Comment déterminer l'existence d'un levée pour une carte linéaire par morceaux entre complexes simpliciaux finis

Soit $f : K \to L$ une carte simpliciale non dégénérée entre deux complexes simpliciaux finis. La question centrale est de savoir sous quelles conditions cette carte peut être levée en une immersion, c'est-à-dire sous quelles conditions il existe une carte $f'$ qui peut être interprétée comme un "levée" de $f$ dans un espace plus élevé, tout en préservant les propriétés géométriques et topologiques essentielles. Les théorèmes qui suivent fournissent des conditions nécessaires et suffisantes pour cela.

Condition nécessaire pour l'existence d'un levée

Le théorème 16.1 établit que les conditions nécessaires pour qu'une carte linéaire par morceaux entre complexes simpliciaux soit levée en une immersion sont strictement liées à la structure de la carte, et que cette structure peut être représentée par un ensemble admissible d'ordres linéaires sur les ensembles de simplices dans le préimage de chaque sommet de $L$. Une carte $f : K \to L$ est dite non dégénérée si elle préserve la dimension des simplices, ce qui signifie qu'aucun simplexe de $K$ n'est envoyé sur un simplexe de $L$ de dimension inférieure. Le théorème 16.2 va plus loin en précisant que, pour qu'il y ait une levée en immersion, il est nécessaire et suffisant qu'il existe une collection admissible d'ordres linéaires sur les ensembles $K_v$, où $K_v$ est l'ensemble des simplices dans $K$ qui sont envoyés sur un sommet $v$ de $L$.

La collection admissible d'ordres linéaires

Une collection admissible d'ordres linéaires sur un ensemble $K_v$ est définie comme étant une collection de relations d'ordre linéaires sur les préimages des sommets sous $f$, qui induisent également des ordres linéaires sur les préimages des simplices sous $f$. Plus formellement, pour chaque paire de simplices $A, B \in K$, avec $f(A) = f(B)$, les relations d'ordre sur les sommets de $A$ et $B$ doivent être cohérentes avec l'ordre linéaire global imposé par la carte $f$. Si cette condition est satisfaite, alors on peut construire une levée $f'$ qui est une immersion.

Démonstration de l'existence d'une levée

Pour démontrer l'existence d'une levée, l'idée clé est de construire une carte $\tilde{f} : |K| \to |L| \times \mathbb{R}$, où la seconde composante de la carte représente l'ordre linéaire des points dans $K$ selon l'ordre admissible. La preuve repose sur l'existence de fonctions qui permettent de relier les coordonnées barycentriques des simplices à l'ordre des points dans chaque simplex, tout en assurant que la carte $\tilde{f}$ soit injective et préserve la structure topologique des complexes.

Si l'on suppose qu'il existe une collection admissible d'ordres linéaires, la construction de $\tilde{f}$ permet de garantir que cette carte est une immersion, c'est-à-dire qu'elle est injective et préserve la structure géométrique de $K$ dans $L$. La vérification de l'injectivité de $\tilde{f}$ repose sur la cohérence de l'ordre linéaire et sur le fait que, dans le cas contraire, il existerait une contradiction géométrique liée à l'impossibilité de maintenir l'injectivité sous les relations imposées par l'ordre linéaire.

Cas des graphes et simplification du problème

Le théorème 16.3 montre que le problème de la levée d'une carte entre complexes simpliciaux peut être réduit au cas particulier des graphes. Plus précisément, le problème peut être reformulé en termes de la levée d'une carte sur les squelettes unidimensionnels de $K$ et $L$, c'est-à-dire les graphes obtenus en considérant seulement les relations entre les sommets de $K$ et $L$. Cette réduction permet de simplifier le problème de la levée à une question sur les relations d'ordre entre les sommets et les arêtes dans les graphes, ce qui est beaucoup plus facile à manipuler.

Considérations supplémentaires

Lors de l'étude de l'existence d'une levée pour une carte linéaire par morceaux, il est essentiel de noter que l'on n'a besoin d'examiner que le sous-polyèdre des préimages des points multiples de $f$. Cela signifie que, dans certains cas, la question de la levée d'une carte peut être réduite à l'étude des restrictions de cette carte aux sous-ensembles spécifiques de $K$ où ( f

Quel est le rôle du groupe spin universel P(SL(2,Z)) dans la théorie de Teichmüller et des surfaces hyperboliques ?

La théorie des groupes de mapping et des espaces de Teichmüller a connu des développements significatifs ces dernières décennies, en particulier avec l’introduction de nouvelles structures et de nouvelles actions sur des espaces géométriques spécifiques. Une des contributions récentes majeures réside dans la construction du groupe de mapping spin universel $P(SL(2,Z))$, qui joue un rôle fondamental dans l’étude des surfaces hyperboliques de type fini avec une structure spin. Ce groupe intervient dans des constructions qui touchent à la fois la topologie des surfaces et les structures de spin associées, en fournissant des outils puissants pour comprendre la géométrie et la combinatoire des surfaces hyperboliques.

Le groupe $P(SL(2,Z))$ est un groupe de transformations qui agit sur l’espace de Teichmüller universel des tessellations de la disque de Poincaré $D$, un espace qui est essentiel pour comprendre la structure géométrique des surfaces hyperboliques. Ce groupe peut être vu comme une extension du groupe $PPSL(2,Z)$, lequel est constitué des homeomorphismes par morceaux de $S^1$ (le cercle unité) ayant un nombre fini de points de rupture parmi les points rationnels de $S^1$. La particularité de $P(SL(2,Z))$ réside dans le fait qu’il inclut toutes les fonctions par morceaux constantes de $S^1$ vers $SL(2,Z)$, qui projettent dans $PPSL(2,Z)$.

Les éléments de ce groupe sont définis de manière combinatoire par leurs actions sur un espace de Teichmüller particulier, noté $T_{ess+}$, qui est une version spin du classique espace de Teichmüller. Cet espace est conçu comme un fibré au-dessus de l’espace $T_{ess}$ des tessellations de $D$, et sa fibre est l’espace des connexions $\mathbb{Z}/2$-sur les graphes duals aux tessellations dans $D$. L’action de $P(SL(2,Z))$ sur cet espace est universelle pour les surfaces hyperboliques avec structure spin, tout comme l’action de $PPSL(2,Z)$ est universelle pour les surfaces hyperboliques de type fini sans structure spin.

Les transformations définissant $P(SL(2,Z))$ peuvent être explicitées à travers trois générateurs combinatoires, désignés par $\alpha$, $\beta$ et $t$, qui agissent sur l’espace $T_{ess+}$ par des opérations spécifiques. Ces transformations génèrent précisément le groupe $P(SL(2,Z))$, ce qui constitue le résultat principal de cette étude. L’action de ces générateurs est illustrée par des diagrammes montrant leur effet sur les tessellations, ce qui permet de visualiser le fonctionnement de ces transformations dans le cadre des surfaces hyperboliques.

Pour mieux comprendre ce groupe et son action, il est utile de revenir à la théorie classique de Teichmüller, qui étudie les espaces de Teichmüller des surfaces et les groupes de mapping associés. Ces espaces jouent un rôle clé dans la classification des surfaces de Riemann, qui sont les quotients du demi-plan supérieur $H^2$ par des sous-groupes discrets et torsion-free de $PSL(2,R)$. Les structures spin sur ces surfaces sont décrites par les lifts des sous-groupes de $PSL(2,R)$ à $SL(2,R)$, et elles peuvent être modélisées de manière effective par des groupes comme $P(SL(2,Z))$, qui étendent les constructions classiques à des espaces spin.

Il est également crucial de souligner que le groupe $P(SL(2,Z))$ n’est pas simplement une généralisation du groupe $PPSL(2,Z)$, mais qu’il représente une nouvelle approche des transformations sur les surfaces hyperboliques, en lien avec des structures combinatoires et spin. L’introduction de cette structure spin permet de mieux comprendre les symétries de ces surfaces et offre de nouvelles perspectives pour la géométrie et la topologie des surfaces hyperboliques.

L’action de ce groupe sur $T_{ess+}$ a des implications profondes pour la théorie des surfaces hyperboliques, en particulier en ce qui concerne la classification des surfaces avec des structures spin. De plus, le lien avec les groupes combinatoires comme le groupe de Thompson $T$ et le groupe de Ptolémée agit également comme une passerelle vers des méthodes plus combinatoires et géométriques dans la théorie des surfaces.

En somme, la construction du groupe $P(SL(2,Z))$ et de son action sur $T_{ess+}$ constitue un apport essentiel à la compréhension des structures de spin sur les surfaces hyperboliques. Cette étude enrichit la théorie des surfaces hyperboliques et des espaces de Teichmüller, offrant des outils plus raffinés pour explorer la géométrie des surfaces de Riemann et les symétries associées. Les résultats obtenus ouvrent également la voie à des applications en géométrie algébrique et en théorie des groupes, en particulier dans l’étude des représentations des groupes de mapping et de leurs actions sur des espaces géométriques complexes.

Comment les cartes simpliciales et les conditions de cycle influencent-elles la représentation géométrique des classes d'homologie ?

Un élément $x \in H_n(B; L)$ est défini par une carte simpliciale $u : (V^m, W^m) \to (L^{n-m}, *)$, où $W^m$ est envoyé vers $0$ et satisfait une certaine condition de cycle. De manière évidente, $u$ est bien défini par $x$, sous réserve de quelques conditions d'équivalence, telles que les conditions de frontière. De plus, pour $\sigma \in B$, $u(\sigma) \in L^{n-m} \langle m - |\sigma| \rangle$, où $|\sigma|$ désigne la dimension de $\sigma$, c'est-à-dire que $m - |\sigma|$ est la dimension de la cellule duale $D(\sigma, V^m)$ dans $V^m$.

Comme le montre Nicas [7, pp. 25–26], la propriété du spectre $\delta$-système implique l'équivalence suivante :

Par itération, on obtient l'équivalence suivante :

Il est important de noter que $L^0 \langle j \rangle \sim= \mathbb{Z} \times (G/\text{TOP} \langle j \rangle)$, où $G/\text{TOP} \langle j \rangle$ représente le complexe singulier des $j$-simplices de $G/\text{TOP}$. Les cartes de face $\partial_0, \ldots, \partial_j : L^0 \langle j \rangle \to L^0 \langle j-1 \rangle$ laissent les composants $\mathbb{Z}$-invariants. En utilisant les complexes duals, ces cartes de face peuvent être réécrites de la manière suivante :

Cela permet de définir des relations sur les différents composants $Z$-de $L^0$ en termes de l'équivalence duale des complexes.

Lemme 19.2.1 : Supposons que $u : (V^m, W^m) \to (L^{n-m}, *)$ représente l'élément $x \in H_n(B; L)$ tel que $(S^m, S^m \setminus B)$ soit équivalent par homotopie au modèle simplicial de $(V^m, W^m)$. Alors, sous l'équivalence $L^{n-m} \langle m - j \rangle \sim= L^0 \langle n - j \rangle \sim= \mathbb{Z} \times (G/\text{TOP} \langle n - j \rangle)$, les éléments $u(\sigma), u(\tau) \in L^{n-m}$ déterminent le même composant $\mathbb{Z}$.

Cela peut être vu comme une composition de cartes de faces, où $\sigma \prec \tau \in B$ représente une certaine composition de cartes de faces notée $\partial$, avec le dual $\delta$. L'assertion du Lemme 19.2.1 découle ainsi de la commutativité du diagramme suivant :

Corollaire 19.2.2 : Si $\sigma, \tau \in B$ sont deux simplices du complexe simplicial $B$ tels que $\sigma \cap \tau = \emptyset$, alors $u(\sigma), u(\tau) \in L^{n-m}$ déterminent le même composant $\mathbb{Z}$. Ce corollaire découle de la commutativité de certaines compositions de cartes de face, garantissant que les composants $\mathbb{Z}$ restent invariants malgré les changements dans les simplices.

Corollaire 19.2.3 : Supposons que $u, u' : (V^m, W^m) \to (L^{n-m}, *)$ représentent le même élément $x \in H_n(B; L)$. Alors, pour chaque simplexe $\sigma \in B$, les éléments $u(\sigma), u'(\sigma) \in L^{n-m}$ déterminent le même composant $\mathbb{Z}$. Cette conclusion repose sur l'hypothèse que $u \sim u'$, ce qui signifie qu'il existe une carte de cobordisme $v : [0,1] \times (V^m, W^m) \to (L^{n-m}, *)$, où $v(0 \times \sigma) = u(\sigma)$ et $v(1 \times \sigma) = u'(\sigma)$.

Théorème 19.3.1 : Supposons que $B$ soit connexe. Alors, la construction décrite précédemment définit une carte $I : H_n(B; L) \to L^0(\mathbb{Z}) = 1 + 8\mathbb{Z}$.

Ce résultat a des implications profondes pour la topologie des complexes simpliciaux et les représentations géométriques des classes d'homologie. Il montre que, bien que les cartes simpliciales puissent sembler complexes, elles permettent de déduire des invariants topologiques importants, comme les composants $\mathbb{Z}$, qui restent invariants sous des changements dans les complexes simpliciaux. En outre, cette approche est également utile pour comprendre les relations entre différentes classes d'homologie et les invariants associés à des structures géométriques plus complexes.

Comment Smale a utilisé la méthode des immersions

Si je devais tout recommencer aujourd'hui, j'opterais probablement pour le théorème de l'approximation holonome d'Eliashberg et Mishenko, mais cela n'existait pas à l'époque. Je me souviens également qu'un jour, afin de permettre aux étudiants de se détendre, après avoir discuté des relations différentielles dans les espaces de jets supérieurs, je leur ai dit : « Aujourd'hui, faisons quelque chose de plus léger et amusant. Je vais vous donner une démonstration rapide de la conjecture de Poincaré en dimensions élevées, quelque chose de bien différent du théorème h-cobordisme, et nous verrons jusqu'où nous parvenons en termes de dimensions. » Ainsi, nous avons fait très rapidement quelques enveloppements élémentaires, tout en introduisant au passage tous les concepts nécessaires. Je n'avais pas préparé cela à l'avance, et nous avons obtenu quelque chose qui ressemblait à la conjecture de Poincaré généralisée en dimensions supérieures à neuf. Ce dernier cours magistral que j'ai donné à Orsay a été un grand succès. Les autres années, je n'avais que trois ou quatre étudiants ou auditeurs, mais cette fois-là, nous étions plus de trente. Et ils ont adoré cela, j'ai même reçu de grandes applaudissements à la fin. La plupart de mes étudiants étaient des jeunes brillants de l'École Normale, et plusieurs d'entre eux sont devenus, par la suite, des mathématiciens accomplis. Mais il y avait un étudiant qui était différent. Il était non seulement un peu plus âgé que les autres, mais c'était un homme d'affaires anglais, propriétaire d'une petite société de logiciels à Londres, qui étudiait les mathématiques juste pour le plaisir. Je l'ai rencontré plusieurs fois par la suite, à Paris, à Londres ou à New York. Une personne très agréable, en effet, et nous sommes restés amis.

Mais, il me fallait aussi donner ce petit cours de premier cycle. Il se déroulait dans une autre partie du campus d'Orsay, et qu'il pleuve ou qu'il neige, je préférais toujours m'y rendre à pied plutôt qu'en voiture. Cependant, cela me laissait le temps de réfléchir pendant mes trajets, afin de ne pas m'ennuyer. Et c'est ainsi que j'ai développé une sorte de plaisanterie mathématique élaborée. Avec Dave, nous nous heurtions aux murs, travaillant sur cette question du GSC, aussi bien pour $\mathbb{R}^3 \times I$ que pour la boule de Schoenflies. Mon jeu consistait alors à prendre les concepts sur lesquels Dave et moi travaillions, à les retourner, à changer leurs noms et leurs fonctions, et parfois même leurs dimensions. Et devinez ce qui est apparu, comme par magie : tout à coup, j'avais un programme esquissé, non pas pour prouver que $\mathbb{R}^4$ était GSC, mais pour prouver que, si c'était GSC, alors il était aussi standard. C'était une idée amusante, mais elle m'a tellement passionné que je m'y suis plongé. Et j'ai vite réalisé qu'un certain lemme en 2D était nécessaire pour que tout cela fonctionne. Cette plaisanterie mathématique a eu lieu vers la fin du mois de février 2001, et j'ai passé une grande partie du printemps à essayer de démontrer ce lemme.

Lors d'une visite à Trente, où Tognoli m'avait invité à donner quelques conférences, j'ai eu l'impression d'avoir une idée pour la démonstration, mais je n'étais pas encore sûr de moi. Il est important de noter que Trente, la ville du concile de la Contre-Réforme dans les années 1550, abrite également une très belle université, et que Levico, ce lieu que j'avais mentionné précédemment, est une station touristique magnifique, à côté de Trente. Toute cette région du monde est comme un pays des merveilles, avec de belles montagnes, des lacs, des châteaux et des vignobles riches.

Un peu plus tard, cette même année 2001, je me suis rendu à Caltech, comme je le faisais périodiquement, pour travailler sur le Po V-B avec Dave. Et je vous ai déjà mentionné que, après de longues discussions sur le sujet principal de la journée, nous faisions une pause pour changer de sujet mathématique, histoire de nous détendre. C'est ainsi que, lors d'une de ces pauses, j'ai parlé à Dave de mon petit lemme en 2D, sans lui parler encore du reste de la plaisanterie. Le lendemain, il est venu avec un contre-exemple, et je me souviens que je suis rentré chez moi assez déprimé. Mais, pendant la nuit, j'ai réalisé deux choses. D'abord, que ce dont j'avais réellement besoin n'était pas ce lemme en 2D, mais quelque chose d'autre, un travail plus élaboré sur les cobordismes en 2D et 4D. Ensuite, le contre-exemple de Dave m'a suggéré une façon d'aborder la démonstration. Le lendemain, j'ai expliqué à Dave le nouveau lemme prospectif. Et Dave m'a demandé : « Pourquoi te soucier de ce genre de choses, qui semblent si éloignées de tes recherches habituelles ? » Je lui ai alors parlé de tout ce projet de plaisanterie. Et je ne l'avais jamais vu aussi excité. Les plafonds des pièces de Caltech sont assez bas, et Dave a fait un tel bond qu'il a failli les frapper, en disant quelque chose du genre : « Est-il possible que des idées si proches de celles avec lesquelles je travaille depuis tant de temps, et en même temps si étrangement différentes, m'aient échappé jusqu'ici ? » Et c'est à ce moment-là que nous nous sommes assis et avons élaboré ce que nous avons toujours appelé depuis, le Lemma de Pasadena. À partir de ce jour, Dave et moi avons lancé un grand projet commun, que l'on pourrait appeler le projet GSC Schoenflies V. Poénaru, en plus de nos autres projets, à savoir prouver que toute boule de Schoenflies lisse GSC est standard. Et le Lemma de Pasadena était censé en être un élément clé.

Il est important de noter que, quelques années avant que je ne prenne ma retraite, j'étais déjà très perturbé par cette perspective. Je ressentais que la retraite était un pas de plus vers la tombe, non pas par peur de cette dernière, car comme vous le savez, je ne crois ni en Dieu ni en une vie après la mort. Mais l'idée de la retraite me déplaisait profondément. J'ai donc commencé à chercher activement des opportunités à l'étranger, en dehors de la France, où cela n'était plus possible. À ce moment-là, j'avais environ soixante-neuf ans, et cela ne laissait plus beaucoup de place pour d'autres options. Dave, qui était toujours à Caltech, s'est rendu chez le président de l'université, avec l'accord du département de mathématiques, pour lui proposer que je sois engagé comme professeur. Mais le président a opposé un veto, en raison de mon âge. Ensuite, Dave a eu une autre idée brillante : il m'a obtenu une bourse très généreuse de la NSF, qui m'a permis de passer plusieurs mois par an à l'Université de Princeton, où Dave déménageait à ce moment-là. Cette bourse venait avec un excellent salaire, me permettant non seulement de visiter Princeton pendant ces séjours prolongés, mais aussi de financer l'éducation en graphisme informatique de Hannibal. C'était un très bon investissement, comme Hannibal lui-même me l'a dit à l'époque.

Comment une carte stable peut-elle être un n-prem sans être k-prem ?

Il existe des situations en topologie algébrique où une carte stable, tout en étant réalisable, ne répond pas aux conditions strictes qui la classeraient dans la catégorie des k-prem. Ces exemples soulignent des phénomènes subtils de la topologie des variétés, notamment dans le contexte de l'homologie et des immersions. Le théorème 13.1, par exemple, fournit des conditions qui permettent de distinguer les cartes réalisables des cartes qui ne sont pas k-prem. Toutefois, cette distinction ne va pas de soi, comme le montre l'application de ce théorème à certaines variétés à homologie Z/2, comme les sphères homologiques Z/2. Ce phénomène apparaît particulièrement dans les cas où les cartes sont dites "stables", c'est-à-dire des cartes qui ne changent pas sous certaines déformations. La distinction entre réalisabilité et le fait d'être un k-prem est essentielle pour comprendre les limites et les possibilités de l'outil topologique que sont les immersions stables.

Prenons, par exemple, le cas du théorème 13.4, qui traite des variétés PL (ou lisses) Z/2-homologiques. Si l'on considère une sphère Z/2-homologique et une variété orientable n-manifolds, il existe des conditions sous lesquelles la carte stable de ces variétés est un n-prem, mais ces conditions peuvent ne pas être vérifiées pour toutes les situations. Ce théorème établit que, dans le cas de certaines variétés, les cartes stables peuvent être n-prem uniquement si elles satisfont des critères bien définis, tels qu'un degré particulier de la carte ou une surjectivité de la carte sur les groupes fondamentaux. En revanche, ces mêmes variétés peuvent facilement échapper à cette classification si ces critères ne sont pas remplis, ce qui est le cas dans des situations comme celles de la sphère homologique Poincaré. Ce phénomène est à la fois un défi et une ouverture dans l’étude des immersions et des cartes stables.

De plus, le théorème 13.4 et ses corollaires offrent des résultats très spécifiques pour les sphères et autres variétés de dimensions 3 et 7, qui posent des questions complexes sur les possibilités d’exister des cartes stables de certaines dimensions. Par exemple, le corollaire 13.1.10 affirme que pour n > 2, les cartes stables Sn → Sn sont des n-prems, mais cette assertion est loin d’être universellement valable. Pour les dimensions spécifiques de n = 3 et n = 7, certaines cartes qui semblent se rapprocher de cette définition échouent à être des n-prem, ce qui indique qu'il existe des cas où les résultats peuvent être faussés par des structures topologiques plus complexes.

À l’opposé, le problème de Petersen, qui se pose pour les espaces de lentilles tridimensionnels, démontre la non-réalisation de certaines cartes stables, même dans des cas où la structure semble compatible avec la définition d'un n-prem. Cela indique que les théorèmes topologiques doivent être manipulés avec précaution, et que les résultats ne sont pas toujours aussi généraux qu’ils le paraissent au premier abord.

Le contraste entre la simplicité apparente de la définition des cartes stables et la complexité des résultats qui en découlent met en lumière une caractéristique fondamentale des variétés en topologie : elles sont souvent sujettes à des comportements complexes qui échappent aux simplifications des théorèmes généraux. En particulier, les immersions transverses, comme celles qui concernent les bandes de Möbius, montrent que certaines constructions simples peuvent aboutir à des résultats très nuancés, comme le fait que certaines immersions ne sont pas des 1-prem, malgré des propriétés géométriques qui pourraient laisser penser autrement.

Enfin, l’un des aspects les plus fascinants de cette étude réside dans la capacité de ces constructions topologiques à se généraliser à des dimensions supérieures. La complexité croissante des immersions stables dans des dimensions plus élevées suggère qu'il existe de nombreuses couches de structure cachée dans des objets géométriques apparemment simples. Les constructions plus complexes comme celle des immersions dans des espaces de dimensions 3n permettent d’illustrer comment des idées géométriques très sophistiquées peuvent émerger d’approches simples basées sur des configurations locales. Ces résultats, tout en étant rigoureusement démontrés, laissent entrevoir des voies d'exploration pour des théories topologiques plus avancées.

Il est crucial de souligner que, bien que ces théorèmes donnent des résultats clairs dans certains contextes, leur application pratique dans des domaines plus généraux de la topologie nécessitent de prendre en compte les nuances de chaque cas spécifique. Les cartes stables et leurs propriétés sont loin de constituer un domaine figé, et leur étude continue d’évoluer, en particulier à la lumière des nouveaux outils de la topologie moderne, tels que les techniques de la théorie des catégories et des structures de fibrations.