L’étude des ordres stochastiques constitue un outil fondamental pour comparer des distributions de probabilité, en particulier dans des contextes où la notion de risque ou d'incertitude est centrale. Considérons une variable aléatoire normale centrée réduite N(0, σ²), dont la fonction de répartition est donnée par Φ(x/σ). Une propriété clé est que, pour un paramètre c fixé, la fonction c↦∫Φ(x/σ)dxc \mapsto \int \Phi(x/\sigma) dx est strictement croissante en σ. Cette observation justifie une hiérarchie naturelle entre les distributions normales en fonction de leur variance : pour deux normales centrées N(0, σ²) et N(0, σ~2\tilde{\sigma}^2) avec σ2≤σ~2\sigma^2 \leq \tilde{\sigma}^2, on a un ordre stochastique noté N(0,σ2)⪰icvN(0,σ~2)N(0, \sigma^2) \succeq_{icv} N(0, \tilde{\sigma}^2). Ce dernier signifie que la distribution avec la plus faible variance est préférée selon un ordre d’utilité concave croissante, reflétant une moindre dispersion ou risque.

Lorsque les espérances sont distinctes, cet ordre peut être étendu par la propriété que si m ≥ m~\tilde{m}, alors pour toute fonction d’utilité u croissante et concave, on obtient ∫udN(m,σ2)≥∫udN(m~,σ~2)\int u dN(m, \sigma^2) \geq \int u dN(\tilde{m}, \tilde{\sigma}^2). La preuve exploite une convolution de distributions normales et l’utilisation d’un noyau stochastique, soulignant la robustesse des ordres stochastiques face aux changements de moyenne et de variance.

La notion de croisement unique des fonctions de répartition (single-crossing property) joue un rôle crucial dans la comparaison de deux distributions μ et ν lorsque les espérances satisfont m(μ) ≥ m(ν). Cette propriété stipule qu’il existe un unique point x0x_0 où les fonctions de répartition de μ et ν se croisent, ce qui implique un ordre stochastique de type icv (increasing concave order). Pourtant, cette condition, bien que suffisante, n’est pas nécessaire, car il existe des contre-exemples où l’ordre icv tient sans que la propriété de croisement unique soit vérifiée.

Dans le cas particulier des distributions ayant la même espérance, plusieurs conditions sont équivalentes à cet ordre icv. Elles impliquent notamment que pour toute fonction concave (pas nécessairement croissante), l’intégrale par rapport à μ est supérieure ou égale à celle par rapport à ν, ou encore que la variance de μ est inférieure ou égale à celle de ν. Cette dernière condition est souvent utilisée en finance sous la forme de l’ordre moyen-variance, reliant l’optimisation du portefeuille à la minimisation du risque pour un rendement donné.

L’étude du cas des distributions uniformes et de leurs mélanges démontre cependant que l’ordre moyen-variance ne coïncide pas toujours avec l’ordre icv, mettant en lumière les limites des approches simplistes basées uniquement sur la moyenne et la variance.

L’ordre convexe (≽cx), dual à l’ordre concave, est également introduit et correspond à la domination en termes de fonctions convexes, souvent associée à des notions de dispersion ou de risque inverse. L’interprétation et les implications pratiques de ces ordres stochastiques se retrouvent notamment dans l’analyse de portefeuilles et la gestion du risque.

Parmi les distributions fréquemment utilisées en finance, la distribution log-normale est particulièrement notable. Un variable aléatoire Y est dite log-normale si elle s’écrit comme l’exponentielle d’une variable normale standardisée. Cette transformation garantit que Y est strictement positive, ce qui est essentiel pour modéliser des actifs financiers dont les valeurs ne peuvent être négatives. Les fonctions densité et de répartition de Y sont directement liées à celles de la normale standard, mais le paramètre σ joue un rôle non linéaire dans l’espérance et la variance de Y, qui sont respectivement données par des formules exponentielles complexes.

L’ordre stochastique icv entre deux distributions log-normales, paramétrées par (α, σ) et ( α~,σ~\tilde{\alpha}, \tilde{\sigma} ), se caractérise précisément : μ ≽icv μ~\tilde{\mu} si et seulement si σ2≤σ~2\sigma^2 \leq \tilde{\sigma}^2 et α+12σ2≥α~+12σ~2\alpha + \frac{1}{2}\sigma^2 \geq \tilde{\alpha} + \frac{1}{2}\tilde{\sigma}^2. Cette condition combine à la fois un ordre sur la variance logarithmique et un ordre sur la moyenne logarithmique ajustée, garantissant que μ est moins risquée au sens de l’ordre icv tout en présentant une espérance au moins égale.

La démonstration s’appuie sur la construction d’un noyau stochastique adapté, modifiant les paramètres de la distribution log-normale par convolution avec une autre loi log-normale indépendante, ce qui montre la richesse des structures disponibles pour manipuler et comparer ces distributions.

Il est essentiel de noter que ces ordres stochastiques ne se limitent pas à des abstractions mathématiques, mais se traduisent concrètement dans l’analyse du risque, la théorie du portefeuille, et la prise de décision économique en présence d’incertitude. La compréhension fine des conditions d’ordre, des liens entre espérance, variance, et fonctions d’utilité concave est fondamentale pour appréhender la complexité des préférences face au risque.

Enfin, au-delà des propriétés formelles et techniques, il importe de saisir que ces ordres stochastiques reflètent des attitudes envers le risque sous-jacentes à la théorie de la décision. Ils traduisent notamment l’idée que, toutes choses égales par ailleurs, une distribution plus concentrée autour de sa moyenne est préférée à une distribution plus dispersée, illustrant ainsi une aversion au risque rationnelle et cohérente. Cela souligne aussi l’importance de choisir des critères de comparaison adaptés à la nature du problème étudié, notamment lorsque la moyenne ne suffit pas à caractériser les préférences ou les risques impliqués.

Quel est le lien entre l'optimisation de portefeuille et l'absence d'opportunités d'arbitrage dans les marchés financiers ?

Dans le cadre de la théorie des portefeuilles et de l'optimisation, l'objectif principal est de déterminer une stratégie d'investissement optimale qui maximise l’utilité attendue d'un portefeuille sous certaines contraintes de budget. Pour ce faire, on introduit un ensemble de portefeuilles admissibles, noté S(D), qui sont définis comme les portfolios pour lesquels la valeur de ξ⋅Yξ ⋅ Y appartient à un domaine donné D, avec ξ∈Rdξ \in ℝ^d. Ce domaine D peut, par exemple, être un intervalle de la forme [a,∞)[a, ∞), ce qui est typique dans les fonctions d’utilité exponentielles ou logarithmiques. L’ensemble des portefeuilles admissibles, S(D), devient ainsi un sous-ensemble de Rdℝ^d, qui peut être non vide et même compact, sous certaines conditions spécifiques liées à la concavité de la fonction d’utilité et à la structure du marché.

Cependant, pour qu'un portefeuille optimal existe, un critère fondamental doit être rempli : l'absence d'opportunités d'arbitrage. Un arbitrage se définit comme une possibilité d’effectuer une transaction sans risque qui génère un profit garanti. L'absence d'arbitrage est essentielle pour garantir l'existence et l'unicité du portefeuille optimal. L’un des résultats fondamentaux dans ce contexte est qu’un portefeuille optimal, maximisant l’utilité attendue, existe si et seulement si le marché est exempt d'arbitrage. En d'autres termes, si des opportunités d’arbitrage existent, il devient impossible d'identifier un portefeuille qui maximise de manière unique l’utilité attendue, car de telles opportunités perturbent l’équilibre du marché.

La condition d’absence d’arbitrage dans les marchés financiers se manifeste dans plusieurs théorèmes. Par exemple, il a été démontré que si un marché modèle est non redondant — c’est-à-dire que les actifs risqués ne sont pas tous des combinaisons linéaires d'autres actifs — alors il existe une maximisation unique de l’utilité attendue. L’argument principal repose sur la stricte concavité de la fonction d’utilité et sur l’intégrabilité des variables aléatoires associées aux rendements des actifs.

Pour explorer plus en profondeur l’existence d’un portefeuille optimal, il est utile de considérer le cas où le domaine D est [a,∞)[a, ∞), où la compactité de l’ensemble S(D) peut être démontrée. Si l’ensemble S(D) est compact, cela signifie qu'il existe une stratégie optimale de portefeuille, ce qui est crucial dans la théorie de l'optimisation de portefeuille. De plus, ce domaine compact permet d’appliquer le théorème de la convergence dominée, garantissant la continuité de la fonction d'utilité attendue et assurant ainsi l’existence d'un portefeuille optimal. En revanche, si D est Rℝ, la fonction d’utilité peut être déduite d’une fonction convexe et continue, et une analyse plus fine de la convexité de la fonction associée est alors nécessaire pour démontrer l’existence d’un minimiseur de l’utilité.

Un autre aspect crucial dans ce cadre est la question de la non-redondance des actifs. Si un modèle de marché est redondant, cela signifie qu’il existe une ou plusieurs variables aléatoires supplémentaires qui peuvent être exprimées comme une combinaison linéaire d'autres variables. Cela introduit des opportunités d’arbitrage, compromettant ainsi la possibilité d’un portefeuille optimal.

Le théorème d'existence stipule que, sous l'absence d'arbitrage et la non-redondance des actifs, l’utilité attendue E[u(ξ⋅Y)]E[u(ξ ⋅ Y)] est bien définie et atteignable, ce qui permet de trouver un portefeuille optimal. De plus, si l’on considère l'optimisation sous une contrainte de budget, l'introduction d’un numéraire, comme une composante ξ0ξ_0, permet de maximiser l’utilité attendue sous la contrainte de π⋅ξ=wπ ⋅ ξ = w, où ww représente le capital initial. Cela permet d’élargir l’analyse des stratégies d'investissement dans un cadre plus réaliste.

Enfin, l'absence d'opportunités d’arbitrage peut également être reformulée à travers la condition limite sur les fonctions convexes. Il a été démontré que l'absence d’arbitrage est équivalente à la condition suivante : lim⁡α→∞h(αξ)=+∞\lim_{\alpha \to \infty} h(\alpha ξ) = +\infty pour tout ξ∈Rdξ \in ℝ^d non nul. Cette condition assure que les niveaux de rentabilité des actifs ne permettent pas de concevoir une stratégie qui génère des profits sans risque.

Dans ce contexte, il est également important de considérer que les rendements des actifs risqués doivent satisfaire certaines propriétés, notamment l'intégrabilité et la concavité de la fonction d’utilité associée. Cela garantit que les calculs de l’utilité attendue sont bien définis et peuvent être optimisés de manière cohérente.

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