Les cartes de graphes stables, en particulier les cartes de simplificiation entre arbres et segments, présentent une question essentielle : dans quelles conditions ces cartes peuvent-elles être "levées" en plongements ? Cette interrogation se trouve au cœur de la topologie algébrique et de la théorie des graphes, et nous cherchons ici à comprendre comment les obstructions, en particulier les "2-obstructions", affectent la capacité d'une carte à être levée en plongement.

Lorsqu'on travaille avec des cartes entre graphes, comme dans le cas d'un arbre TT et d'un chemin JJ, une question récurrente est celle des obstacles qui peuvent exister dans ces relations. On peut définir ces obstacles à partir des propriétés des cartes. Par exemple, dans le cadre des cartes stables de degré deux, lorsque l'on doit choisir soigneusement les "arêtes épine" pour les paires de sommets a×ba \times b, il est crucial de respecter une condition de compatibilité avec l'involution du graphe. Cette condition implique que pour chaque paire d'arêtes "épines" (x×y)(x \times y) et (x′×y′)(x' \times y'), l'inversion des positions de xx et yy doit aussi maintenir la validité de la structure.

Lorsque aa et bb sont des sommets réguliers de degré deux, l'importance de cette condition devient évidente : si l'on choisit les arêtes x×yx \times y comme "arêtes épines" pour la paire a×ba \times b, les arêtes y×xy \times x et y′×x′y' \times x' doivent également respecter cette compatibilité. Cela assure que l'intégrité du graphe et ses relations sont maintenues, évitant ainsi l'émergence de "défaillances" dans la structure du graphe.

En avançant dans l'étude des valeurs des cochaînes cv′c'_v sur les carrés du graphe, nous voyons que la valeur sur les carrés coïncide avec celle des diagonales correspondantes. Ceci nous permet de conclure que les cartes cw′c'_w et cv′c'_v sur des carrés entiers sont liées de manière naturelle : si l'on souhaite que la valeur cw′(a×b)c'_w(a \times b) soit égale à la somme des valeurs cv′c'_v sur les arêtes adjacentes, il suffit de démontrer la correspondance de ces relations. De manière plus détaillée, pour chaque carré SS contenant une diagonale, la somme des valeurs de cw′c'_w sur les arêtes correspondantes peut être déterminée par la somme des valeurs de cv′c'_v sur les arêtes de SS, ce qui confirme que la relation entre cw′c'_w et cv′c'_v est cohérente à travers toute la structure.

Ce phénomène s'étend à des cartes plus complexes, comme celles entre un arbre TT et un chemin JJ, où il n'est pas seulement question de maintenir une relation de continuité mais de garantir l'absence d'obstructions. Le théorème 16.11 prouve que pour une carte stable f:T→Jf : T \rightarrow J, il existe une équivalence fondamentale entre l'absence d'obstructions de degré 2 et le fait que cette carte puisse être levée en plongement. L'idée clé ici est que si une carte ne possède pas d'obstructions de degré 2, elle peut toujours être transformée en un plongement dans un espace supérieur, ce qui permet d'étendre les applications de telles cartes au-delà des simples cas initiaux.

L'importance de l'existence d'obstructions, et en particulier des 2-obstructions, devient encore plus manifeste à travers des exemples concrets. L'exemple de la "carte de marche autour d'un tripod" nous montre qu'une carte qui ne possède pas d'obstruction de degré 2 peut néanmoins échouer à se lever en plongement dans des cas plus complexes. Ce phénomène est crucial à comprendre : l'absence de 2-obstructions n'implique pas nécessairement l'absence de toute obstruction, et le type de carte ou de graphe utilisé peut altérer cette conclusion.

Ce point est illustré par l'exemple d'une carte entre un hexagone triangulé et un tripod, où malgré l'absence d'obstructions de degré 2, l'obstruction de degré 3 empêche la levée de la carte en plongement. Cela démontre que la classification des obstructions doit prendre en compte une variété de facteurs supplémentaires, notamment la complexité topologique du graphe ou de l'objet sous-jacent.

Il est donc fondamental de comprendre non seulement les conditions de levée des cartes en plongement, mais aussi les subtilités des obstructions qui peuvent se présenter à chaque étape. La simple absence de 2-obstructions ne suffit pas à garantir qu'une carte puisse toujours être levée en plongement, et la compréhension des types d'obstructions, qu'elles soient de degré 2, 3 ou plus, est essentielle pour naviguer efficacement dans la théorie des cartes et des plongements.

Les relations entre la mathématique et la physique : continuité, discontinuité et la nature de la réalité

Il n'existe aucune preuve que Riemann ait envisagé un tel type de réalité, ce qui n’est guère surprenant, étant donné que la mécanique quantique (MQ) se trouvait à un demi-siècle de distance, sans aucune indication que quelque chose de similaire puisse émerger. De même, il semble que Grothendieck n'ait jamais envisagé ce type de réalité, bien qu’il ne l’ait pas non plus explicitement rejeté. Son invocation d’Einstein et de Schrödinger, plutôt que de Bohr ou de Heisenberg, suggère qu'il aurait été peu enclin à accepter cette conception de la réalité qu’adoptaient Bohr et Heisenberg. Grothendieck ne semble pas non plus avoir accepté ou contemplé une interprétation de type RWR (Relation d'Observation Réelle), bien que certaines de ses idées laissent entrevoir une telle interprétation.

L’affirmation de Grothendieck, selon laquelle « je prédis que le renouveau attendu (s’il doit encore arriver) viendra d’un mathématicien bien informé sur les grands problèmes de la physique, plutôt que d’un physicien », peut susciter le doute. L’histoire suggère, cependant, le contraire. Le mélange des disciplines fut manifeste à l’époque de Descartes et Newton, qui étaient à la fois physiciens et mathématiciens. Il est également vrai que des mathématiciens comme Riemann et Gauss, et bien d’autres, ont fait d’importantes contributions à la physique. Parmi les exemples notables figurent Euler, D'Alembert, Laplace, Hamilton, et plus tard Hilbert, von Neumann et Weyl, pour ne citer que quelques-uns. Ces contributions étaient principalement mathématiques, à l'exception de celles de Gauss et de Riemann, qui ont directement concerné la physique. Les travaux de ces derniers ont eu une influence sur la physique, en particulier pour Riemann, dont certains projets étaient expressément orientés vers des problèmes physiques.

Néanmoins, lorsqu’il s’agit de percées scientifiques majeures et de renouveaux, surtout à mesure que la physique a commencé à utiliser les mathématiques modernes, ces avancées sont venues principalement des physiciens : Galileo, Newton, Maxwell, Boltzmann, Planck, Einstein, Bohr, Heisenberg, et Dirac, pour ne citer que quelques figures clés. Ce fut Einstein qui a donné un contenu physique rigoureux aux intuitions de Riemann en unissant la physique de la gravitation à la géométrie riemannienne. Cependant, Einstein lui-même admettait que la « génialité de Riemann » n’avait pas toujours été pleinement comprise par ses contemporains, bien que Riemann n’ait pas été totalement isolé, à l’inverse de figures comme Galois, dont le génie a été davantage ignoré. Il est important de noter que si Einstein a découvert la physique liée à la gravitation, il a eu besoin de l’aide de Marcel Grossman, un mathématicien, pour maîtriser la mathématique nécessaire à la théorie.

Quant à la mécanique quantique, l’histoire est différente. Bien que certains concepts mathématiques anciens aient été utilisés et que des mathématiciens comme Weyl et von Neumann aient apporté des contributions importantes, principalement sur le plan mathématique, la création de la mécanique quantique doit être attribuée aux physiciens, à commencer par Planck, Einstein, et Bohr, dans l’ancienne théorie quantique, et plus tard Heisenberg, Schrödinger, Dirac et d’autres, pratiquement exclusivement des physiciens. Le débat qui s’ensuit soulève la question de savoir si la résolution des problèmes fondamentaux de la physique viendra principalement d’un physicien bien informé mathématiquement plutôt que d’un mathématicien. La réponse semble pencher en faveur des physiciens, comme cela a été historiquement le cas, avec des contributions de mathématiciens principalement dans un rôle secondaire.

Il est toutefois délicat de prédire si les mathématiques nécessaires pour résoudre ces problèmes émergeront directement de la physique, comme ce fut le cas pour Heisenberg avec la découverte de la mécanique quantique, ou si elles viendront des mathématiques déjà en place, comme dans le cas d’Einstein, qui a utilisé la géométrie riemannienne pour formuler la relativité générale. De plus, certains mathématiciens ont trouvé de l’aide dans la physique pour résoudre des problèmes mathématiques complexes, comme le montre l’utilisation de la théorie de Yang-Mills par Donaldson. Cependant, cette aide reste limitée, car il est impératif de donner à cette mathématique sa pleine mesure mathématique.

Dans ce contexte, il est crucial de comprendre que, malgré la contribution des physiciens, c’est bien la mathématique qui, en fin de compte, a permis à la physique moderne de progresser, car la science physique moderne est une science mathématico-expérimentale, où les mathématiques jouent un rôle déterminant. La prédiction de Grothendieck, en ce sens, pourrait se réaliser, mais d'une manière différente de celle qu’il avait envisagée. Grothendieck avait également suggéré que le renouveau viendrait d’un « homme avec une ouverture philosophique » pour appréhender les fondements du problème, un aspect qui dépasse les seules considérations techniques.

Il est intéressant de noter que, tout en donnant une primauté potentielle à la discontinuité, Grothendieck invoque des figures comme Einstein et Schrödinger, qui étaient des penseurs de la continuité, cherchant à éviter la discontinuité dans la réalité physique à tout prix, mais ce qu’il aurait peut-être ignoré, c’est que la véritable imagination nécessaire pour appréhender la discontinuité se trouve dans la pensée de Heisenberg et Bohr. Ces derniers ont redéfini les relations entre la continuité et la discontinuité en établissant un nouveau type de lien entre la mathématique et la physique, et en introduisant des phénomènes physiques quantiques comme étant fondamentalement discrets et non continus. Heisenberg, en particulier, a abandonné l’idée que la mécanique quantique devait représenter les relations continues et causales entre ces phénomènes discrets, réorientant ainsi les relations épistémologiques de manière radicale.

Pour conclure, ce qui distingue la pensée de Heisenberg et de Bohr réside dans leur capacité à accepter la discontinuité, non seulement en tant que phénomène physique, mais aussi comme une idée qui remet en question la vision classique de la réalité. La relation entre mathématiques et physique, dans cette optique, devient bien plus complexe et nuancée que celle de la simple application d’outils mathématiques à des théories physiques. C’est à travers ce prisme que la véritable dynamique entre les deux disciplines peut être pleinement comprise et appréciée.

Comment déterminer si un mappage est un k-prem : Le théorème de levée des cartes génériques

Les cartes topologiques, PL ou lisses, jouent un rôle essentiel en topologie différentielle, en particulier lorsqu'il s'agit de l'étude des immersions et des plongements dans des variétés lisses. Dans ce cadre, l'idée de "k-prem" (ou "projected embedding") constitue un concept crucial pour comprendre comment certaines cartes peuvent être levées de manière spécifique, notamment dans le contexte des plongements génériques. L'objectif principal de cette section est de déterminer si, sous certaines hypothèses raisonnables, un mappage donné peut être un k-prem, en utilisant des critères algébriques précis.

Une carte continue, PL ou lisse f:N→Mf: N \to M est appelée un k-prem si il existe une carte g:N→Rkg : N \to \mathbb{R}^k telle que f×g:N→M×Rkf \times g : N \to M \times \mathbb{R}^k soit un plongement topologique, PL ou lisse. Ce type de plongement a des applications profondes dans l'étude des immersions génériques, ainsi que dans les méthodes algébriques utilisées pour leur levée. Lorsqu'il est question de k-prem, il est important de définir certaines propriétés fondamentales des cartes impliquées et de comprendre la nature des conditions nécessaires à l'existence d'un tel plongement.

Un point de départ pour comprendre ce concept est l'existence d'une carte équivariante g:f→Sk−1g : f \to S^{k-1}, où ff est l'ensemble des paires (x,y)∈N×N(x, y) \in N \times N telles que f(x)=f(y)f(x) = f(y). Cette condition est nécessaire pour que ff soit un k-prem, mais, comme nous le verrons, elle ne suffit pas toujours. Par exemple, le mappage couvrant à trois volets f:S1→S1f : S^1 \to S^1 n'est pas un 1-prem, bien qu'il existe une carte équivariante f→S0f \to S^0. Ce type d'exemple souligne l'importance de la structure de la carte et de la façon dont les propriétés topologiques sous-jacentes influencent la possibilité de levée en un plongement.

Le théorème principal de cette section (Théorème 13.1) fournit une condition clé qui permet de déterminer si une carte est un k-prem. Selon ce théorème, pour une carte générique f:Nn→Mmf: N^n \to M^m, avec m≥nm \geq n et 2(m+k)≥3(n+1)2(m + k) \geq 3(n + 1), l'existence d'une carte équivariante f→Sk−1f \to S^{k-1} est nécessaire pour que ff soit un k-prem. Cette condition s'applique à différents types de cartes, y compris les cartes génériques PL et lisses, et elle permet de catégoriser les cartes qui satisfont cette condition en fonction de la dimension de l'espace ambiant et des propriétés spécifiques de la carte.

Dans ce cadre, les cartes sont dites génériques si elles satisfont un ensemble précis de conditions qui définissent un ensemble ouvert et dense de cartes dans l'espace des mappages possibles. Cette notion de généricité est essentielle pour appliquer le théorème dans des contextes spécifiques et pour comprendre la densité des ensembles de cartes génériques.

Il est également important de noter que la généricité dans ce contexte n'est pas strictement équivalente à une notion de généricité au sens classique, comme celle définie par Gromov. Dans ce texte, une carte générique est celle qui appartient à un ensemble dense dans l'espace des cartes possibles, mais avec des propriétés supplémentaires qui permettent de garantir que certaines transformations, comme les levées en plongement, peuvent être effectuées.

Il convient également de mentionner que, dans le cadre des plongements, des cartes stables jouent un rôle central. Une carte stable est une carte dont les inverses de points sont simples, c'est-à-dire qu'ils contiennent au plus un point où la carte ne se comporte pas comme un homéomorphisme. La stabilité de la carte est ainsi une propriété clé pour déterminer si elle peut être levée à un plongement dans des contextes où la généricité seule ne suffit pas.

Enfin, un des aspects les plus intéressants de ce théorème est qu'il ouvre la voie à des généralisations dans des espaces de dimensions supérieures. Les applications des théorèmes de levée et des cartes stables dans la topologie différentielle peuvent être étendues à une variété de contextes géométriques et topologiques. Cela inclut, par exemple, les immersions génériques dans des variétés de dimension plus élevée, ainsi que l'étude des classes caractéristiques et des problèmes de transversalité dans des espaces complexes.

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