités incluent dd, δ\delta, κ\kappa, bb, ff, gg et d^\hat{d}. Ces symboles représentent respectivement le degré de la courbe CC, le nombre de points doubles ordinaires (ou nœuds), le nombre de cusps ordinaires, le nombre de bi-tangentes, le nombre de flexes, le genre géométrique de la courbe et le degré de la courbe duale associée. Il est à noter que les singularités de type nœuds et cusps sur la courbe duale C^\hat{C} correspondent respectivement aux bi-tangentes et aux flexes sur la courbe CC, établissant ainsi une relation bidirectionnelle entre ces courbes.

Les formules de Plücker, qui sont fondamentales dans ce contexte, donnent des relations algébriques entre ces différentes quantités. Par exemple, la formule suivante :

g=d−12−δ+κ2,d^=d(d−1)2−δ−3κ2g = \frac{d - 1}{2} - \frac{\delta + \kappa}{2}, \quad \hat{d} = \frac{d(d - 1)}{2} - \delta - \frac{3\kappa}{2}

relie le genre géométrique gg et le degré d^\hat{d} de la courbe duale, en fonction du degré dd, du nombre de points doubles δ\delta, et du nombre de cusps κ\kappa. La géométrie de la courbe et sa dualité sont ainsi expliquées par ces relations algébriques, qui impliquent que le comportement local autour des singularités (comme les flexes et les bi-tangentes) peut être interprété directement à travers ces paramètres.

Il existe aussi une relation importante entre ces quantités et les propriétés de la projection d’une courbe CC sur P1\mathbb{P}^1 depuis un point général p∈P2∖Cp \in \mathbb{P}^2 \setminus C, qui repose sur la formule de Riemann-Hurwitz. Cette projection nous permet de déduire le nombre de flexes ff sur la courbe à partir du degré de la courbe, des singularités et de la structure de la projection, aboutissant à une formule explicite pour ff en fonction de dd, δ\delta, et κ\kappa.

En outre, des résultats géométriques tels que l’interprétation géométrique de la formule d^=d(d−1)−2δ−3κ\hat{d} = d(d - 1) - 2\delta - 3\kappa sont obtenus en considérant des formes de degré 3(d−2)3(d - 2), comme le déterminant de la Hessienne de la courbe. Ce type d’analyse nous permet de comprendre non seulement la nature des singularités, mais aussi l’intersection de la courbe avec des formes géométriques plus complexes. Les flexes, les points doubles et les cusps peuvent être caractérisés par leurs multiplicités d'intersection avec des formes telles que la Hessienne, ce qui relie directement les notions d'intersection algébrique et géométrique.

L’importance de ces relations devient évidente lorsqu’on considère les applications de ces formules dans des contextes plus larges, comme la classification des courbes algébriques, leur étude dans le cadre des systèmes linéaires complets, ou encore leur utilisation dans les théorèmes classiques de géométrie algébrique, tels que les théorèmes de Riemann-Roch. Ces théorèmes permettent non seulement de déduire des propriétés algébriques des courbes mais aussi d’étudier leur dimension et leurs divisors dans des espaces projectifs, ce qui est crucial pour les applications en géométrie différentielle et en topologie.

Enfin, l’étude des courbes algébriques de genre géométrique g≥2g \geq 2 fait appel à des théorèmes supplémentaires, tels que le théorème de Riemann, qui permettent de quantifier les moduli des courbes algébriques en fonction de leur genre. Ces moduli sont essentiels pour comprendre la classification des courbes et leur comportement sous différentes transformations birationnelles.

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