Collision d'une particule avec des plans et mise à jour de sa position dans un fluide incompressible au repos

Lors de la simulation des mouvements de particules dans un fluide incompressible et uniforme au repos, il est nécessaire de prendre en compte la dynamique des collisions des particules avec des surfaces planes. Ces collisions influencent non seulement la position de la particule, mais également sa vitesse et sa trajectoire dans le domaine simulé. Cette partie du code se concentre sur l'implémentation des réflexions de particules après collision contre des plans, avec des ajustements spécifiques pour gérer les différentes configurations de réflexion.

Au début de chaque itération, la position initiale de chaque particule est mise à jour dans le tableau position_t0(n_part,j). Ce tableau contient les coordonnées de la particule avant toute interaction, c'est-à-dire sa position au centre du domaine. Si la particule entre en contact avec un plan (comme indiqué par la variable plane_col), sa position est calculée après réflexion. Dans le cas où il y a une deuxième collision avec un autre plan (démontré par plane_col2), la position finale est mise à jour pour refléter cet impact supplémentaire.

La même logique s'applique pour les autres plans (gauche, bas et haut), avec des ajustements spécifiques à chaque cas. Par exemple, lors de la collision avec le plan inférieur, la position de la particule est mise à jour en fonction de la distance qu'elle parcourt par rapport au plan, et son vecteur de vitesse est inversé, ce qui modifie sa direction de mouvement. Cela se produit pour chaque collision, qu'il s'agisse d'une ou de deux collisions simultanées.

L'un des aspects importants à souligner est la mise à jour des matrices de vitesses. Après chaque collision, la vitesse de la particule est corrigée en fonction de la réflexion. La vitesse est multipliée par le coefficient de restitution (CR), ce qui modifie son vecteur de vitesse pour correspondre à la nouvelle direction après le choc. Cette mise à jour est essentielle pour simuler correctement les dynamiques de particules dans des fluides confinés et pour obtenir des résultats précis lors de l'analyse du comportement des particules.

En outre, les ajustements géométriques des positions de particules après chaque collision ne sont pas uniquement une question de calcul des nouvelles coordonnées. Ils impliquent aussi une compréhension des lois de la réflexion dans un espace bidimensionnel. Le vecteur normal du plan joue un rôle crucial dans ce calcul. Les coordonnées de la particule après une réflexion dépendent de la projection de la distance parcourue par la particule sur le vecteur normal du plan.

Il est également essentiel de noter que ces calculs ne se limitent pas à une simple réflexion des particules. En fonction des conditions d'entrée et de sortie des particules, la simulation peut évoluer de manière complexe. Par exemple, une particule qui subit une collision avec un seul plan peut rebondir plusieurs fois avant de quitter le domaine simulé, et chaque réflexion implique une mise à jour précise de sa position et de sa vitesse.

Dans le cadre de cette simulation, les étapes successives de mise à jour des positions et des vitesses des particules permettent de maintenir une cohérence dans le calcul des trajectoires. Chaque interaction est analysée en termes de géométrie de la collision et de propriétés du fluide, permettant une modélisation réaliste du comportement des particules. Cette approche est cruciale pour les simulations physiques complexes, où la précision et la gestion des collisions sont des éléments déterminants pour l'exactitude des résultats.

Pour le lecteur, il est important de comprendre que ces mises à jour de position et de vitesse après collision ne concernent pas uniquement des mouvements simples. Elles impliquent une série de calculs et de réflexions géométriques qui permettent de modéliser des phénomènes complexes comme la diffusion, la dispersion ou la sédimentation des particules dans un fluide. Chaque étape de la simulation repose sur des principes physiques solides, garantissant que les résultats obtenus soient fiables et puissent être appliqués à des études pratiques dans des domaines comme la dynamique des fluides, la modélisation des particules dans les réservoirs ou encore les phénomènes de turbulence.

Comment calculer la pression absolue et le noyau de lissage dans un réservoir de fluide incompressible ?

Le calcul de la pression absolue dans un fluide incompressible au repos à l’intérieur d’un réservoir implique une prise en compte des pressions dynamiques et statiques sur chaque particule du fluide. La pression sur une particule est déterminée par deux principaux facteurs : la pression dynamique, qui résulte des interactions entre les particules elles-mêmes, et la pression exercée par la colonne d'eau sur la particule en question. Cette pression dynamique peut être calculée à partir de l’équation de Tait, un modèle utilisé pour décrire la compressibilité d'un fluide à haute pression. Selon ce modèle, la pression d'une particule $p(i)$ est déterminée par :

Où $\rho(i)$ est la densité de la particule $i$, $\rho_0$ est la densité de référence, $g$ est l'accélération due à la gravité, $H$ est le niveau de l’eau dans le réservoir, et $x(i,2)$ est la position verticale de la particule. Ce calcul combine donc la pression dynamique due aux forces inter-particulaires et la pression hydrostatique résultant de la hauteur de la colonne d’eau au-dessus de chaque particule.

L’une des formes courantes de noyaux de lissage est le noyau de spline cubique, qui est utilisé pour des interactions à courte distance. Le noyau de spline cubique est défini de manière à ce que l'influence de chaque particule soit non nulle dans un rayon $r$ limité par la longueur de lissage $h_{sml}$. Sa forme est généralement exprimée comme suit :

Ce noyau est utilisé pour calculer l’influence d’une particule sur ses voisines à l'intérieur de la zone de lissage. La dérivée du noyau par rapport à la direction $x$ et $y$ permet de décrire la variation de la fonction de poids en fonction de la position, ce qui est essentiel pour les simulations où les forces inter-particulaires doivent être calculées précisément.

Il existe également d'autres noyaux, comme le noyau quintique, qui est souvent préféré pour sa capacité à mieux modéliser les interactions à longue portée tout en restant lisse et différentiable. Le noyau quintique est défini comme suit :

Cela permet une meilleure précision dans le calcul des interactions entre particules, notamment dans des systèmes complexes où la résolution de détails fins est nécessaire.

Un autre noyau fréquemment utilisé est le noyau quartique, qui offre un compromis entre la portée des interactions et la précision. Ce noyau prend en compte des termes plus élevés en $r$, ce qui permet une meilleure approximation des forces entre particules distantes tout en maintenant la précision dans la modélisation des forces locales.

Il est également essentiel de comprendre que, bien que la méthode des noyaux de lissage soit très efficace pour simuler des fluides, elle comporte certaines limites. Par exemple, la précision de la simulation dépend fortement de la taille de la longueur de lissage $h_{sml}$, qui doit être choisie judicieusement. Trop petite, elle peut rendre la simulation très coûteuse en calcul, tandis que trop grande, elle peut manquer de précision. De plus, le choix du noyau de lissage influence directement la qualité des résultats, en particulier dans les régions de haute densité ou près des interfaces.