Quelle est la signification des polynômes d'Alexander normalisés des liens ?

Nous avons choisi AX(J ),P pour que ε AX(J ),P (g̃) > 0. Par la définition 20.2.1, nous obtenons ∂g̃ .(J ) = ± AX(J ),P (m̃). Ainsi, ((J )) = ±AX(J ),P (g̃). Il existe alors k1 ∈ Z tel que (J ) = exp( 1 2k1g AX(J ),P (g̃)). Puisque AX(J ),P (g̃) appartient à X(J), nous avons AX(J ),P (g̃) = |H1(R)| / O(J ) + kg + O(2) dans Q[[g]], pour un certain k ∈ Z. Étant donné que (J ) est pair, la partie de degré un de exp(k1g/2)AX(J ),P (g̃) est nulle. Par conséquent, k1 = −2 kO(J ) |H1(R)| ∈ Z, et k1 est pair si |H1(R)| est impair, ce qui est toujours vrai lorsque R est une sphère Z2. Dans ce cas, (J ) appartient à X(J). On définit alors ( ) ) .U = ex −O(J ) − ( 1 1 p g exp k1g et A 2 X(J ) = UAX(J ),P . Ainsi, nous obtenons :

( ) ( ) (J ) − 1 ∂m̃ 1 .AX(J )(m̃) = exp −O g exp k1g A ) 2 X(J ),P (g̃ ∂g̃ 2 = Sh(O(J )g) (J ) Sh(g), et puisque Sh(x) = exp(x) x x² /2 − exp(−x² /2) = x(1 + 24 + O(4)), nous en déduisons :

( ) Sh(1) m O(J) .(J ) = A Sh X(J )(m̃) (m) ( ( ) ) = |H1(R)| ( ) 1 − 1 1 − 1 1 + cm² + O(4). O(J ) 24 O(J )² m²

En revanche, nous avons |H1(R)| .(J ) = + ′′(J )(1) m² + O(4). O(J )². Nous en déduisons alors que :

( ) (J )′′(J )(1) .c = 1 1 − 1 24 O(J )² + O = λ′(J ). 2|H1(R)|.

La section suivante introduit la notion de polynômes d'Alexander normalisés des liens.

Polynômes d'Alexander normalisés des liens

Définition 20.2.6 : Soit k un entier tel que k ≥ 2. Soit L = (Ki)i∈k un lien dans une sphère Q, avec k composants. Pour chaque i ∈ k = {1, . . . , k}, soit mi un méridien du composant Ki de L, et posons Oi = O(Ki). La torsion de Reidemeister τ(X(L)) de l'extérieur X(L) de L est un élément de [1 m1 1 1 1 − m1 m − m 1 m 1 .Z e O1, e O1, e O k − m 2 2 , e O 2 k 2 , . . . , e Ok, e Ok]. Elle est définie jusqu'à multiplication par une unité exp(x) ∈ ( ) H1 X(L) / Torsion 11. Le polynôme d'Alexander multivariable O (L) 1) −1/(2O) de L est un élément de 1/(2 Z t1 , t 1 1 , 1/(2O) −1/(2O)] . . . , t k , t k k k. Il est obtenu à partir de τ(X(L)) en multipliant par une unité de X(L), et en effectuant le changement de variables 1 ( ) 2O 1 i .ti = exp mi . 2Oi. Il satisfait à la propriété suivante :

( ( )) ( m̃j ( ))AE δ̂ δ̃ .(L) = sign ε A r E(m̂) , ∂m̃j ( ) m̃.

Nous voyons ici H1(X(L))/Torsion comme un sous-module de H1(X(L);Q) = ⊕k i=1Qmi. Soit N(Ki) un voisinage tubulaire de Ki. Soit i une surface plongée dans l'extérieur R \ N̊(Ki) de Ki, dont la frontière ∂i est sur ∂N(Ki) et est homologueuse à OiKi dans N(Ki). Chaque élément x de H1(X(L);Q) = ⊕i=1Qmi peut être écrit sous la forme k x = ∑ i=1(〈x, i〉/Oi)mi.

Approfondissement des liens et des polynômes d'Alexander

Les relations entre les différentes parties d'un lien, comme la longitude et le méridien, sont essentielles pour comprendre la structure de ces invariants. De plus, l'étude des polynômes d'Alexander dans un contexte multivarié permet d'étudier des liens plus complexes, notamment ceux ayant plusieurs composants, et de mieux comprendre les interactions entre ces composants. Il est donc crucial pour le lecteur d'intégrer ces connaissances dans une compréhension plus large des liens dans la topologie des variétés tridimensionnelles.

Comment les séries de Alexander d'une surface de Seifert de genre 1 permettent de calculer les invariants élémentaires des nœuds et des surfaces de Seifert

Les propriétés topologiques des nœuds et des surfaces de Seifert de genre 1 sont essentielles pour comprendre la géométrie des objets tridimensionnels et les invariants qui leur sont associés. Une partie clé de cette étude repose sur les séries de Alexander, un outil puissant permettant de décrire les torsions et autres invariants d'une surface donnée. Ce chapitre se concentre sur l'application des séries de Alexander pour les surfaces de Seifert et leur rôle dans le calcul des invariants élémentaires.

Dans le contexte des nœuds et des surfaces de Seifert de genre 1, il existe des formules spécifiques qui relient les polynômes d'Alexander univariés des nœuds A, B, C et des paires comme (A, B), (A′, B′), et d'autres variantes. Ces relations sont fondamentales pour le calcul des torsions de Reidemeister associées aux surfaces de Seifert et, plus généralement, pour l'étude des invariants topologiques dans le cadre de la théorie des nœuds. L'utilisation de ces relations repose sur la normalisation des formes d'Alexander, qui permet d'extraire les coefficients nécessaires pour obtenir des résultats fiables.

Un corollaire important de ce processus, tel qu'exposé dans le théorème 20.1.28 et la proposition 20.2.21, est la relation permettant de calculer l'invariant AE,3(ũα ∧ ũβ). Ce calcul, basé sur les polynômes d'Alexander univariés, est un élément clé pour obtenir une compréhension plus approfondie des structures topologiques sous-jacentes. Il est important de noter que, dans ce cadre, les termes impliquant les groupes de homologie de type H1(R) et les applications linéaires λ′(E; uα, uβ, uγ) sont utilisés pour relier les différentes expressions algébriques, et plus particulièrement pour calculer les contributions associées aux courbes α, β, et γ.

Lors de l'étude de la série de Alexander d'une surface de Seifert de genre 1, on procède à des calculs complexes impliquant des courbes associées à des triples d'entiers impairs. La formule de la série de Alexander D(a, b, c) pour une surface de Seifert, définie par des relations de type lk(β, γ) et lk(α, β), sert de base pour établir des expressions algébriques qui peuvent être utilisées dans des calculs plus larges concernant les invariants topologiques. Ces relations, bien que spécifiques, permettent de modéliser les interactions entre les différentes courbes sur la surface et de comprendre la géométrie de ces objets complexes.

Une des étapes importantes dans ce processus est l'introduction des séries de Alexander sous la forme de E(a, b, c) et leur relation avec les polynômes AE. L'utilisation de cette méthode facilite l'extraction d'expressions nécessaires à l'étude des torsions de Reidemeister, τ(E[K]), qui sont déterminées par des intégrations spécifiques et des transformations algébriques appliquées aux courbes définies sur la surface. Cette approche est cruciale pour établir une connexion directe entre les séries d'Alexander et les invariants topologiques des surfaces de Seifert.

Enfin, la compréhension des invariants élémentaires associés à ces surfaces implique une analyse des séries de Alexander sous différentes formes, notamment en observant les relations entre les courbes et leurs intersections. L'importance de cette étude réside dans le fait qu'elle permet de décrire la structure topologique de manière plus détaillée et d'obtenir des informations cruciales pour la classification des surfaces de Seifert et des nœuds associés dans des espaces tridimensionnels.

Les séries de Alexander d'une surface de Seifert de genre 1 sont ainsi non seulement un outil pour le calcul des invariants topologiques, mais elles fournissent également un cadre théorique riche pour explorer la topologie des surfaces et des nœuds dans des contextes géométriques et algébriques complexes. Le travail de calcul et d'analyse des polynômes et des séries associées constitue une partie intégrante de l'étude des invariants de nœuds et des structures de Seifert, offrant une clé de lecture essentielle pour les chercheurs en topologie.

Quelle est la solution au problème de Kervaire et aux problèmes généralisés associés ?

La théorie de l'immersion des variétés, notamment celle des immersions stables et de leur comportement vis-à-vis des classes caractéristiques, constitue un domaine fascinant en topologie et géométrie algébrique. Dans ce cadre, le problème de Kervaire et ses généralisations occupent une place centrale, offrant des perspectives sur la structure des immersions dans des espaces à codimension élevée.

La problématique du problème de Kervaire se pose alors : pour quelles valeurs de $n$, plus spécifiquement pour $n = 2l - 2$, peut-on obtenir $\langle w_2^2 ; [M^{n-2}] \rangle = 1$ ? Une solution positive à ce problème impliquerait l'existence d'une immersion $f$ pour laquelle cette équation est satisfaite. Toutefois, il est connu que pour $n = 2l - 2$, ce problème est résolu négativement, comme l'indiquent les travaux de [22] et [12], qui montrent que ces immersions ne peuvent satisfaire à la condition $\langle w_2^2 ; [M^{n-2}] \rangle = 1$ pour ces valeurs de $n$.

Plus précisément, la question se pose de savoir si, pour certaines valeurs de $n$ et pour des sous-groupes particuliers, une immersion peut exister où l'intégration de la classe caractéristique $w_2$ donne un résultat non trivial. Cette approche ouvre la voie à de nouveaux résultats théoriques, comme l'énoncé de la proposition qui montre que la solution positive au problème généralisé de Kervaire pour $K_{n,k+}$ implique également une solution pour le problème classique de Kervaire en dimension $2l - 2$.

Une partie importante de cette analyse repose sur l'immersion stably encadrée, qui est stable après une stabilisation de codimension 1. Cette notion de stabilité est cruciale dans l'étude des immersions et dans la résolution des problèmes qui en découlent. Les résultats de la théorie des immersions stables sont en effet liés à des formes quadratiques et des invariants comme l'invariant de Browder–Eccles, qui sont utilisés pour classifier les immersions à travers des théories de cobordisme.

En parallèle, un aspect essentiel du problème généralisé de Kervaire réside dans la compréhension du rôle des bundles normaux et des classes caractéristiques dans la définition et la classification des immersions. Les immersions dans des variétés de dimensions supérieures se révèlent être de plus en plus complexes à analyser, mais permettent aussi de mieux comprendre la structure des espaces de cohomologie et les relations entre différentes classes caractéristiques.

Il est important de noter que, bien que le problème classique de Kervaire ait été résolu négativement pour certaines dimensions, cela n'exclut pas la possibilité de solutions positives dans d'autres contextes ou configurations géométriques. Les résultats obtenus pour des immersions stables, en particulier dans le cadre de cobordisme, offrent des perspectives intéressantes sur les solutions possibles à ces problèmes dans des dimensions supérieures.