La Théorie des Ratios des Magnitudes selon Théétète et Eudoxe : Une Analyse Critique

Dans les écrits de Platon, particulièrement dans Les Éléments d'Euclide, deux théories des rapports des grandeurs se distinguent : celle d'Eudoxe, exposée dans le Livre V, et celle de Théétète, qui apparaît dans le Livre X. Cette dernière fait l'objet de critiques acerbes dans le Scholion X.2, qui oppose les deux théories et met en lumière la supériorité de celle de Théétète. Cette analyse critique se concentre principalement sur le fait qu’Eudoxe, en définissant les rapports des grandeurs de manière trop générale, efface la distinction fondamentale entre les lignes rationnelles et irrationnelles, ou entre les grandeurs dotées de Logos et celles qui en sont dépourvues.

L’opposition entre les deux théories repose sur un concept fondamental : la notion de logos. Dans la théorie d’Eudoxe, le rapport des grandeurs est défini comme une relation multiplicative entre grandeurs finies, selon laquelle une grandeur peut être multipliée pour en dépasser une autre. Ce concept, bien que mathématiquement pertinent, ne permet pas de différencier les grandeurs qui possèdent logos de celles qui ne le possèdent pas. Ce défaut conceptuel est ce qui rend cette théorie insuffisante pour une compréhension plus profonde des rapports des grandeurs.

En revanche, Théétète introduit une vision plus nuancée et sophistiquée. Il se limite aux rapports qui offrent une véritable connaissance de l’infini, en particulier ceux où l’anthyphairesis périodique finit par émerger. Contrairement à Eudoxe, qui considère les rapports entre grandeurs uniquement sous l'angle de leur comparabilité finie, Théétète se concentre sur les grandeurs dont les rapports sont rationnels ou irrationnels, avec une attention particulière à la façon dont ces rapports peuvent être représentés par des lignes dont la divisibilité est infinie, ce qui introduit un processus de connaissance qui dépasse le simple calcul arithmétique.

Le Scholion X.2 critique la théorie d’Eudoxe de manière décisive : il n’existe, selon cette critique, aucun moyen de distinguer de manière nette les lignes rationnelles des lignes irrationnelles dans cette approche. Eudoxe considère que tous les rapports de grandeurs peuvent être exprimés par des multiples d'une même grandeur finie, ce qui est incompatible avec l'idée que certaines grandeurs, celles qui sont irrationnelles, échappent à cette définition par leur caractère infini et non périodique.

La critique va encore plus loin en soulignant que, dans la théorie d’Eudoxe, le logos se réduit à une relation de plus grand ou plus petit entre grandeurs finies, et non à une relation qui permet de capturer la différence essentielle entre le rationnel et l’irrationnel. C’est en ce sens que la théorie de Théétète se révèle plus fidèle à l’esprit de la philosophie platonicienne. Pour Théétète, la notion de logos implique un rapport plus profond, celui qui distingue véritablement les grandeurs rationnelles des irrationnelles, une distinction essentielle non seulement pour la géométrie, mais aussi pour la philosophie de Platon.

Ce débat dépasse largement les frontières de la géométrie pure. La question des rapports des grandeurs, en particulier celle de la divisibilité infinie et de l’anthypairesis, touche au cœur de la conception platonicienne de la connaissance. L’analogie entre la connaissance géométrique et la connaissance des êtres intelligibles, dans les dialogues tels que Le Sophiste et Le Ménon, illustre la manière dont Platon voit la connaissance comme un processus de division infinie, où l’esprit humain, par la raison (logos), peut approcher l’infini. En ce sens, la division des grandeurs et la manière dont elles sont représentées dans les théories de Théétète et d’Eudoxe deviennent des métaphores de la quête philosophique : une quête de la vérité qui ne peut être appréhendée que par une compréhension qui dépasse la simple représentation numérique et qui embrasse l’infinité du réel.

L’interprétation de la théorie des rapports de grandeurs par Platon dans les dialogues n’a pas seulement une valeur mathématique, mais aussi une portée philosophique. Elle incarne une réflexion sur la nature de la connaissance, de l'infini et du rapport entre le fini et l'infini, qui est centrale dans la pensée platonicienne. La critique de la théorie d’Eudoxe met en lumière les limites d'une approche strictement arithmétique et propose une vision plus riche et plus complexe des relations mathématiques, fondée sur la division infinie et la possibilité d'une connaissance véritablement illimitée.

Les historiens de la mathématique grecque et les spécialistes de Platon, notamment Bertrand Russell, ont souvent négligé la manière dont la géométrie et les concepts mathématiques jouent un rôle fondamental dans la philosophie platonicienne. Ce n’est que récemment que l’on commence à saisir l’importance de l’anthypairesis périodique et de son imitation géométrique dans la compréhension de la pensée platonicienne, notamment dans les dialogues Le Théétète, Le Sophiste et Le Ménon. Cette interprétation plus profonde permet d’éclairer la manière dont Platon utilise la géométrie comme un modèle pour illustrer des concepts philosophiques tels que la connaissance vraie, la distinction entre opinion et savoir, et la nature de l’infini.

La philosophie de Platon, loin d’être simplement un ensemble d’idées abstraites, trouve ses racines dans les mathématiques grecques, qui étaient perçues par Platon comme un outil privilégié pour atteindre la connaissance véritable. En ce sens, la compréhension des théories des rapports des grandeurs de Théétète et d’Eudoxe constitue un point d’ancrage indispensable pour saisir la profondeur de la pensée platonicienne et pour comprendre la manière dont les mathématiques étaient intimement liées à la philosophie.

Quelle est la configuration des arcs minimaux et des singularités dans les difféomorphismes de sphères à trois dimensions ?

On suppose que μ > 0 et ν = 0. Nous poursuivons avec le point de selle négatif supérieur I0 et l’arc β, d’indice 0 qu’il génère. Selon le lemme 9.5.6, chaque bassin $B(m)$ , où $m \in β$ , est exempt de contact positif. Dans ce cas, pour chaque minimum $m \in β$ , le cône $CL(m)$ est standard, ce qui signifie que $F$ induit une foliation lisse par des courbes fermées sur son intérieur, à l'exception de $m$ . Si l'arc α de selle négative λ et l'arc β de minimum, émanant de I0, se rejoignent en un point de flexion de annulation commun, alors l'union $\alpha \cup \beta$ forme une boucle simple, au sens de la Définition 9.3.2. Selon la Proposition 9.3.3, il existe une isotopie soutenue dans un voisinage de $\cup m \in β CL(m)$ qui élimine cette boucle simple et diminue μ de 1.

Il est important de montrer qu’il n’existe aucune autre configuration avec ν = 0. Soit $J1$ l'inflexion de annulation qui termine $α$ , et $I1$ , distinct de $J1$ , l’inflexion qui termine $β$ , tandis que $I2$ est l’inflexion de naissance de l'arc $λ'$ , nommé $α'$ , descendant de $I1$ . On a $f(I0) > f(I2)$ par définition de $I0$ . De plus, $f(J1) > f(I1)$ ; sinon, la séparatrice unique convergeant vers $J1$ partirait d'un minimum $m1 \in β$ , ce qui signifierait que $ν > 0$ .

Lorsque $ν = 0$ , chaque $m \in β$ termine par une séparatrice descendant d’une selle $s(m) \in α$ et une autre séparatrice descendant d’une selle $s'(m) \in α'$ . L’existence de $s(m)$ est évidente près de l'inflexion $I0$ et s'étend à $β$ puisque aucun accident ne se produit le long de cet arc. L’existence de $s'(m)$ est évidente près de $I1$ et s'étend également à $β$ pour la même raison. Lorsque $m$ est proche de $I0$ , on a $f(s'(m)) > f(s(m))$ , et lorsque $s'(m)$ est proche de $I1$ , on a $f(s'(m)) < f(s(m))$ . Ainsi, il existe $m0 \in β$ tel que $f(s(m0)) = f(s'(m0))$ . Cela implique que $CL(m0)$ se trouve dans une configuration de type selle-centre-selle (Définition 9.3.4) et $ν$ devient positif, ce qui mène à une contradiction.

Dans le cas où $ν > 0$ , considérons le premier minimum accidentel $m0$ dans $β$ , en partant de $I0$ , et supposons que la courbe $\partial CL(m0)$ contienne deux selles $s0$ et $s'0$ , toutes deux négatives selon le lemme de nettoyage 9.5.6. Nous avons alors une configuration de type selle-centre-selle. L’arc $α$ et l'arc $α'$ contiennent respectivement les selles $s0$ et $s'0$ ; en considérant des paramétrisations locales $st$ , $s't$ , et $mt$ des arcs $α$ , $α'$ et $β$ , respectivement, près de $t = 0$ , ces trois points de contact se trouvent dans la même feuille pour chaque $t$ proche de 0. Si $α$ vient de $I0$ et sachant que $m0$ est le premier point accidentel sur $β$ , on a $f(mt) < f(st) < f(s't)$ pour chaque $t < 0$ .

Ainsi, chaque selle dans le sous-arc $(I0, s0) \subset α$ est annulée avec le minimum correspondant dans $β$ . Pour chaque petit $t > 0$ , la paire $(s't, mt)$ peut être annulée. La proposition 9.3.6 s’applique, et son effet est montré dans la figure 9.4. En particulier, ce contournement crée une boucle simple qui contient $I0$ et une nouvelle inflexion de naissance $I1$ avec les propriétés suivantes :

$f(I1) > f(I0)$ .
L'arc $β'$ de minimum émanant de $I1$ a moins de minima accidentels que $β$ , car il coïncide avec $β$ dans $\{f > f(I1) + \epsilon\}$ , pour $\epsilon$ assez petit.

Une fois la boucle simple annulée, le nombre d'inflexions de naissance de selle-négatif-minimum reste égal à celui initial $μ$ , mais l’entrée $ν$ de la complexité inférieure diminue de 1 : l’arc $β'$ a un minimum accidentel de moins que $β$ . De plus, l’arc $β'$ est exempt de contact positif, tout comme l’était l’arc $β$ .

Lorsque le premier minimum accidentel $m1 \in β$ a un cône avec un point de flexion $J1$ à sa frontière, cette flexion ne peut être une naissance puisqu’elle se trouve à un niveau plus élevé que $I0$ . Il s'agit donc d'une inflexion de cancellation, un contact négatif en raison du lemme de nettoyage 9.5.6 appliqué aux bassins générés par $I0$ . Soit $β$ l’arc d’indice 0 partant de $I0$ , et soit $I1$ l'extrémité supérieure de cet arc. On a $I1 = J1$ puisque l'arc $β$ , transversal à $L$ , ne peut rencontrer la même feuille deux fois. Il existe alors deux cas possibles :

Si l'arc de selle $α$ partant de $I0$ se termine en $J1$ , nous nous trouvons dans la configuration selle-minimum-selle (Définition 9.3.7). L'arc $β'$ est l’arc de minimum descendant de $J1$ . L’isotopie de la Proposition 9.3.8 modifie les arcs de contact comme montré dans la figure 9.6, y compris leurs noms. Le résultat est une boucle simple contenant $I0$ et un arc de minima. Une fois cette boucle simple annulée, le nombre d'inflexions de naissance de selle-négatif-minimum diminue d'un, et la complexité diminue.
Si $α$ ne se termine pas en $J1$ , l'arc $α'$ et l'arc $β'$ se terminant en $J1$ forment une configuration selle-minimum-selle. L’effet de l’isotopie ne produit pas de boucle simple qui pourrait être annulée, mais elle conserve $I0$ comme inflexion de naissance négative et l'arc $β̌$ partant de $I0$ ne contient aucun minimum accidentel. Par conséquent, la complexité passe de $(μ, ν)$ à $(μ, 0)$ .

Lorsque les deux complexités disparaissent, il ne reste plus de contacts négatifs, et le truc de Moser (Lemme 9.1.3) termine la démonstration du Théorème (A').

Qu'est-ce qu'une application complètement auto-transversale ?

L'un des concepts clés dans la théorie des applications différentiables est la transversabilité, et plus particulièrement la notion de transversabilité complète. Cette propriété joue un rôle central dans le comportement des applications dans les espaces projectifs et tangentiels. Dans cette section, nous allons explorer les caractéristiques des applications dites "complètement auto-transversales" et leur lien avec les sous-variétés dans le cadre des systèmes différentiels et géométriques.

Une application $f$ entre deux variétés différentielles $N$ et $M$ est dite complètement auto-transversale si elle est à la fois auto-transversale et pleinement 1-transversale. Pour comprendre cette définition, il est essentiel de dissocier deux notions de base. D'abord, l'auto-transversabilité de $f$ implique que la carte induite sur le cylindre tangentiel $\hat{f}$ de la variété $N$ est transversale à $N \times M$ . Ensuite, une application est pleinement 1-transversale si le sous-ensemble défini par l'image de $f$ , $\hat{f}$ , dans l'espace projectif $P(N \times M)$ , rencontre ce dernier de manière transversale. Cela signifie que la carte associée à $f$ dans $P(N \times M)$ est bien adaptée pour couper ces espaces sans se superposer de manière dégénérée.

Le concept de transversabilité complète trouve son application directe dans le contexte des jets d'applications, notamment dans le cas des jets d'ordre un. Pour une application $f : N \rightarrow M$ , l'ensemble des jets d'ordre un est constitué des sections du fibré $J^1(N, M)$ , qui est un fibré vectoriel sur $N \times M$ . Lorsque l'application $f$ est faiblement générique, c'est-à-dire lorsqu'elle satisfait une condition de non-dégénérescence, alors le théorème des jets d'ordre un garantit que l'image de la carte associée, $s_f$ , est transversale à la sous-variété $L$ dans $J^1(N, M)$ . Cette propriété implique que pour chaque $i$ , l'ensemble $\hat{i} f$ constitue une sous-variété lisse de codimension $i(m - n + i)$ dans $N$ .

La transversabilité de $f$ en dimension $i$ est une condition qui doit être vérifiée pour chaque $i$ jusqu'à un certain seuil. Cette notion de transversabilité est au cœur de l'étude des applications génériques et de leur comportement topologique. Il est aussi important de noter que, lorsqu'une application est pleinement 1-transversale, elle possède des propriétés particulièrement robustes en termes de structure géométrique, et ces propriétés sont essentielles pour établir des résultats d'existence de sous-variétés et de manifolds dans les applications différentiables.

En revanche, il existe également des notions connexes comme la transversabilité faible ou générique, qui concernent les applications pour lesquelles la condition de transversabilité n'est pas strictement vérifiée, mais qui conservent un certain degré de régularité topologique. Ces applications restent importantes dans les contextes où la transversabilité complète ne peut être pleinement assurée.

En résumé, une application complète auto-transversale possède une structure géométrique bien définie qui permet de garantir que son image est transversale à la variété cible dans des espaces projectifs et tangents. Ces propriétés sont cruciales pour l'étude des systèmes différentiables complexes et la détermination de sous-variétés associées à de telles applications. Elles permettent de comprendre et de prédire le comportement des applications dans des contextes topologiques et géométriques sophistiqués, où les concepts de jets et de fibrés jouent un rôle déterminant.

Qu'est-ce qu'une carte continue homologiquement finie et son rôle dans les espaces topologiques ?

Dans les études des espaces topologiques et des applications continues entre ces espaces, une question fondamentale réside dans la structure de la cohomologie relative des espaces sous l'effet d'une carte continue. Une carte continue $f$ entre deux espaces topologiques est dite homologiquement finie si, pour tout $t \in \mathbb{R}$ , la dimension de la cohomologie relative $H^r(X_t, X_0)$ est finie. Cette condition se réfère spécifiquement à une propriété de la carte continue qui lie la dynamique de l'espace topologique à la cohomologie de celui-ci.

Cette notion est plus précisément appelée homologiquement finie à gauche lorsque l’on se réfère à des éléments dans la cohomologie qui sont principalement influencés par les points dans les voisinages de $X_t$ . Dans ce cadre, $X_t$ désigne une famille d’espaces topologiques paramétrés par $t$ , et la condition de finitude de la cohomologie implique que, pour chaque $t$ , les espaces $X_t$ ne présentent pas de singularités infinies dans leur structure cohomologique, ce qui permet de garantir que la carte $f$ préserve une forme de "contrôle" sur la façon dont les espaces évoluent en fonction de $t$ .

Un autre aspect important de cette structure est l’étude des inclusions induites par la carte $f$ , en particulier celles qui concernent les homomorphismes de la cohomologie relative. Si on considère les cartes continues entre les espaces $X_t$ , on peut définir des inclusions $H^r(X_t) \to H^r(X_{t+\epsilon})$ et $H^r(X_t) \to H^r(X_{t-\epsilon})$ , où $\epsilon$ est un petit paramètre positif. La condition que ces inclusions soient des isomorphismes pour tout $\epsilon$ avec $0 < \epsilon < \epsilon(t)$ est cruciale. Elle garantit que, malgré les petites variations de $t$ , la structure cohomologique des espaces ne subit pas de changements radicaux qui rendraient la carte non conforme aux attentes topologiques. En d'autres termes, la carte maintient une "stabilité" topologique pour des perturbations infinitésimales autour de chaque valeur de $t$ .

La notion d'isomorphisme dans ce contexte est essentielle pour comprendre la stabilité des propriétés de cohomologie sous la déformation des espaces. Un isomorphisme entre ces groupes de cohomologie indique que les propriétés topologiques de l'espace n'ont pas été altérées de manière significative, et que les différents espaces $X_t$ restent homogènes dans leur structure cohomologique, bien qu’ils soient paramétrés différemment.

L'un des résultats importants ici est la stabilité de la structure cohomologique relative dans un voisinage des points de $X_t$ . Cela permet d'affirmer que les évolutions topologiques des espaces dans le cadre de ces cartes continues ne conduisent pas à des changements qui remettent en cause les relations entre les espaces. Cette propriété est particulièrement importante lorsqu'il s'agit d'étudier des systèmes dynamiques ou des variations d'espaces topologiques dans des contextes géométriques ou algébriques.

L'importance de la notion de finis dans la cohomologie des espaces topologiques ne doit pas être sous-estimée. Elle donne aux chercheurs la possibilité de contrôler les propriétés topologiques d’un espace en utilisant les outils de la cohomologie et de la géométrie algébrique, tout en assurant une certaine continuité et stabilité dans les transformations du système étudié. Il est essentiel de comprendre que la notion d'homologiquement finie n’est pas simplement une condition mathématique abstraite, mais un moyen concret de garantir que des phénomènes de changement dans les espaces paramétrés n’entraînent pas des anomalies ou des ruptures dans la structure cohomologique.

En outre, la notion d'homologie finie à gauche soulève des questions sur la nature des espaces sous-jacents, et sur la manière dont les cartes continues peuvent interagir avec eux pour préserver certaines propriétés structurelles, telles que la compacité ou la connexité. Ces questions ont des implications profondes dans les domaines de la topologie algébrique et de la géométrie différentielle, où l’étude des transformations continues joue un rôle clé.

Une autre réflexion importante porte sur la relation entre la cohomologie et la géométrie des espaces paramétrés. Alors que la cohomologie mesure des aspects topologiques et algébriques des espaces, la géométrie fournit des informations plus fines sur leur structure locale et globale. Dans le contexte des cartes continues homologiquement finies, il est essentiel de considérer ces deux perspectives pour une compréhension complète des phénomènes observés.

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