Pour dériver les équations stochastiques du lac, on procède par une chaîne d’approximation partant du lagrangien des équations primitives, en passant par celui des équations peu profondes en rotation, jusqu’à l’action adaptée aux équations du lac. L’introduction du bruit stochastique implique de poser le nombre de Strouhal égal à un et de considérer la contrainte de couvercle rigide via un multiplicateur de Lagrange adapté. Contrairement au cas déterministe, ce multiplicateur doit gérer une composante aléatoire pour imposer que la solution d’une équation différentielle stochastique partielle (EDSP) corresponde à un profil déterministe. Cela conduit à décomposer la pression totale en une partie déterministe et une partie bruitée, la seconde étant modélisée par une série infinie pondérée de processus de Wiener.

Le lagrangien, intégrant la contrainte rigide, génère par variation des équations couplant la vitesse moyenne, la surface libre et la pression stochastique. Grâce à des identités vectorielles et à des annulations soigneuses, on obtient un système de type Euler en rotation, enrichi par des termes stochastiques. Ce système incorpore des transports et interactions aléatoires de la vitesse par des champs vectoriels bruités, reflétant la complexité des dynamiques naturelles perturbées par des fluctuations aléatoires.

La condition de continuité assure une incompressibilité pondérée par la topographie, tandis que les conditions aux limites impliquent que la vitesse projetée sur la normale de la frontière, ainsi que ses composantes bruitées, s’annulent. Pour la pression, des problèmes elliptiques déterminent ses composantes déterministes et stochastiques, assurant la fermeture mathématique du système.

Lorsque la rotation est annulée, les équations deviennent les équations stochastiques du lac, où la dynamique s’exprime par un système avec convection déterministe et bruit de transport, associé à une contrainte de divergence adaptée. Ces équations admettent des solutions locales dans le temps, un résultat démontré rigoureusement, garantissant la cohérence mathématique du modèle.

Le théorème de la circulation de Kelvin reste valide dans ce cadre stochastique : la circulation autour d’un contour matériel évoluant selon le champ de déplacement bruité est conservée. De plus, la vorticité potentielle, définie de façon classique, est transportée matériellement, confirmant sa nature d’invariant lagrangien. Ce fait sous-tend une infinité de lois de conservation en présence de bruit, assurant la préservation des structures dynamiques fondamentales malgré les perturbations aléatoires.

La formulation géométrique adoptée repose sur la symétrie fondamentale de relabellisation des particules fluides, permettant une approche indépendante des coordonnées. Cependant, le passage à une description en coordonnées cartésiennes avec métrique euclidienne facilite la compréhension et le lien avec les formulations classiques en calcul vectoriel. Le principe variationnel d’Euler-Poincaré étend ainsi ses résultats aux modèles stochastiques, conservant les propriétés essentielles telles que la conservation de la circulation et des invariants géométriques.

L’introduction du bruit via un principe variationnel stochastique garantit la cohérence physique et mathématique des modèles, contrairement à des approches ad hoc. Cela permet d’envisager l’impact du bruit sur la dynamique des fluides dans un cadre rigoureux, notamment pour les applications à l’océanographie et à l’atmosphère, où les fluctuations aléatoires jouent un rôle majeur.

Au-delà de la formulation mathématique, il est crucial de saisir que ces équations traduisent la réalité d’un milieu fluide soumis à des contraintes mécaniques rigides (comme une surface libre fixe) et à des influences stochastiques inhérentes aux phénomènes naturels. La conservation de la circulation et le transport lagrangien de la vorticité potentielle confèrent au système une robustesse remarquable face aux perturbations, ce qui est essentiel pour modéliser fidèlement les dynamiques à grande échelle.

Par ailleurs, la complexité du système, avec ses multiples termes stochastiques, invite à une réflexion approfondie sur les méthodes numériques adaptées, la sensibilité aux conditions initiales, et l’interprétation physique des réalisations aléatoires. Ces aspects déterminent la pertinence et l’applicabilité des modèles stochastiques dans les sciences de l’environnement et de l’ingénierie.

Enfin, la réduction du nombre d’équations et de conditions aux limites dans le modèle du lac, comparé aux équations primitives, facilite l’analyse tout en conservant les mécanismes essentiels, offrant ainsi un cadre tractable mais riche pour étudier l’effet du bruit dans les fluides géophysiques.

Comment la solution faible des équations d'Euler en 2D peut-elle être construite à partir de la solution stochastique des équations de Navier-Stokes?

Les résultats d'existence de solutions faibles pour les équations d'Euler en 2D dans un cadre stochastique font appel à des outils théoriques sophistiqués. La clé réside dans l'interprétation des termes de bruit stochastique et de leur influence sur les dynamiques de vorticité. Comme nous l'indiquons dans le cadre de notre étude, la décomposition du bruit de Stratonovich en un bruit d'Itô et en un correcteur d'Itô-Stratonovich est un des éléments cruciaux. L'approche, bien qu'abstraite, permet de transformer une équation stochastique complexe en une version "quasi-déterministe" lorsque les normes adéquates sont choisies.

Le bruit de Stratonovich ∇ω⋅∘dW\nabla \omega \cdot \circ dW, que l'on rencontre dans le système, se découpe naturellement en un terme d'Itô, qui se comporte faiblement selon la norme ∥θ∥∞\| \theta \|_\infty, et en un correcteur d'Itô-Stratonovich ∇⋅(Q(0)∇ω)\nabla \cdot (Q(0)\nabla \omega), qui quantifie l'erreur introduite par l'approximation stochastique et qui est gouverné par ∥θ∥22\| \theta \|_2^2. Cette séparation est rendue possible grâce à une stratégie astucieuse qui consiste à choisir θ\theta de telle sorte que ∥θ∥2=1\| \theta \|_2 = 1 et ∥θ∥∞≫1\| \theta \|_\infty \gg 1, assurant ainsi que le système d'équations stochastiques se rapproche de l'équation déterministe de Navier-Stokes en 2D lorsque les bruits stochastiques sont éteints.

En utilisant cette séparation et en étudiant le comportement de la vorticité ω\omega, nous démontrons l'existence de solutions faibles à travers l'usage de techniques classiques d'analyse de compacité, telles que le théorème d'Ascoli-Arzelà. La condition essentielle est de démontrer que la vorticité ω\omega reste dans un espace de Sobolev approprié et que les moments de la solution sont bien contrôlés. Cela permet de s'assurer que, même en présence de bruit stochastique, la solution stochastique convergera vers une solution déterministe en absence de bruit. Plus précisément, sous certaines hypothèses sur la régularité de la solution initiale et les propriétés du bruit, on peut garantir l'existence d'une solution faible à long terme pour ω\omega.

Les résultats donnés dans la proposition 2.1 démontrent qu'il existe une solution faible à l'équation de vorticité stochastique sur [0,+∞)[0, +\infty), où cette solution satisfait des bornes a priori. Ces bornes, formulées en termes de la norme L2L^2 de la vorticité, indiquent que la norme de la solution reste bornée en temps, ce qui est une condition essentielle pour assurer la régularité des trajectoires de la solution.

Les propriétés de compacité jouent un rôle clé dans la construction de la solution. En particulier, l'utilisation de la compacité dans des espaces de Banach et la méthode de passage à la limite dans des sous-espaces compacts sont cruciales. À travers ces arguments, nous pouvons conclure que les lois des solutions approchées convergent vers la loi de la solution faible que nous cherchons à construire.

En ce qui concerne la continuité de la solution, un autre aspect important réside dans le contrôle de la continuité de la solution stochastique en norme de Hölder. Ce contrôle permet de conclure que la solution stochastique converge vers une solution faible avec des propriétés de régularité suffisantes pour être définie de manière unique sur toute la durée [0,+∞)[0, +\infty). En particulier, cette continuité est une condition fondamentale pour établir l'existence d'une solution faible dans le cadre stochastique des équations d'Euler.

Ce cadre théorique, bien qu'apparemment abstrait, est directement lié aux applications pratiques dans la modélisation de la turbulence en mécanique des fluides, où les bruits stochastiques représentent les effets de petites perturbations aléatoires non modélisées explicitement. La capacité à construire une solution faible dans ce contexte est essentielle pour la validation de modèles numériques qui prennent en compte de telles perturbations.

Ainsi, le chemin vers la construction d'une solution faible stochastique repose sur une gestion minutieuse des termes stochastiques et de la régularité des solutions. Chaque étape de l'analyse, depuis l'estimation a priori jusqu'à la preuve de compacité et le passage à la limite, contribue à rendre rigoureuses les approximations qui, autrement, seraient trop imprécises pour garantir l'existence d'une solution faible. Ces techniques théoriques sont également fondamentales pour établir des critères de convergence pour les méthodes numériques dans des simulations stochastiques des équations de Navier-Stokes et d'Euler.

Enfin, une compréhension approfondie des concepts de compacité, de passage à la limite et de régularité des solutions dans des espaces fonctionnels comme L2L^2 et les espaces de Sobolev est indispensable pour qu'un lecteur puisse pleinement saisir les subtilités des méthodes employées dans ce domaine. La maîtrise de ces concepts permet de mieux appréhender les défis que représente l'étude des systèmes dynamiques stochastiques, tout en ouvrant la voie à de nouvelles approches pour l'étude des phénomènes de turbulence et des systèmes complexes en mécanique des fluides.

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